【正文】 xxxxG ???????121 ?nxxxxnGniinm??????? 121lg)lglg( l g1lg ?幾何均值的計算 (據(jù)比率資料計算 ) 【 例 】 一位投資者購持有一種股票 ， 在 2022年 、 2022年 、 2022年和 2022年收益率分別為 %、 %、%、 %。 計算該投資者在這四年內的平均收益率 %0 78 1% 01% 25% 02% 044??????G算術平均： ? ? %%%%% ??????G 幾何平均： √ 幾何均值的計算 (據(jù)水平資料計算 ) [P35 例 ]我國 1998—2022年各年的生產(chǎn)總值分別為 、 、 、 、。 (單位：億元 )， 計算這幾年間國內生產(chǎn)總值的平均發(fā)展速度 。 解：應該先求出各年的發(fā)展速度，再對各年的發(fā)展速度求幾何平均： 切尾均值 (P36)(不作要求 ) 1. 定義：去掉大小兩端的若干數(shù)值后計算中間數(shù)據(jù)的均值 2. 在電視大獎賽 、 體育比賽及需要人們進行綜合評價的比賽項目中已得到廣泛應用 3. 計算公式為 ( 1 ) ( 2 ) ( )2n n n nx x xxnn? ? ?? ?? ? ?? ? ????10 2???n 表示觀察值的個數(shù)； α表示切尾系數(shù)， 切尾均值 (例題分析 ) ? 【 例 】 某次比賽共有 11名評委 ， 對某位歌手的給分分別是： 經(jīng)整理得到順序統(tǒng)計量值為 1 2 3 4 5 6, , , , , ,9 .2 2 , 9 .2 5 , 9 .2 0 , 9 .3 0 , 9 .6 5 , 9 .3 0 ,x x x x x x7 8 9 10 11, , , , 9 .2 7 , 9 .2 0 , 9 .2 8 , 9 .2 5 , 9 .2 4x x x x x( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ), , , , , ,9 .2 0 , 9 .2 0 , 9 .2 2 , 9 .2 4 , 9 .2 5 , 9 .2 5 ,x x x x x x( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ), , , , 9 .2 7 , 9 .2 8 , 9 .3 0 , 9 .3 0 , 9 .6 5x x x x x去掉一個最高分和一個最低分，取 α=1/11，得： ? ? ? ? ? ?11 1 / 11 1 11 1 / 11 2 11 11 1 / 111 / 11( 2 ) ( 3 ) ( 10 )11 2 11 1 / 11 11 2 9x x xxx x x? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ???? ? ??? 眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關系(P37) 左偏分布 均值 中位數(shù) 眾數(shù) 對稱分布 均值 = 中位數(shù) = 眾數(shù) 右偏分布 眾數(shù) 中位數(shù) 均值 眾數(shù) 是出現(xiàn)最多的數(shù)值，處于分布曲線最高點的橫標處； 中位數(shù) 是居于順序數(shù)據(jù)中間位置的代表數(shù)值，處于分布曲線定義區(qū)間的中點位置 (中心 )； 均值 是一組數(shù)據(jù)的中心點，處于分布曲線下圖形面積的垂直平分線的橫標處 (重心 )。 眾數(shù)、中位數(shù)、均值的 特點和應用比較 1. 眾數(shù) (位置平均 ——分布曲線頂點的橫標 ) – 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，是數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，不受極端值影響 – 具有不惟一性 – 當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復出現(xiàn)時，可用眾數(shù)來描述其集中趨勢 2. 中位數(shù) (位置平均 ——分布圖形的垂直平分線的橫標 ) – 順序排列數(shù)據(jù)的最中間位置的數(shù)值，不一定是數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，不受極端值影響 – 具有惟一性 – 當一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)來描述其集中趨勢 3. 均值 (數(shù)值平均 ——分布圖形重量的均衡點 ) – 其大小與一組數(shù)據(jù)里的每個數(shù)據(jù)均有關系 ,其中任何數(shù)據(jù)的變動都會相應引起平均數(shù)的變動 ，易受極端值影響，數(shù)學性質優(yōu)良，是一組數(shù)據(jù)的的重心 – 具有惟一性 – 數(shù)據(jù)對稱分布或接近對稱分布時應用 眾數(shù)、中位數(shù)、均值的 數(shù)值位置比較 1. 對稱分布：三點重合 眾數(shù) =中位數(shù) =均值 2. 右偏分布：均值偏右 眾數(shù) ＜ 中位數(shù) ＜ 均值 3. 左偏分布：均值偏左 均值 ＜ 中位數(shù) ＜ 眾數(shù) 分布離散程度的測度 (P39) 離散程度反映數(shù)據(jù)的分布離散和差異的程度。主要有： 一、極差 二、內距 三、方差和標準差 四、離散系數(shù) 極差 (P39) 1. 一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，也稱全距 2. 離散程度的最簡單測度值 3. 易受極端值影響 4. 未考慮數(shù)據(jù)的分布 5. 計算公式為 R = max(xi) min(xi) 7 8 9 10 7 8 9 10 內距 (P40) 1. 也稱四分位差 2. 上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差 內 距 = Q3 – Q1 3. 反映了中間 50%數(shù)據(jù)的離散程度 4. 不受極端值的影響 5. 可用于衡量中位數(shù)的代表性 方差和標準差 (P40) ? 1. 是離散程度的測度值之一 ? 2. 是最常用的測度值 ? 3. 反映了數(shù)據(jù)的分布 ? ? ，稱為總體方差或總體標準差，記為 σ2或 σ ； 若根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，稱為樣本方差或樣本標準差，記為 s 2或 s。 ? 。 4 6 8 10 12 ?x = 總體方差和總體標準差的計算(P41) 未分組數(shù)據(jù)： 組距分組數(shù)據(jù)： 未分組數(shù)據(jù)： 組距分組數(shù)據(jù)： 總體方差的計算公式 總體標準差的計算公式 NxNii???? 122)( ??NfMKiii???? 122)( ??NxNii???? 12)( ??NfMKiii???? 12)( ??總體方差和總體標準差的特征 ? 值的平均數(shù)。 ? ，關鍵是獲得各標志值與均值離差的平方值，然后求各平方值的均值。 ? ，須應用均值的計算方法。 ? 。 方差和標準差的關系 ? 方差是標準差的平方，標準差是方差的算術根； ? 方差的公式較簡單，便于計算。但其單位是標志值單位的平方，不便于對離散程度進行量的描述和分析； ? 標準差的單位與標志值單位相同，便于對離散程度進行量的描述和分析。 樣本方差和樣本標準差的計算 ?未分組數(shù)據(jù)： 組距分組數(shù)據(jù)： 未分組數(shù)據(jù)： 組距分組數(shù)據(jù)： 樣本方差的計算公式 樣本標準差的計算公式 注意： 樣本方差用自由度 n1去除 ! 1)(122?????nxxsnii1)(122?????nfxMskiii1)(12?????nxxsnii1)(12?????nfxMskiii樣本方差的 自由度 (P41) 1. 一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個數(shù)稱自由度 。 2. 當 樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為 n 時 ， 若樣本均值 ?x 確定后 ,只有 n1個數(shù)據(jù)可以自由取值 ， 其中必有一個數(shù)據(jù)不能自由取值 。 3. 例 如 ， 樣本有 3個數(shù)值 ， 當 ?x = 5 確定后 ， x1， x2和 x3僅 有兩個數(shù)據(jù)可以自由取值 ， 另一個則不能自由取值 。 即 x1=2， x2=4時 ， 必 x3=9。 又如 x1=6，x2=7， 那么 x3則必然取 2， 而不能取其他值 。 4. 樣 本方差用自由度去除 ， 其原因可從多方面解釋 ，從實際應用角度看 ， 在抽樣估計中 ， 當用樣本方差 s2去估計總體方差 σ2時 ， 它是 σ2的無偏估計量 。 樣本方差與總體方差的關系 ? s2與總體方差 σ 2都是各標志值與均值離差平方值的平均數(shù)。 ? σ 2是總體標志值 x的離差平方總和 ∑(x181。)2對全部單位 N的平均，而樣本方差s2是樣本標志值 x的離差平方總和 ∑(x )2對自由度 n1的平均。 ? 3. 無法得到總體方差 σ 2時，在大樣本的情況下，可以用樣本方差 s2近似代替總體方差σ 2 。 x標準差計算例題 ? 對 P22表 。 表 某車間 30名工人周加工零件數(shù) 工人編號 周加工零件數(shù) 工人編號 周加工零件數(shù) 工人編號 周加工零件數(shù) 1 106 11 99 21 85 2 84 12 94 22 106 3 110 13 119 23 101 4 91 14 88 24 105 5 109 15 118 25 96 6 91 16 97 26 105 7 111 17 103 27 107 8 107 18 106 28 128 9 121 19 95 29 111 10 105 20 106 30 101 ? 解法一：對原始數(shù)據(jù)手工計算方差和標準差， ? 先計算平均數(shù)： 既可以完全手工計算，也可以利用 Excel電子表格列表計算數(shù)據(jù)總和 ∑x，并代入簡單均值公式得： ? 再計算方差： 既可以完全手工計算，也可以利用 Excel列表計算數(shù)據(jù)離差平方的總和 ∑(x )2，并代入樣本方差公式得： ? 于是得標準差為 301 3105 10 30kkxxn?? ? ??3022 1()31 67 .5 10 21 30 1kkxxsn??? ? ????2 1 0 9 . 2 2 1 0 . 4 5ss? ? ?x? 解法二：對分組數(shù)據(jù)手工計算方差和標準差近似值，即對表 ，再利用 Excel列表計算得： ? 再利用 Excel列表計算方差得： ? 于是得標準差為 ? 也可以應用 Excel函數(shù)計算平均數(shù)，方差和標準差。 301301311010 730kkkkkxfxf??? ? ???3022 1301()3 1 4 7 .51 0 8 .5 3291kkkkkx x fsf???? ? ????2 1 0 8 . 5 3 1 0 . 4 2ss? ? ?Excel計算均值和方差的列表 按周加工零件數(shù)分組 (件 ) 組中值 次數(shù) 組總和 方差 x f xf ()2f 80～ 90 85 3 255 90～ 100 95 7 665 100～ 110 105 13 1365 110～ 120 115 5 575 120～ 130 125 2 250 合計 — 30 3110 ? 解法三：直接對原始數(shù)據(jù)，利用 Excel函數(shù) VAR計算方差，利用 Excel函數(shù) STDEV計算標準差。 ? 計算方差： 在數(shù)列外選定一單元格，點擊菜單欄中“ ∑”符號右邊的小三角“▼”，選擇“其它函數(shù)” → 選擇類別“統(tǒng)計” → 選擇函數(shù)“ VAR” →“ 確定”，在出現(xiàn)的函數(shù)參數(shù)窗口中的 Number1右邊的空欄中輸入： A1:A30(或鼠標選定數(shù)列 )， → “確定”，即在選定單元格中出現(xiàn)方差的計算結果： 。 ? 計算標準差： 在數(shù)列外選定一單元格，點擊菜單欄中“ ∑”符號右邊的小三角“▼”，選擇“其它函數(shù)” → 選擇類別“統(tǒng)計” → 選擇函數(shù)“ STDEV” →“ 確定”，在出現(xiàn)的函數(shù)參數(shù)窗口中的 Number1右邊的空欄中輸入： A1:A30 (或鼠標選定數(shù)列 ) ， → “確定”，即在選定單元格中出現(xiàn)標準差的計算結果： 。 標準差的 Excel計算 ? ： 將數(shù)據(jù)列于 Excel表中同列，選擇數(shù)據(jù)下方鄰接的單元格后，點擊菜單欄中的 ∑右邊的小▼，選擇“其它函數(shù)” → 類別中選擇“統(tǒng)計” → 函數(shù)中，求樣本方差選“ STDEV”，求總體方差選“ AVEDEV”→ 選定全列數(shù)據(jù)→ 確定。 ? 近似 計算：