直接證明與間接證明(2)-資料下載頁
2025-04-30 02:53本頁面
【正文】 立 ． 所以 a ， b ， c 中至少有一個大于 0. 【點評】 反證法證明問題的一般步驟是： ( 1 ) 反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，也就是假設(shè)在已知條件下，存在與要證明的結(jié)論相反的情形； ( 2 ) 歸謬：由反設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，通過正確的邏輯推理，推得矛盾； ( 3 ) 存真：由所得的矛盾斷言反設(shè)不真，從而肯定原命題的正確性 ． 求證 ： 三條拋物線 y ＝ cx2＋ 2 ax ＋ b ， y ＝ ax2＋ 2 bx ＋ c ，y ＝ bx2＋ 2 cx ＋ a ( a 、 b 、 c 為非零實數(shù) ) 中至少有一條與 x 軸有交點 ． 素材 3 【證明】 假設(shè)三條拋物線與 x 軸均無交點， 則方程 cx2＋ 2 ax ＋ b ＝ 0 的判別式 Δ1＝ 4 a2－ 4 bc ＜ 0. 同理， Δ2＝ 4 b2－ 4 ac ＜ 0 ， Δ3＝ 4 c2－ 4 ab ＜ 0 ， 則 Δ1＋ Δ2＋ Δ3＝ 4 a2＋ 4 b2＋ 4 c2－ 4 ab － 4 bc － 4 ac ＜ 0 ， 所以 2 ( a － b )2＋ 2 ( b － c )2＋ 2 ( c － a )2＜ 0 ， 這與 2 ( a － b )2＋ 2 ( b － c )2＋ 2 ( c － a )2≥ 0 相矛盾， 故假設(shè)不成立 ． 所以三條拋物線中至少有一條與 x 軸有交點 ． 備選例題 在 △ ABC 中 ， 三個內(nèi)角 A 、 B 、 C 的對邊分別為 a 、 b 、c ， 若1a ＋ b＋1b ＋ c＝3a ＋ b ＋ c， 試問 ： A ， B ， C 是否成等差數(shù)列 ， 若不成等差數(shù)列 ， 請說明理由 ； 若成等差數(shù)列 ， 請給出證明 ． 【解析】 A ， B ， C 成等差數(shù)列，下面用綜合法給出證明 ． 因為1a ＋ b＋1b ＋ c＝3a ＋ b ＋ c，所以a ＋ b ＋ ca ＋ b＋a ＋ b ＋ cb ＋ c＝ 3 ， 所以ca ＋ b＋ab ＋ c＝ 1 ， 所以 c ( b ＋ c ) ＋ a ( a ＋ b ) ＝ ( a ＋ b )( b ＋ c ) ， 所以 b2＝ a2＋ c2－ ac . 在 △ ABC 中，由余弦定理，得 cos B ＝a2＋ c2－ b22 ac＝ac2 ac＝12. 因為 0176。 B 180176。 ，所以 B ＝ 60176。 ， 所以 A ＋ C ＝ 2 B ＝ 12 0176。 ，所以 A 、 B 、 C 成等差數(shù)列 ． 1． 綜合法的特點： 從 “ 已知 ” 看 “ 可知 ” ， 逐步推向“ 未知 ” ， 其逐步推理 ， 實際上尋找它的必要條件 ． 2． 分析法的特點： 從 “ 未知 ” 看 “ 需知 ” ， 逐步靠攏“ 已知 ” ， 其逐步推理 ， 實際上是尋找它的充分條件 ． 3． 反證法的步驟： ① 分清命題的條件和結(jié)論； ② 作出命題結(jié)論不成立的假設(shè)； ③ 由假設(shè)出發(fā) ， 應用正確的推理方法 ， 推理出矛盾的結(jié)果； ④ 否定假設(shè) ， 從而間接的證明結(jié)論 ．
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1