【正文】 是多少，向下累計(jì)頻率表明某組下限以上的各組單位數(shù)之和占總體單位數(shù)比重的大小。 297 ? 累計(jì)頻數(shù)分布特點(diǎn) ? 1）第一組的累計(jì)頻數(shù)等于第一組本身的頻數(shù)； ? 2）最后一組累計(jì)頻數(shù)等于總體單位數(shù)。 ? 累計(jì)頻率同樣也具有兩個(gè)特點(diǎn)： ? 1）第一組的累計(jì)頻率等于第一組本身的頻率； ? 2）最后一組的累計(jì)頻率等于 1。 ? 累計(jì)頻數(shù)（頻率）分布圖分為向上累計(jì)頻數(shù)（頻率）分布圖和向下累計(jì)頻數(shù)（頻率）分布圖。以分組變量為橫軸，以累計(jì)頻數(shù)（頻率）為縱軸。 ? 在直角坐標(biāo)點(diǎn)系上將各組組距的上限與其相應(yīng)的累計(jì)頻數(shù)（頻率）所構(gòu)成坐標(biāo)點(diǎn)，依次用直線（或光滑曲線）相連，即是向上累計(jì)曲線。 ? 在直角坐標(biāo)系上將各組組距下限與其相應(yīng)累計(jì)頻數(shù)（頻率）所構(gòu)成坐標(biāo)點(diǎn)，依次用直線（或光滑曲線）相連，即是向下累計(jì)分布曲線圖。 298 第三節(jié) 分布離散程度的測度 ? 集中趨勢表示的是分布的中心位置或一般水平的代表值，離散程度反映的是分布離散和差異程度。 ? 極差 ? 內(nèi)距 ? 方差和標(biāo)準(zhǔn)差 ? 離散系數(shù) 299 例如，某零件的真實(shí)長度為 a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測量 10次，將測量結(jié)果 X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖： 若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？ a?? ? ? ?? ??? ?乙儀器測量結(jié)果 a? ? ? ?? ? ?? ??甲儀器測量結(jié)果 較好 測量結(jié)果的均值都是 a 因?yàn)橐覂x器的測量結(jié)果集中在均值附近 2100 又如 ,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊 10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖： 你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢 ? 甲炮射擊結(jié)果 乙炮射擊結(jié)果 乙炮 因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 . ???????? ???????? ??? ?中心 中心 2101 一、絕對數(shù)形式的變異指標(biāo) ? （一）極差、全距（ R） ? 公式： R =最大值 — 最小值 ? 優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡便 ? 缺點(diǎn)：易受極端值的影響 ? 舉例： 5名學(xué)生的成績?yōu)?50、 6 7 897 則 R=9750=47 2102 內(nèi)距 ? 四分位數(shù)：將數(shù)據(jù)分布 4等分的三個(gè)數(shù)值，其中中間的四分位數(shù)就是中位數(shù)。 ? 十分位數(shù)：將數(shù)據(jù)分布 10等分的 9個(gè)數(shù)值 ? 內(nèi)距是兩個(gè)四分位數(shù)之差，即 ? 內(nèi)距 =上四分位數(shù) — 下四分位數(shù) 2103 （二）平均差（ ) ? 簡單平均差 ? 公式： ? 應(yīng)用條件：資料未分組，各變量值出現(xiàn)的次數(shù)為1。 ? 舉例： 5名工人日產(chǎn)量資料 nxxDA ? ???日產(chǎn)量 (件 ) 20 3 22 1 23 0 24 1 26 3 合計(jì) 8 xx?)(235 2624232220x 件??????)(6158DA 件????2104 加權(quán)平均差 ? 公式： ? 應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。 ? 舉例：前例， ?? ???ffxxDA按日產(chǎn)量分組（公斤） 工人數(shù) f 組中值 x 20— 30 10 25 170 30— 40 70 35 490 40— 50 90 45 270 50— 60 30 55 390 合 計(jì) 200 — 1320 )(42x 公斤?fxx ?公斤）(662001 3 2 0DA????2105 平均差的優(yōu)缺點(diǎn) ? 優(yōu)點(diǎn)：平均差是根據(jù)全部數(shù)值計(jì)算的，受極端值影響較全距小。 ? 缺點(diǎn)：由于采取絕對值的方法消除離差的正負(fù)號(hào)，應(yīng)用較少。 ? 返回 2106 （三）標(biāo)準(zhǔn)差（ ） ? 簡單標(biāo)準(zhǔn)差 ? 公式： ? 應(yīng)用條件：資料未分組，各組次數(shù)都是 1。 ? 舉例：前例， ?n)xx( 2? ???日產(chǎn)量（件） 20 9 22 1 23 0 24 1 26 9 合計(jì) 20 2)xx( ?)(23x 件?)(2520 件??σ2107 加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差 ? 公式： ? 應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。 ? 舉例：前例， ?? ???ff)xx( 2)(42x 公斤?日產(chǎn)量（公斤） 工人數(shù)f 組中值x 20— 30 10 25 2880 30— 40 70 35 3430 40— 50 90 45 810 50— 60 30 55 5070 合 計(jì) 200 — 12190 f)xx( 2?)(81795602 0 01 2 1 9 0公斤??????2108 是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差 ? 如前：是非標(biāo)志的平均數(shù)為 P。 標(biāo)志值 x 單位數(shù) f 1 0 合計(jì) N f)xx( 2?1N0N12 N)P1( ?02 N)P0( ? )P1(PNNPN)P1(0212??????是?由于標(biāo)準(zhǔn)差有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，相比較而言，它的應(yīng)用最為廣泛。 返回 2109 （四）絕對數(shù)形式變異指標(biāo)的適用條件 ? 當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)數(shù)列的平均水平相等時(shí) ,對比數(shù)列標(biāo)志值間的離散程度及平均水平的代表性 ,用絕對數(shù)形式的變異指標(biāo)。指標(biāo)值越大，說明變異程度越大，平均水平的代表性越不好；反之亦然。 ? 返回 2110 二、相對數(shù)形式的變異指標(biāo) ? 公式：有全距系數(shù)、平均差系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，應(yīng)用最廣泛的是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，其公式為： ? 舉例：甲組日產(chǎn)量（件）為 : 60 65 70 75 80。乙組日產(chǎn)量（臺(tái)）為： 2 5 7 9 12。 %1 0 0xv ????組別 平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) % 甲 70（件） (件 ) 乙 7（臺(tái)） (臺(tái) ) 2111 相對數(shù)形式變異指標(biāo)的適用條件 ? 當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)數(shù)列的平均水平不等時(shí) ,對比數(shù)列標(biāo)志值間的變異程度及平均水平的代表性 ,用相對數(shù)形式的變異指標(biāo)。指標(biāo)值越大，說明變異程度越大，平均水平的代表性越不好；反之亦然。 ? 返回 2112 第四節(jié) 分布的偏度和峰度 ? 一、統(tǒng)計(jì)動(dòng)差 ? 統(tǒng)計(jì)動(dòng)差：也稱為距，反映分布偏斜或離散程度的指標(biāo)。 ? 原點(diǎn)動(dòng)差：變量 x關(guān)于原點(diǎn)的 k階距，一般形式： （未分組） （ 分組） ? k= 1時(shí)，即 1階的原點(diǎn)動(dòng)差就是算術(shù)平均數(shù)。 ? k= 2時(shí)，即 2階的原點(diǎn)動(dòng)差就是平方平均數(shù)。 nxnikk??? 1??????niiniikkffx11?2113 中心動(dòng)差： ? 變量 x關(guān)于分布中心（平均數(shù)）的 k階距。一般形式： （ 未分組 ） （ 分組） ? 當(dāng) k=0時(shí)，即零階中心動(dòng)差 =1； ? 當(dāng) k=1時(shí)，即一階中心動(dòng)差 =0； ? 當(dāng) k=2時(shí)，即二階中心動(dòng)差 = 。 nxxnikik???? 1)(???????niiniikikffxx11)(?0?1?2? 2?2114 二、偏度 ? 偏度：衡量頻數(shù)分配不對稱程度，或偏斜程度的指標(biāo)。 ? 計(jì)算公式：（用距法測定） ? ? 232333????? ??2115 ? 當(dāng) =0時(shí)，左右完全對稱，為正態(tài)分布；當(dāng) 0時(shí)為正偏斜；當(dāng) 0時(shí)為負(fù)偏斜。 ?? ?Ⅰ( α =0) II(α 0) Ⅲ (α 0) 2116 三、峰度 ? 峰度：用以衡量頻數(shù)分配的集中程度，即分布曲線的尖峭程度的指標(biāo)。 ? 計(jì)算公式：（用距法測定） ? ? 33 22444 ?????????2117 ? 峰度指標(biāo) β=0，分布為正態(tài)峰度，當(dāng)峰度指標(biāo) β0時(shí)，表示頻數(shù)分布比正態(tài)分布更集中，分布呈尖峰狀態(tài)， β0時(shí)表示頻數(shù)分布比正態(tài)分布更分散，分布呈平坦峰。如圖所示： Ⅱ( β 0) Ⅰ( β =0) Ⅲ (β 0) 2118 單選 ? 16．當(dāng)數(shù)據(jù)組高度偏態(tài)時(shí)，哪一種平均數(shù)更具有代表性 ? ( ) ? A算術(shù)平均數(shù) B中位數(shù) C眾數(shù) D幾何平均數(shù) ? 17．方差是數(shù)據(jù)中各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的 ( ) ? A離差絕對值的平均數(shù) B離差平方的平均數(shù) ? C離差平均數(shù)的平方 D離差平均數(shù)的絕對值 ? 18．一組數(shù)據(jù)的偏態(tài)系數(shù)為 ，表明該組數(shù)據(jù)的分布是 ( ) ? A正態(tài)分布 B平頂分布 C左偏分布 D右偏分布 ? 19．當(dāng)一組數(shù)據(jù)屬于左偏分布時(shí)，則 ( ) ? A平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)是合而為一的 B眾數(shù)在左邊、平均數(shù)在右邊 ? C眾數(shù)的數(shù)值較小，平均數(shù)的數(shù)值較大 D眾數(shù)在右邊、平均數(shù)在左邊 ? 20．四分位差排除了數(shù)列兩端各 ( )單位標(biāo)志值的影響。 ? A 1096 B 15％ C25％ D 35％ 2119 多選 ? 1．在各種平均數(shù)中，不受極端值影響的平均數(shù)是 ( ) ? A算術(shù)平均數(shù) B調(diào)和平均數(shù) C中位數(shù) D幾何平均數(shù) E眾數(shù) ? 2．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的大小受哪些因素的影響 ( ) ? A受各組頻數(shù)或頻率的影響 B受各組標(biāo)志值大小的影響 ? C受各組標(biāo)志值和權(quán)數(shù)的共同影響 D只受各組標(biāo)志值大小的影響 E只受權(quán)數(shù)大小的影響 ? 3．平均數(shù)的作用是 ( ) ? A反映總體的一般水平 B對不同時(shí)間、不同地點(diǎn)、不同部門的同質(zhì)總體平均數(shù)進(jìn)行對 1 ? C測定總體各單位的離散程度 D測定總體各單位分布的集中趨勢 E反映總體的規(guī)模 ? 4．眾數(shù)是 ( ) ? A位置平均數(shù) B總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值 C不受極端值的影響 ? D適用于總體單位數(shù)多，有明顯集中趨勢的情況 E處于變量數(shù)列中點(diǎn)位置的那個(gè)標(biāo)志值 2120 ? 16． C 17． B 18． D 19． D 20． C ? 三、多項(xiàng)選擇題 ? 1． CE 2． ABC 3． ABD 4． ABCD 2121 ? 10．你是定時(shí)器的購買者，定時(shí)器在新道路爆破中用來起爆炸藥。你必須在兩個(gè)供應(yīng)者之間選擇，分別用 A和 B表示。在各自的說明書中，你發(fā)現(xiàn)由 A出售的導(dǎo)火線引爆的平均時(shí)間為 30秒，其標(biāo)準(zhǔn)差為 0． 5秒；而由 B出售的導(dǎo)火線引爆的平均時(shí)間為 30秒，其標(biāo)準(zhǔn)差為 6秒。請你做出選擇，并說明原因。 2122 ? 10．解：應(yīng)選擇由 A出售的定時(shí)器。因?yàn)?A和 B的爆破平均時(shí)間相同，而 A的標(biāo)準(zhǔn)差大大地小于 B，可以判斷其質(zhì)量相對穩(wěn)定。