【正文】 1）部分教學(xué)片斷片斷1 讓學(xué)生直觀感受直線．回憶小學(xué)時的相關(guān)概念，出示了一組圖片，如圖6的做廣播操隊列（還有玉米地，高速路，鐵軌）等．　　　 圖6片斷2 讓學(xué)生進(jìn)行“隊列活動”（站起來），體驗：兩點(diǎn)確定一條直線．活動1：教師讓一個學(xué)生（甲）先站起來，然后請同學(xué)們自己確定，凡是能與甲同學(xué)共線的就站起來．一開始，你看看我、我看看你，沒有人站起來，不一會四面八方有人站起來，最后全班學(xué)生都站起來．老師總結(jié)：過一點(diǎn)的直線是不唯一的，所以每個同學(xué)都可以與甲同學(xué)共線．（經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線）活動2：教師讓兩個學(xué)生先站起來，然后請同學(xué)們自己確定，凡是能與這兩個同學(xué)共線的就站起來．學(xué)生很快作出反應(yīng)，站起來了一斜排同學(xué)（其他同學(xué)沒有站起來）．老師總結(jié)：兩點(diǎn)確定一條直線，所以有且只有一斜排學(xué)生與這兩個同學(xué)共線．（經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線）活動3：教師讓三個學(xué)生先站起來，然后請同學(xué)們自己確定，凡是能與這三個同學(xué)共線的就站起來．當(dāng)三個學(xué)生共線時，站起來了一斜排同學(xué)；當(dāng)三個學(xué)生不共線時，有個別學(xué)生站起來（與其中兩個同學(xué)共線），后來又坐下了，最終沒有一個人站起來．老師總結(jié)：經(jīng)過三點(diǎn)可能有一條直線，也可能沒有直線．整堂課，學(xué)生活動或回答問題不下四、五十人次，有的學(xué)生站起來等活動不下六、七次，課堂氣氛很熱烈．（2）對“直線”的反饋調(diào)查課后了解，學(xué)生很歡迎這堂課，都很高興．片斷１（調(diào)查學(xué)生） 詢問學(xué)生“今天這節(jié)課你學(xué)到了什么？”學(xué)生回答：學(xué)到了線段、射線、直線．詢問學(xué)生所理解的直線是什么？學(xué)生不能回答．追問“說說直線是什么樣的圖形”，學(xué)生還是答不上來．片斷2（調(diào)查聽課教師） 把詢問學(xué)生的情況向聽課教師匯報，特別提出，學(xué)生學(xué)習(xí)了一節(jié)課直線，但說不出直線是什么，老師們，你們也聽課了、可能還上過這個課題，你們說說直線是什么？全場肅靜，沒有一個老師回答． 片斷3（調(diào)查執(zhí)教老師） 轉(zhuǎn)而詢問執(zhí)教老師：你認(rèn)為直線是什么？教師沒有正面回答，更多的是介紹教學(xué)設(shè)計的意圖． 學(xué)生學(xué)了直線不知道直線．（3）反思．情況表明，有四點(diǎn)特別值得反思．①知識的封閉性首先一個表現(xiàn)是，不知道直線沒有定義！其次一個表現(xiàn)是，不明確直線的一些屬性，教學(xué)中不能自覺滲透這些屬性．如，無窮個點(diǎn)組成的一個連續(xù)圖形，兩端可以無窮延伸，很直很直，等等．但是，“連續(xù)”、“無窮”、“很直”等又是需要定義的，因而，這些詞語都只是粗糙的解釋．從公元前三世紀(jì)歐幾里得《幾何原本》以來，數(shù)學(xué)家曾作過直線定義的許多努力，但都沒有成功，因為點(diǎn)、直線，平面是原始概念，不能嚴(yán)格定義．描述它們的基本辦法是用公理來刻畫，本節(jié)課中的“直線公理”：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，正是直線的本質(zhì)特征．試想，如果“直線”不是很直很直的，那經(jīng)過兩點(diǎn)就可以連出很多很多曲線；同樣，如果“直線”不是兩端可以無窮延伸的，那經(jīng)過兩點(diǎn)的線段就可以延伸出長短不一的很多很多直線．教學(xué)上也有一些處理技術(shù)，比如，本節(jié)課中先描述“線段”，然后，用線段來描述直線，把直線理解為線段兩端無限延伸所形成的圖形．②情景的局限性．現(xiàn)實原型與數(shù)學(xué)模式之間既有聯(lián)系更有區(qū)別，比如圖1中的做廣播操隊列與直線之間可以找到很多不同：表1內(nèi)容項目做廣播操的隊列直線圖形具體與抽象有寬度、有高度沒有寬度、沒有面積粗糙與嚴(yán)格學(xué)生之間凹凸不平、高低不齊直線是“很直”的一維與三維三維立體的一維的有限與無限有限個人組成無限個點(diǎn)組成連續(xù)與間斷間斷的連續(xù)的特殊與一般一個現(xiàn)實原形許多現(xiàn)實原形的形式化抽象實在與形式生活中存在生活中不存在………………現(xiàn)實情景的有限性難以表達(dá)抽象直線的無限性，現(xiàn)實情景的離散性難以表達(dá)抽象直線的連續(xù)性．一條高速路，當(dāng)著眼于距離時能提煉出線段，當(dāng)著眼于筆直延伸時能提煉出直線，當(dāng)著眼于面積時能提煉出矩形，當(dāng)著眼于用料時，能提煉出長方體．生活世界有自身不可克服的局限性，它不可能給我們提供太多的理性承諾，學(xué)校教育恰恰應(yīng)該著眼于社會生活中無法獲得、而必須經(jīng)由學(xué)校教育才能獲得的經(jīng)驗．情景的局限性還給我們尋找恰當(dāng)?shù)那榫皫砝щy，這時我們常常采用經(jīng)過加工的擬真情景——源于現(xiàn)實而又不拘泥于真實，關(guān)鍵只在于這種情境應(yīng)具有相關(guān)數(shù)學(xué)知識的必要因素與必要形式，如，有的教師或資料提問：“白紙對折64次，有多高？”這只能理解為“擬真情景”，白紙對折6次不難，是真實情景，但繼續(xù)下去，不到10次紙就會折斷，對折10次都不可能，對折64次只能是一種想象——數(shù)學(xué)思維實驗．不了解這些情況，萬一學(xué)生提出“對折64次根本不可能”時，教師難免會“無言以對”．③活動的單一性通過站起來，體驗“兩點(diǎn)確定一條直線”的活動，確實設(shè)計得很精彩，但給人的感覺是：更關(guān)注“唯一不唯一”的量性收獲，缺少為什么“有且只有一條”的質(zhì)性滲透，本質(zhì)上是數(shù)學(xué)化過程不足．所以學(xué)生學(xué)了“直線公理”不會用“直線”去解釋“公理”、或不會用“公理”去解釋“直線”． ④“數(shù)學(xué)化”過程不足學(xué)生雖然在隊列“前后對正、左右看齊”的活動中感受過直線的“直”，但從具體情景到抽象數(shù)學(xué)模式之間有一個“數(shù)學(xué)化”提煉的艱苦過程，還需要教師去做“數(shù)學(xué)化”的提煉工作，把不是數(shù)學(xué)的“廣播操隊列”提煉成數(shù)學(xué)上的“直線圖形”（可能不是一節(jié)課就能完成的）．沒有這個提煉過程，學(xué)生獲得的可能不是數(shù)學(xué)、或者是硬塞給他們的數(shù)學(xué)，也可能是借學(xué)生的“嘴”代替老師的“灌”（機(jī)械接受學(xué)習(xí)）數(shù)學(xué)化過程需要不同程度地經(jīng)歷：辨別、分化、類化、抽象、檢驗、概括、強(qiáng)化、形式化等步驟．在教學(xué)條件下，通常的做法是從大量具體實例出發(fā)，從學(xué)生實際經(jīng)驗的肯定例證中，以歸納的方法概括出一類事物的本質(zhì)屬性，通常是沿著：“具體——半具體、半抽象——抽象”的路線前進(jìn)．較為關(guān)鍵的是如下5個步驟： ①辨別一類事物的不同例子；②找出各例子的共同屬性；③從共同屬性中抽象出本質(zhì)屬性；④把本質(zhì)屬性與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)闹R聯(lián)系起來，使新概念與已知的有關(guān)概念區(qū)別開來；⑤把新概念的本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物中去，以明確它的外延；這個過程很重要，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個核心價值——數(shù)學(xué)化．弗賴登塔爾認(rèn)為，如其說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”．在數(shù)學(xué)教學(xué)生活化取向、活動化取向的大潮中，教師的數(shù)學(xué)化能力凸現(xiàn)，這是一個創(chuàng)作與創(chuàng)造的過程．?dāng)?shù)學(xué)教師要有充實的數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)教學(xué)要有數(shù)學(xué)化的能力．33 更多的案例（練習(xí)、大家評）案例11 在一堂小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)課上，老師演示切西瓜，一刀平均切成兩半，每一半記為整個西瓜的，待學(xué)生都掌握了后，老師說：把兩半西瓜合成一個西瓜，即加等于多少？學(xué)生異口同聲說：．教師感到意外，請學(xué)生說明理由．學(xué)生１：你從兩份“半個西瓜”中取出一份，我也從兩份“半個西瓜”中取出一份．合起來就是從四份“半個西瓜”中取出兩份．學(xué)生還畫出下面的圖示來作說明； 圖7老師解釋說，應(yīng)從同一個西瓜中各取一半，不能從兩個西瓜中分別去取，并且每個人所取到的都是半個西瓜，兩半合到一起就是一個西瓜，應(yīng)是．　　學(xué)生２：我們小組有一半男生，另一小組也有一半男生，合成一大組后，男生還是占一半呀．　　學(xué)生３：萬一有一半取自大西瓜，有一半取自小西瓜，合起來也得不出一個西瓜呀．會不會你的比我的大？教師感到現(xiàn)在教學(xué)開放了，學(xué)生思維活躍了，這個課也難上了．（ 數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)——數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué).《全國青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課說課與講課大賽精粹》．天津：新蕾出版社，2005）（1）把整體看成1并不是那么簡單的，它的數(shù)學(xué)化過程既有抽象性，又有相對性，還應(yīng)該是豐富多彩的．（2）情境與數(shù)學(xué)模式的分離（3）存在多種加法，分?jǐn)?shù)加法的構(gòu)建比較困難， 案例12 怎樣正確對待學(xué)生（1）教師進(jìn)行解題教學(xué)，給出：例3 有一堆蘋果，每筐56千克，可以裝60筐，現(xiàn)在只有56個筐，要把蘋果都裝上，平均每筐多裝多少千克？（小學(xué)數(shù)學(xué)課本第九冊p142第24題）4分鐘后，多數(shù)學(xué)生給出兩種解法：教師對此感到滿意．稍靜，一個學(xué)生猶猶豫豫地舉手，教師問有什么問題時，學(xué)生說，我還有一種解法，列式是……教師末等學(xué)生說完，就用批評的語氣說。思考問題無根無據(jù)，胡思亂想．學(xué)生無奈，紅著臉，低著頭，還不時東張西望．事后，在場老師找該生了解“你是怎樣想的?”學(xué)生支支吾吾說：“原來每筐56千克，可以裝60筐，現(xiàn)在只有56個筐，每筐就裝60千克？……”說道這里，他就停頓了．案例13 怎樣正確對待學(xué)生（2）李老師為六年級同學(xué)出了一道算題：例41 客車與貨車分別從甲乙兩地同時對開，6小時后在途中相遇：相遇后兩車?yán)^續(xù)按原來的速度和方向前進(jìn)，又過了4小時，客車到達(dá)乙地而貨車離甲地還有200千米，求甲乙兩地相距多少千米：對于小學(xué)生這是一道有相當(dāng)難度的綜合題，數(shù)分鐘后，只有幾個同學(xué)在低頭畫畫算算，平時成績一般的亞平猛地把手舉了一下，隨即又縮了回去：李老師追問其故，亞平怯生生地說：“這道題的答案是不是600千米？”“你怎么知道的？”“我用2003……”“哈哈……”不待亞平說完，教室里爆發(fā)出一陣哄堂大笑：可李老師卻為之一怔，來不及制止大家，趕緊追問道：“你是怎么想的？”“我……”被笑懵了的亞平一時變得口吃起來，“我是憑畫圖猜……猜出來的……”“哈哈……”教室里再一次爆發(fā)出哄笑聲：“同學(xué)們慢點(diǎn)笑！你們有誰能站出來證明一下亞平的話是錯誤的？”李老師問： 這一問教室里立即變得鴉雀無聲，大家重又陷入深深的思考中：不一會，李玲同學(xué)站起來興奮地說：“李老師，我認(rèn)為亞平同學(xué)的解法是很有道理的：”“為什么？”李老師臉上露出笑容：“如果把兩列相向行使的火車看成一列同向行使的火車，其速度視為兩車速度之和，那么本題就變成如下的題了：例42 一列火車從甲地駛向乙地，用了6小時，到達(dá)后立即以原速度返回，4小時后離甲地還有200千米，甲乙兩地相距多少千米？這樣本題從時間角度分析，全程分三份，返回路程為兩份，剩下200千米只有一份了，所以用2003是完全正確的：”李玲巧妙的構(gòu)思，準(zhǔn)確的解說，贏得一陣長時間熱烈的掌聲：這掌聲既包含大家對李玲的佩服，又表達(dá)大家對亞平的歉意：掌聲過后，李老師動情地說：“這道題的解法較多，但亞平的這種解法連我事先也未曾想過……”　　 案例14 一節(jié)課什么都沒有聽進(jìn)去．有個教師講“利息”，問春節(jié)大家最喜歡什么，想引出“壓歲錢”存利息，而學(xué)生卻說最喜歡放煙花、看節(jié)目等，好不容易引出了“壓歲錢”，有人說拿到1000多元、有人說拿到10元，這拿到10元的同學(xué)感到有刺激，一節(jié)課什么都沒有聽進(jìn)去． 案例15 課堂上突然響起口哨聲．正在上課時，課堂上突然響起口哨聲；全班學(xué)生的眼光都會盯著老師，看老師如何處理．老師如果聽而不聞，意味著默認(rèn)這種違規(guī)行為，也顯得無能．若認(rèn)真查究，既耽誤時間，又可能節(jié)外生枝．如像通常以泛泛的批評不了了之，學(xué)生也司空見慣，并不能解決問題．有個老師上課時，也遇到學(xué)生吹口哨的難題．老師自然很生氣，查問是誰吹口哨，可是學(xué)生都不說．怎么辦呢?這位老師別出心裁：要全班學(xué)生都低頭伏在桌上．要吹口哨的同學(xué)主動把手舉起來．有一個男生猶豫一番，終于舉手．這個老師的可取之處在于對違規(guī)行為，以尊重當(dāng)事人的方式(不使其難堪)查問．這種方式不僅出于善意，而且?guī)в杏螒蛞馕?，易為學(xué)生接受．老師的善意可能促使當(dāng)事人主動承認(rèn)自己違規(guī)．如果吹口哨的學(xué)生不承認(rèn)，那又該怎么辦呢?或許有兩種應(yīng)對方式可供選擇：其一，不再追究，只說：“好！老師有數(shù)了，麻煩吹口哨的同學(xué)以后主動找老師認(rèn)錯．’反正大家不知道老師到底是否有數(shù)．其二，在學(xué)生伏在桌上之前，多交代幾句：可能請大家舉兩次手．第一次，誰吹口哨誰舉手；第二次，你如知道誰吹口哨，指個方向．但實際上并不要大家第二次舉手，只是表示老師心中已經(jīng)有數(shù)罷了．這樣處理，“出乎學(xué)生意料之外”，又大致“在情理之中”表現(xiàn)出情趣性．（陳桂生．當(dāng)課堂響起口哨聲．教育文匯，2005，6）4 你有什么教學(xué)設(shè)想41 計算無蓋長方體的表面積．42 約數(shù)和倍數(shù)．設(shè)無蓋長方體的才長為、寬為、高為有：數(shù)（1）；（加）（2）；（減）（3）；（展開、加）（4）；（展開、加）（5）；（展開、減）（6）；（展開、容斥原理——既加又減）……形（1）無蓋長方體；（2）展平三句話：（1）幾是幾的倍數(shù)；（2）幾是幾的約數(shù)；（1）幾能被幾整除；請?zhí)釂柟不仡櫍?）三個期望實現(xiàn)了嗎？●體會三個名詞：案例，案例教學(xué)與案例研究；●參與一個行動：案例分析；●帶走一個信念：我要進(jìn)行案例研究，我能進(jìn)行案例研究．（2）采用講故事方式有效嗎？