【文章內(nèi)容簡介】 能同時(shí)發(fā)揮．（4）“跳下去多少只青蛙？”填空的回答，與標(biāo)準(zhǔn)型的封閉題稍有不同，除了38－5=33外，很可能出現(xiàn)38－？=5 ，（方程的結(jié)構(gòu)，不同的路徑）？+5=38 或 ，5+？=38 等多種情況，對此，教師應(yīng)有充分的思想準(zhǔn)備，并在數(shù)學(xué)觀、教學(xué)觀、學(xué)生觀上接受考驗(yàn)．案例4 能用表示嗎？淅教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊“真分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)”一節(jié)的公開課教學(xué)中（2004），曾經(jīng)有過這樣一個(gè)教學(xué)案例：在引導(dǎo)學(xué)生初步建立了真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的概念后，教師組織學(xué)生進(jìn)行應(yīng)用練習(xí)：用分?jǐn)?shù)表示圖中的涂色部分（書中“練一練”第1題）圖3 教學(xué)過程聽課教師反應(yīng)師（投影呈現(xiàn)圖3）：涂色部分可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示？生1：．學(xué)生都沒有異議，但還有不少學(xué)生舉著手．生2：．學(xué)生同樣沒有異議，教師也肯定了生2的答案，在教師剛想轉(zhuǎn)入下一個(gè)圖的討論時(shí)，發(fā)現(xiàn)還有幾個(gè)學(xué)生高舉著手．生3：我認(rèn)為還可以用表示．教室里頓時(shí)安靜了下來，不少學(xué)生的臉上露出了疑惑不解的神情．師（驚訝地）：還可以用，能說說你的想法嗎？生3：我是把3個(gè)三角形看作一個(gè)整體，平均分成6份，陰影部分表示其中的5份．在學(xué)生表述過程中，教師把3個(gè)三角形圈了起來（如圖4），并表示贊同生3的意見．圖4生3的發(fā)言剛結(jié)束，有學(xué)生不等教師同意就開始發(fā)表自己的意見．生4：我認(rèn)為還可以用表示．這下，教師也愣住了，教室更加安靜了，學(xué)生們再一次睜大了眼睛．生4：我是把其中的2個(gè)三角形看作單位“1”，平均分成4份，陰影部分表示這樣的5份．這時(shí)，教師腦海中閃現(xiàn)的是“2的就是”，于是馬上肯定了這位學(xué)生的意見．課后，許多外校的老師主動留下來參與了討論．不少教師對上述教學(xué)提出了異議，認(rèn)為圖中的涂色部分“不能用表示”，“用表示毫無道理”，這樣教會把學(xué)生“越教越糊涂”． 聽課教師的臉上同樣露出了疑惑的神情．這時(shí)，聽課教師開始躁動起來．“能用表示嗎？”老師們在小聲議論著．老師們也再次安靜了下來．老師們再次躁動起來，議論的聲音更大了……（朱國榮．能用表示嗎？——“警惕數(shù)學(xué)教學(xué)中的形式主義”例談．小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2004，9）學(xué)生表示為或是不是毫無道理？這樣教會不會把學(xué)生越教越糊涂？導(dǎo)致這些情況的原因是什么 ？我們認(rèn)為，學(xué)生的主動建構(gòu)活動全都有道理；教師的教學(xué)開放與民主態(tài)度也值得肯定．而聽課教師不僅觀念落后了，并且不能以數(shù)學(xué)的眼光去分析數(shù)學(xué)課堂．說4點(diǎn)看法．（1）教師的“驚訝”、“愣住”、“疑惑”、“躁動”、“安靜”、“再躁動”等表明，很多教師都把一道開放題當(dāng)作封閉題來處理了．教師把1個(gè)三角形抽象為單位1，但只在心里作了這樣的潛在假設(shè)，而在題目中沒有明確交代（歪打正著，這一疏忽引出了一堂開放課）．學(xué)生3把所給的3個(gè)三角形整體地抽象為單位1，學(xué)生4又把2個(gè)涂色的三角形整體地抽象為單位1，由此展開，題目是開放的，答案并不惟一（分別用市斤稱和公斤稱去稱同一物體，得出的數(shù)值當(dāng)然不一樣）．學(xué)生的主動建構(gòu)活動反映了思維的活躍，也印證了學(xué)生學(xué)習(xí)的建構(gòu)主義認(rèn)識觀．（2）教師對學(xué)生的內(nèi)心世界缺乏了解，具體表現(xiàn)在對單位1的認(rèn)識上．日常生活中常把1看得最簡單不過了，其實(shí)不然，請看下面兩個(gè)例子．其一：夏日來客，主人把西瓜切成8塊，總是拿起一小塊請客人“來一塊西瓜解解渴”，從來不說“來個(gè)西瓜解解渴”．其二：在一次小學(xué)分?jǐn)?shù)的公開課上，教師演示切西瓜，把半個(gè)西瓜叫做，學(xué)生都明白之后，教師隨口問，“兩半西瓜合在一起，應(yīng)該等于幾？”學(xué)生異口同聲回答．教師問理由，學(xué)生答：“你兩半西瓜取一半，我兩半西瓜取一半，合起來就是四半西瓜取兩半．”教師耐心解釋之后，還有學(xué)生問：“如果兩半西瓜來自大小不同的兩個(gè)瓜，那合起來還是得不出一個(gè)瓜？”（案例11）這例子說明，把整體看成1并不是那么簡單的，它的數(shù)學(xué)化過程既有抽象性，又有相對性，還應(yīng)該是豐富多彩的．當(dāng)教師用自己的潛在假設(shè)去設(shè)想學(xué)生時(shí)，實(shí)際上是對學(xué)生的內(nèi)心世界缺乏了解．（3）這堂課上得開放而民主，但主動的開放組織與被動的開放補(bǔ)救有區(qū)別，前者對數(shù)學(xué)抽象有深刻的認(rèn)識，對問題的開放性有心理準(zhǔn)備，即使學(xué)生的活動失于封閉，也能主動啟引學(xué)生作開放性的思考；后者則是對突（偶）發(fā)事件的藝術(shù)處理．因此，只有開放的理念并不夠，還要有過硬的數(shù)學(xué)功底來作保證．（4）順便提起，在開放性的教學(xué)中，在學(xué)生的多種解法面前，教師應(yīng)有恰當(dāng)?shù)脑u價(jià)，啟發(fā)學(xué)生的較優(yōu)取向．若把一個(gè)三角形看成1，則涂色部分可以表示為獲；若把兩個(gè)三角形看成1，則涂色部分可以表示為；若把三個(gè)三角形看成1，則涂色部分可以表示為．在這堂課中，更多的還是數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)．（繼續(xù)《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2011第7～8期“2還是4”P174）案例５ 乘法交換律的教學(xué)．有一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，用一個(gè)柄特別長的勺子喝水，勺子太長自己喝不到，學(xué)生經(jīng)過討論找到“交換喝水”的辦法：你拿勺子喂給我喝，我拿勺子喂給你喝，喝水問題圓滿解決．這個(gè)“活動”固然有趣，辦法也很好，但與“乘法”沒有關(guān)系，亦離開了“數(shù)量不變”的交換率本身．交換律的本質(zhì)是變化中的不變性，學(xué)生在這里學(xué)到的不是數(shù)學(xué)或不是“乘法交換律”．（地獄與天堂的寓言）（參見張奠宙. ，2005，8）講解：數(shù)學(xué)并不只是一種有趣的活動，僅僅使數(shù)學(xué)變得有趣起來并不能保證數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定能夠獲得成功（數(shù)學(xué)上的成功還需要艱苦的工作）．有效的情景應(yīng)該起始于精細(xì)的數(shù)學(xué)認(rèn)知分析，使情境具有數(shù)學(xué)對象的必要因素和必要形式（這是一個(gè)創(chuàng)作與創(chuàng)造的過程），只注意情景的形式，缺失了數(shù)學(xué)及其本質(zhì)（去數(shù)學(xué)化），會好心辦壞事．如何防止“去數(shù)學(xué)化”，既是教學(xué)的挑戰(zhàn)，又是數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn). （柄長可以鋸短或靠前拿，為什么一定要交換呢？） （說到乘法交換律還想提起，現(xiàn)實(shí)解釋是可以有區(qū)別的，比如，一個(gè)人生病了，醫(yī)生開了30個(gè)藥片，每天吃3次，每次吃1片，連吃10天病就好了；若用“交換律”，每天吃1次，每次吃10片，連吃3天可能就把人吃死了.）案例6 結(jié)構(gòu)不良問題與解釋性解法有一道趣味題，流傳著多種版本，大量出現(xiàn)在小學(xué)教材和課外讀物里題目 古印度有一位老人，臨終前留下遺囑，要把11頭牛分給三個(gè)兒子，老大分得總數(shù)的，老二分得總數(shù)的，老三分得總數(shù)的．按印度的教規(guī)，牛被視為神靈，不能宰殺，只能整頭分．三兄弟為此一籌莫展，你能幫助他們解決問題嗎？ 這是一道流傳著多種版本的數(shù)學(xué)趣題，大量出現(xiàn)在教材或課外讀物里．對本問題的解答多種多樣，常見的有以下幾種：（1）借一還一法． 鄰居先借1頭牛，使牛的總數(shù)變成12，三兄弟按遺囑中的比例各分得6頭、3頭和2頭．最后剩下1頭牛，物歸原主．這就按遺囑份額要求，把11頭牛整分完了．（聰明的鄰居）代入檢驗(yàn)了嗎？說明 有人批評這種做法已經(jīng)改變了題意（偷換概念），分的是12頭牛而不是11頭牛，下面的級數(shù)求和法對這個(gè)結(jié)論提供了一個(gè)“較為合理的解釋”． （2）級數(shù)求和法． 因三兄弟的總份額，故第一次分配后會有剩余，而剩余部分還應(yīng)分給三兄弟，并且還應(yīng)那保持的比例不變，如此類推．故老大第一次從總數(shù)中分得后，第二次又可從剩余量中，分得．如此類推，一直分下去，老大分得的量組成一個(gè)的等比數(shù)列，總頭數(shù)為等比數(shù)列的和．同理可得，老二、老三分得的總頭數(shù)各為3和2．這就按遺囑份額要求，把11頭牛整分完了．說明 這種解法有“三兄弟無窮分下去比例不變”的因素，故可以改寫為按比例分配法和解方程法．（3）按比例分配法． 因，且，故三兄弟各分得6頭、3頭和2頭．這就按遺囑份額要求，把11頭牛整分完了． （4）解方程法． 設(shè)老大分得頭，則按的比例，老二和老三各分得頭和頭．依題意得方程，解之得．故三兄弟各分得6頭、3頭和2頭．這就按遺囑份額要求，把11頭牛整分完了．說明 有人批評這種做法也是改變了題意（偷換概念），把“老大分得總數(shù)的，老二分得總數(shù)的，老三分得總數(shù)的”改變?yōu)椤叭值馨吹谋壤峙洌蠢洗蠓值每倲?shù)的，老二分得總數(shù)的，老三分得總數(shù)的”，把本應(yīng)三兄弟共分得 改變?yōu)?，?shí)際做的是另一道題．他們認(rèn)為本題無解．（5）錯(cuò)題無解． 要求三兄弟各分得總數(shù)的，但，這就無法按遺囑要求，分盡11．所以，此為錯(cuò)題，無解．說明 從結(jié)構(gòu)良好的封閉題標(biāo)準(zhǔn)看來，條件確實(shí)是不充分的，從形式化習(xí)題的角度說“無解”也并無不可．但是，作為一個(gè)實(shí)際問題，“無解”并未解決分牛糾紛．遺囑還要執(zhí)行，牛還要分，此時(shí)的“無解”反成了“無能”的代名詞了．所以，面對結(jié)構(gòu)不良問題，提供“解釋性解法”有現(xiàn)實(shí)需要．有人提出用四舍五入法．（6）四舍五入法． 因，，且，故三兄弟各分得6頭、3頭和2頭．這就近似按遺囑份額要求，把11頭牛整分完了．說明 有人質(zhì)疑，一律“五入”對三兄弟的補(bǔ)償是不一樣的，是否有“公平性”問題？改為9頭牛老二不但不能“五入”還要“四舍”了．另外，“恰好整分完”對數(shù)字11有直接的依賴，改為12頭牛就沒有“四舍”也沒有“五入”，最終還剩下1頭牛．總之，對于結(jié)構(gòu)不良問題，提供“解釋性解法”有現(xiàn)實(shí)需要（如級數(shù)求和、四舍五入），但不能按“結(jié)構(gòu)良好問題”的標(biāo)準(zhǔn)來處理． 這幾個(gè)小例子表明，現(xiàn)實(shí)向我們提出了從理論到實(shí)踐的挑戰(zhàn)、向我們提出了從教學(xué)到數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)．2 案例研究的理論提煉21 案例研究的理論支持（1）對教育研究方法的反思．對教育研究方法的反思導(dǎo)致了幾個(gè)轉(zhuǎn)向，如：●支撐教師教育的理念根基已由以往的關(guān)注“理論”轉(zhuǎn)向關(guān)注“實(shí)踐”、關(guān)注“課堂”；●教育問題的研究從借鑒自然科學(xué)的精確描述轉(zhuǎn)向?yàn)閷逃龁栴}的理解和詮釋．（越是追求精確，就越是脫離人類經(jīng)驗(yàn)）于是，“案例教學(xué)”、“教育敘事”、“行動研究”等應(yīng)運(yùn)而生．●教師發(fā)展從理論培訓(xùn)到校本教研的興起，以校為本的教研，其核心要素是：實(shí)踐與反思，交流與合作，引領(lǐng)與創(chuàng)新．（2）教師知識組成的新認(rèn)識．通常認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師的知識組成包括教育學(xué)知識、數(shù)學(xué)系統(tǒng)知識、數(shù)學(xué)教學(xué)知識諸方面，而舒爾曼的研究表明：教師專業(yè)知識結(jié)構(gòu)由三類知識構(gòu)成，即●原理規(guī)則知識；●專業(yè)的案例知識．●運(yùn)用原理規(guī)則于特殊案例的策略知識．這就從教師的知識分類上將教育教學(xué)案例納入到教師的知識系統(tǒng)，并且后兩者都屬于內(nèi)隱知識——這些知識以及創(chuàng)造性解決問題的能力，僅僅依靠現(xiàn)成書本的格式化知識的傳授是無法獲得的．（冰山的水下部分）（3）范良火博士論文的結(jié)論．范良火在其博士論文中研究得出：教師教學(xué)知識的最重要來源是●自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和反思； ●和同事的日常交流；至于職后培訓(xùn)、當(dāng)學(xué)生時(shí)的經(jīng)歷、職前培訓(xùn)等都是其次的、第三第四位的，教師自主的實(shí)踐中學(xué)習(xí)、及教師群體內(nèi)部的自主交流是對教師的專業(yè)發(fā)展貢獻(xiàn)最大的兩個(gè)方面．（4）顧泠沅“行動教育”模式．（青浦經(jīng)驗(yàn)：1977年，以初中一、二年級的數(shù)學(xué)常見題，對全縣中學(xué)最高年級的4373名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)考，%，約有三分之二的學(xué)生連小學(xué)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算都不熟練．經(jīng)過近九年的改革，青浦縣的數(shù)學(xué)質(zhì)量從七十年代的全市最低水平開始逐年穩(wěn)步上升，1985年初中升學(xué)考試數(shù)學(xué)成績，．）顧泠沅在上海的調(diào)查研究表明：●保持同事間的互助指導(dǎo)，還須注重縱向的理念引領(lǐng)；●保持側(cè)重討論式的案例教學(xué)，還須包含行為跟進(jìn)的全過程反思．●因此在通常的教師培訓(xùn)形式之外，構(gòu)建了以課例為載體、專業(yè)引領(lǐng)與行為跟進(jìn)相統(tǒng)整的“行動教育”模式，為教師在職教育提供了一種有價(jià)值的選擇．基本模式如下圖所示． 圖522 名詞解釋 “案例”一詞源于法學(xué)，哈佛法學(xué)院將案例應(yīng)用于法律人才的培養(yǎng)，產(chǎn)生案例教學(xué)；哈佛工商學(xué)院將其應(yīng)用于工商管理人才的教學(xué)，取得顯著成效；之后，人們把“病例”用于醫(yī)生培養(yǎng)，把“戰(zhàn)例”用于軍官培養(yǎng)，把“課例”用于教師培養(yǎng)，都叫做案例教學(xué)．教師教育中的案例教學(xué)始于20世紀(jì)70年代，伴隨案例教學(xué)而進(jìn)行的分析、反思、提煉又促進(jìn)了“案例研究”的發(fā)展．這里有三個(gè)詞：案例、案例教學(xué)、案例研究．案例是一個(gè)教學(xué)實(shí)例，案例教學(xué)是一種教學(xué)方法，案例研究是一類研究方法．三者既有聯(lián)系又有區(qū)別．（1）案例——窗口、源泉、故鄉(xiāng)、階梯．對于數(shù)學(xué)教學(xué)上的案例，我們更習(xí)慣叫做課例（或個(gè)案），課例是具有典型意義的教學(xué)過程的描述．在形式上，可以是體現(xiàn)教育理論與教學(xué)技能的課堂實(shí)錄，可以是學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的生動故事，可以是教師教數(shù)學(xué)的有趣設(shè)計(jì)，還可以是教學(xué)實(shí)踐中遇到的意外與困惑的事件．為了教學(xué)研究的需要，課例的敘述可以對課堂信息的攝取有所側(cè)重，對課堂之外的情況（如教師、學(xué)生的背景）及心理活動有所