直接證明與間接證明(1)-資料下載頁(yè)
2025-04-30 02:53本頁(yè)面
【正文】 ” ，即從 “ 未知 ” 看 “ 需知 ” ，逐步靠攏 “ 已知 ” ；分析法的優(yōu)點(diǎn)是利于思考，因?yàn)樗较蛎鞔_，思路自然，易于掌握，而綜合法的優(yōu)點(diǎn)是易于表述，條理清晰，形式簡(jiǎn)潔． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 反證法 [ 例 4] 已知 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ，且 a ＋ b ＞ 2 ，求證：1 ＋ ba，1 ＋ ab中至少有一個(gè)小于 2. [ 分析 ] 已知條件較少，結(jié)論反而有三種情況，故聯(lián)想到從結(jié)論的反面入手較易，即使用反證法． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 證明 ] 假設(shè)1 ＋ ba，1 ＋ ab都不小于 2 ， 即1 ＋ ba≥ 2 ，1 ＋ ab≥ 2. ∵ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， ∴ 1 ＋ b ≥ 2a,1 ＋ a ≥ 2b ， ∴ 1 ＋ 1 ＋ a ＋ b ≥ 2 ( a ＋ b) ，即 2 ≥ a ＋ b ， 這與已知 a ＋ b ＞ 2 矛盾，故假設(shè)不成立． 即1 ＋ ba，1 ＋ ab中至少有一個(gè)小于 2. 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 點(diǎn)評(píng) ] 結(jié)論若是 “ 都是 ”“ 都不是 ”“ 至多 ”“ 至少 ” 形式的不等式，或直接從正面入手難以尋覓解題突破口的問(wèn)題，宜考慮使用反證法． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 用反證法證明不等式 若 p 0 ， q 0 ， p3＋ q3＝ 2 ，求證： p ＋ q ≤ 2. 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 證明 ] 假設(shè) p ＋ q 2 ，即 p 2 － q ， ∴ p3 ( 2 － q)3＝ 8 － 12q ＋ 6q2－ q3， 即 8 － 12q ＋ 6q2－ (q3＋ p3) 0 ， ∴ 6 － 12q ＋ 6q20 ，那么 q2－ 2q ＋ 1 0 ， ∴ (q － 1)20 與 (q － 1)2≥ 0 相矛盾，故假設(shè)不成立， ∴ p ＋ q ≤ 2. 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 點(diǎn)評(píng) ] 條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系不是很明顯，直接證明無(wú)從著手，可考慮使用反證法 . 反證法是常用的一種重要的思維方式和數(shù)學(xué)方法，在平面幾何、不等式及立體幾何中有著廣泛的應(yīng)用． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 1 ．關(guān)于綜合法與分析法 分析法的特點(diǎn)：從 “ 未知 ” 看 “ 需知 ” ，逐步靠攏“ 已知 ” ，其逐步推理，實(shí) 際上是要尋找它的充分條件． 綜合法的特點(diǎn)：從 “ 已知 ” 看 “ 可知 ” ，逐步推向“ 未知 ” ，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的必要條件． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 從而看出，分析法與綜合法是兩種思路截然相反的證明方法，既對(duì)立又統(tǒng)一．用綜合法證題前往往用分析法尋找解題思路，即所謂的 “ 分析 ” ． 因此，分析法即可用于尋找解題思路，也可以是完整的證明過(guò)程．并且在解決較復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，往往是分析法與綜合法相互結(jié)合使用． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 2 ．關(guān)于反證法 ( 1) 用反證法證明問(wèn)題的一般步驟 ① 反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面( 否定命題 ) 成立； ( 否定結(jié)論 ) ② 歸謬：將 “ 反設(shè) ” 作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)出矛盾 —— 與已知條件、已知公理、定義、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾； ( 推導(dǎo)矛盾 ) 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ③ 結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“ 反設(shè) ” 的謬誤．既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ( 2) 用反證法證明問(wèn)題時(shí)要注意以下三點(diǎn)： ① 必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的； 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ② 反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā) 進(jìn)行推理，就不是反證法； ③ 推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ( 3) 反證法主要適用于以下情形： ① 結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題； ② 關(guān)于唯一性、存在性的命題； ③ 結(jié)論以 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 等形式出現(xiàn)的命題； ④ 結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題； 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ⑤ 要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰的命題． ⑥ 如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版
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