【正文】 標(biāo)準(zhǔn)差的 Excel計(jì)算 ? ： 將數(shù)據(jù)列于 Excel表中同列，選擇數(shù)據(jù)下方鄰接的單元格后，點(diǎn)擊菜單欄中的 ∑右邊的小▼，選擇“其它函數(shù)” → 類別中選擇“統(tǒng)計(jì)” → 函數(shù)中，求樣本方差選“ STDEV”，求總體方差選“ AVEDEV”→ 選定全列數(shù)據(jù)→ 確定。 表 某車間 30名工人周加工零件數(shù) 工人編號(hào) 周加工零件數(shù) 工人編號(hào) 周加工零件數(shù) 工人編號(hào) 周加工零件數(shù) 1 106 11 99 21 85 2 84 12 94 22 106 3 110 13 119 23 101 4 91 14 88 24 105 5 109 15 118 25 96 6 91 16 97 26 105 7 111 17 103 27 107 8 107 18 106 28 128 9 121 19 95 29 111 10 105 20 106 30 101 ? 解法一：對(duì)原始數(shù)據(jù)手工計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差， ? 先計(jì)算平均數(shù)： 既可以完全手工計(jì)算，也可以利用 Excel電子表格列表計(jì)算數(shù)據(jù)總和 ∑x，并代入簡(jiǎn)單均值公式得： ? 再計(jì)算方差： 既可以完全手工計(jì)算，也可以利用 Excel列表計(jì)算數(shù)據(jù)離差平方的總和 ∑(x )2，并代入樣本方差公式得： ? 于是得標(biāo)準(zhǔn)差為 301 3105 10 30kkxxn?? ? ??3022 1()31 67 .5 10 21 30 1kkxxsn??? ? ????2 1 0 9 . 2 2 1 0 . 4 5ss? ? ?x? 解法二：對(duì)分組數(shù)據(jù)手工計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差近似值，即對(duì)表 ，再利用 Excel列表計(jì)算得： ? 再利用 Excel列表計(jì)算方差得： ? 于是得標(biāo)準(zhǔn)差為 ? 也可以應(yīng)用 Excel函數(shù)計(jì)算平均數(shù)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 ? σ 2是總體標(biāo)志值 x的離差平方總和 ∑(x181。 即 x1=2， x2=4時(shí) ， 必 x3=9。但其單位是標(biāo)志值單位的平方，不便于對(duì)離散程度進(jìn)行量的描述和分析； ? 標(biāo)準(zhǔn)差的單位與標(biāo)志值單位相同，便于對(duì)離散程度進(jìn)行量的描述和分析。 ? ，關(guān)鍵是獲得各標(biāo)志值與均值離差的平方值，然后求各平方值的均值。 眾數(shù)、中位數(shù)、均值的 特點(diǎn)和應(yīng)用比較 1. 眾數(shù) (位置平均 ——分布曲線頂點(diǎn)的橫標(biāo) ) – 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，是數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，不受極端值影響 – 具有不惟一性 – 當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，可用眾數(shù)來(lái)描述其集中趨勢(shì) 2. 中位數(shù) (位置平均 ——分布圖形的垂直平分線的橫標(biāo) ) – 順序排列數(shù)據(jù)的最中間位置的數(shù)值，不一定是數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，不受極端值影響 – 具有惟一性 – 當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)來(lái)描述其集中趨勢(shì) 3. 均值 (數(shù)值平均 ——分布圖形重量的均衡點(diǎn) ) – 其大小與一組數(shù)據(jù)里的每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系 ,其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng) ，易受極端值影響，數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良，是一組數(shù)據(jù)的的重心 – 具有惟一性 – 數(shù)據(jù)對(duì)稱分布或接近對(duì)稱分布時(shí)應(yīng)用 眾數(shù)、中位數(shù)、均值的 數(shù)值位置比較 1. 對(duì)稱分布：三點(diǎn)重合 眾數(shù) =中位數(shù) =均值 2. 右偏分布：均值偏右 眾數(shù) ＜ 中位數(shù) ＜ 均值 3. 左偏分布：均值偏左 均值 ＜ 中位數(shù) ＜ 眾數(shù) 分布離散程度的測(cè)度 (P39) 離散程度反映數(shù)據(jù)的分布離散和差異的程度。 均值的 數(shù)學(xué)性質(zhì) (P34) ? 1. 各變量值與均值的離差之和等于零 1( ) 0niixx???? 2. 各變量值與均值的離差平方和最小 21( ) m inniixx???? 幾何均值 (P35) (將于第九章出現(xiàn)應(yīng)用 ) 1. 定義： n 個(gè)變量值乘積的 n 次方根 2. 適用于對(duì) 比率數(shù)據(jù) 的平均 3. 主要用于計(jì)算平均增長(zhǎng)率 4. 基本計(jì)算公式： 5. 可看作是均值的一種變形 nniinnm xxxxG ???????121 ?nxxxxnGniinm??????? 121lg)lglg( l g1lg ?幾何均值的計(jì)算 (據(jù)比率資料計(jì)算 ) 【 例 】 一位投資者購(gòu)持有一種股票 ， 在 2022年 、 2022年 、 2022年和 2022年收益率分別為 %、 %、%、 %。 按年齡分組 (歲 ) 百分比 (%) 17 12 18 28 19 36 20 18 21 6 合計(jì) 100 求比重加權(quán)均值的例題 (解 ) (單變量分組 ) 解：整理表格，計(jì)算比重加權(quán)均值的公式元素 x(f/∑f)，并求其合計(jì)數(shù)，得： 于是得平均年齡 : 按年齡分組 (歲) 百分比 (%) x(f/∑f) x f/∑f 17 12 18 28 19 36 20 18 21 6 合計(jì) 100 8 ( )fxx f??? ? 歲均值計(jì)算方法總結(jié) . ( )xxn? ?一 數(shù) 據(jù) 未 分 組 ： 簡(jiǎn) 單 算 術(shù) 平 均.()???xfxf二 數(shù) 據(jù) 已 分 組 ： 1. 單 變 量 值 分 組 ： 1 ） 已 計(jì) 算 次 數(shù) ： 次 數(shù) 加 權(quán) 算 術(shù) 平 均 2. 組 距 分 組 ： 計(jì) 算 組 中 值 ， 轉(zhuǎn) 化 為 單 變 量 值 分 組 形 式 作近 似 計(jì) 算 。 )( 03303 105件??? ?nxx次數(shù)加權(quán)均值 (P33) 設(shè)分組數(shù)據(jù)為 ： x1 ， x2 ， … ， xk ， … 相應(yīng)的頻數(shù)為： f1 ， f2 ， … ， fk ， … 說(shuō)明：兩公式結(jié)構(gòu)相同，只是數(shù)據(jù)來(lái)源不同而已。是數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的主要測(cè)度值。 四分位數(shù)的性質(zhì) (P32) 1. 排序后處于 25%和 75%位置 上的值 2. 不受極端值的影響 3. 主要用于順序數(shù)據(jù) ， 也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù) ，但不能用于分類數(shù)據(jù) QL QM QU 25% 25% 25% 25% 未分組順序數(shù)據(jù)四分位數(shù)的確定 將數(shù)據(jù)按順序排列后： LU14314nQnQ???????????位 置（ ）位 置Excel中 QUARTILE函數(shù) 計(jì)算四分位數(shù)位置的方法 ? 將數(shù)據(jù)按順序排列后 ? 由此可見(jiàn)，用 Excel計(jì)算四分位數(shù)的結(jié)果與用本書(shū)的計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果有差異。 中位數(shù)是將數(shù)據(jù)區(qū)域 2等分的數(shù)值； 四分位數(shù)則是將數(shù)據(jù)區(qū)域 4等分的三個(gè)數(shù)值，其中中間的就是中位數(shù) Mo，前一個(gè)稱為第 1四分位數(shù)或上位四分位數(shù)，記為 QL，后一個(gè)稱為第 3四分位數(shù)或下位四分位數(shù)，記為 QU。 式中： N為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)， L為中位數(shù)所在組的下限， Sm－ 1為中位數(shù)所在組以前各組 (L之下 )的累積頻數(shù)， fm為中位數(shù)所在組的頻數(shù)， i為中位數(shù)所在組的組距。 特點(diǎn)： 中位數(shù)將全部數(shù)據(jù)分成兩半，一半數(shù)據(jù)比中位數(shù)大，一半數(shù)據(jù)比中位數(shù)小。 ? 近似公式 ： 式中： M0表示眾數(shù)， L表示眾數(shù)組 (頻數(shù)最高的組 )的下限值， △ 1=眾數(shù)組次數(shù) f－ 眾數(shù)組下一組 (L之下 )次數(shù) f 1 ， △ 2=眾數(shù)組次數(shù) f－ 眾數(shù)組上一組 (L之上 )次數(shù) f +1， i =眾數(shù)組的組距。 課本沒(méi)有介紹基尼系數(shù)的具體計(jì)算方法，只簡(jiǎn)單提到“等腰三角形法”，但沒(méi)介紹如何分解等腰三角形興趣的同學(xué)可以參考網(wǎng)上的相關(guān)文章。 1. 20世紀(jì)初意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家基尼 (G. Gini)根據(jù)洛倫茨曲線給出了衡收入分配平均程度的指標(biāo) 2. A表示實(shí)際收入曲線與絕對(duì)平均線之間的面積 3. B表示實(shí)際收入曲線與絕對(duì)不平均線之間的面積 4. 如果 A=0， 則基尼系數(shù) =0， 表示收入絕對(duì)平均 5. 如果 B=0， 則基尼系數(shù) =1， 表示收入絕對(duì)不平均 6. 基尼系數(shù)在 0 和 1之間取值 7. 一般認(rèn)為 ， 基尼系數(shù)若小于 ， 表明分配平均；基尼系數(shù)在 ， 即一個(gè)社會(huì)既有效率又沒(méi)有造成極大的分配不公；基尼系數(shù)在 ，超過(guò)了 。 1. 20世紀(jì)初美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家 、 統(tǒng)計(jì)學(xué)家洛倫茨(. Lorentz)根據(jù)意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家巴雷特 (V. Pareto)提出的收入分配公式繪制而成 2. 是描述收入和財(cái)富分配性 質(zhì)的曲線 ， 分析國(guó)家或地 區(qū)分配的平均程度 。 2. 繪制方法： ⑴ 次數(shù)分配直方圖： 在直角坐標(biāo)中 ， 將分組標(biāo)志置于橫軸 ， 各組區(qū)間作為矩形的寬 ， 將次數(shù)(頻數(shù) )置于縱軸 ， 各組次數(shù) (頻數(shù) )作為相應(yīng)矩形的長(zhǎng) ， 用各組的長(zhǎng)方形圖組成次數(shù) (頻數(shù) )分配的直方圖 。 ⑵開(kāi)口組與閉口組： 當(dāng)大部分的組適合使用等距分組，而最大組或最小組次數(shù)太小時(shí)，可將較小幾組或較大幾組合并，采用用開(kāi)口組方式 (見(jiàn) P28表 ) ，否則采用閉口組方式 (見(jiàn) P24表 ) 。 ? P28[例 ]中，由于收入為連續(xù)變量，表 左邊兩列，就是對(duì)連續(xù)變量作等距分組編分配表的部分。 表 某班學(xué)生按年齡分組 按年齡分組 (歲 ) 人數(shù) 百分比 (%) 17 6 12 18 14 28 19 18 36 20 9 18 21 3 6 合計(jì) 50 100 對(duì)離散變量作等組距分組編分配表的例題 (5) (詳細(xì)過(guò)程 ) [P22 例 】某車間 30名工人每周加工某種零件件數(shù)如右表 ， 試對(duì)數(shù)據(jù) 進(jìn) 行 分 組。 ? 家庭人口數(shù)是離散變量，且家庭人口數(shù)分布范圍較小，可采用單變量分組方式進(jìn)行分組。其中左邊第一列就是各組名稱，從上而下分別由高到低分布。其中左邊第一列就是分組情況。 ? 次數(shù)分配形成的首要步驟在于按某標(biāo)志進(jìn)行分組。 與組距分組相關(guān)的 幾個(gè)概念 ? 1. 下限 ： 一個(gè)組的最小值 ? 2. 上限： 一個(gè)組的最大值 ? 3. 全距： 全部數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差 ? 4. 組距： 上限與下限之差 ? 5. 組中值： 下限與上限之間的中點(diǎn)值，或稱組平均數(shù)，常用作組的代表值 組中值的計(jì)算方法 ? ： ? ： 作不等組距分組的例題 ? 由于年齡分布具有年齡越小，人數(shù)越多，年齡越大，人數(shù)越少的現(xiàn)象，因此對(duì)人口按年齡進(jìn)行分組也可以作不等距分組。 (不等距、閉口、不重疊組限 ) ? 對(duì)連續(xù)變量必須采用組距分組 ? ，其取值范圍大 將百分制考試成績(jī)分為 60以下、 60～ 70、 70～80、 80～ 90、 90以上等五組。這時(shí)，各單變量值作為組的名稱，兩相鄰整數(shù)間區(qū)間才是組的取值范圍 。具體有四種不同方式： 1》 離散變量 ——變量只間斷取值 (1)取值范圍?。阂愿髯兞恐禐榻M名稱 ～ 單變量值分組 (常用 ) (2)取值范圍大：以兩整數(shù)值代表兩整數(shù)間距 ～ 組距分組 2》 連續(xù)變量 ——變量可連續(xù)取任意數(shù)值 (3)以一整數(shù)值代表相鄰兩整數(shù)間距 ～ 單變量值分組 (4)以兩整數(shù)值代表兩整數(shù)間距 ～ 組距分組 (常用 ) (1)單變量值分組的條件及方法 變量取值范圍小時(shí)都可應(yīng)用單變量值分組 ， 但連續(xù)變量與離散變量的分組定義不相同 。 [例 1] 將學(xué)生按性別 (列名尺度 )分為“男”、“女”兩組。 120%=110% ? 可知，該企業(yè) 2022年產(chǎn)值計(jì)劃超額 10%完成。 ? 解：該計(jì)劃的完成程度為 ? 1872萬(wàn)元 247。 ? 解：該地區(qū)工業(yè)生產(chǎn)總值五年來(lái)的發(fā)展速度為 ? 247。 20萬(wàn)人 = /萬(wàn)人 =6280元 /人 ? 即 該地區(qū)去年 GDP為人均 6280元。 服務(wù)的人數(shù) =每個(gè)商業(yè)機(jī)構(gòu)所服務(wù)的人數(shù)，其數(shù)值越大反映人群獲得的服務(wù)越差，屬于逆指標(biāo)。其值越大越好者為正指標(biāo)，反之為逆指標(biāo)。 ? 也可以說(shuō)是 214%。 ? 計(jì)算結(jié)果常用百分?jǐn)?shù)或倍數(shù)表示，也可以比例形式表示。 結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)與比例相對(duì)數(shù)的對(duì)比 (補(bǔ)充 ) ? 相同之處： 都是同一總體中的數(shù)量對(duì)比，比較中的分子分母兩個(gè)指標(biāo)值類型相同，所屬時(shí)間相同。 = 總 體