直接證明與間接證明(2)-閱讀頁
2025-05-15 02:53本頁面
【正文】 π6， 所以 x2－ 2 y ＋π2＋ y2－ 2 z ＋π3＋ z2－ 2 x ＋π6 ＝ ( x － 1 )2＋ ( y － 1 )2＋ ( z － 1 )2＋ ( π － 3 ) ≤ 0. ① 又因為 ( x － 1 )2＋ ( y － 1 )2＋ ( z － 1 )2≥ 0 ， π － 30 ， 所以 ( x － 1 )2＋ ( y － 1 )2＋ ( z － 1 )2＋ ( π － 3 ) 0. ② ①② 矛盾，故假設(shè)不成立 ． 所以 a ， b ， c 中至少有一個大于 0. 【點評】 反證法證明問題的一般步驟是： ( 1 ) 反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，也就是假設(shè)在已知條件下，存在與要證明的結(jié)論相反的情形； ( 2 ) 歸謬：由反設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，通過正確的邏輯推理，推得矛盾； ( 3 ) 存真：由所得的矛盾斷言反設(shè)不真，從而肯定原命題的正確性 ． 求證 ： 三條拋物線 y ＝ cx2＋ 2 ax ＋ b ， y ＝ ax2＋ 2 bx ＋ c ，y ＝ bx2＋ 2 cx ＋ a ( a 、 b 、 c 為非零實數(shù) ) 中至少有一條與 x 軸有交點 ． 素材 3 【證明】 假設(shè)三條拋物線與 x 軸均無交點， 則方程 cx2＋ 2 ax ＋ b ＝ 0 的判別式 Δ1＝ 4 a2－ 4 bc ＜ 0. 同理， Δ2＝ 4 b2－ 4 ac ＜ 0 ， Δ3＝ 4 c2－ 4 ab ＜ 0 ， 則 Δ1＋ Δ2＋ Δ3＝ 4 a2＋ 4 b2＋ 4 c2－ 4 ab － 4 bc － 4 ac ＜ 0 ， 所以 2 ( a － b )2＋ 2 ( b － c )2＋ 2 ( c － a )2＜ 0 ， 這與 2 ( a － b )2＋ 2 ( b － c )2＋ 2 ( c － a )2≥ 0 相矛盾， 故假設(shè)不成立 ． 所以三條拋物線中至少有一條與 x 軸有交點 ． 備選例題 在 △ ABC 中 ， 三個內(nèi)角 A 、 B 、 C 的對邊分別為 a 、 b 、c ， 若1a ＋ b＋1b ＋ c＝3a ＋ b ＋ c， 試問 ： A ， B ， C 是否成等差數(shù)列 ， 若不成等差數(shù)列 ， 請說明理由 ； 若成等差數(shù)列 ， 請給出證明 ． 【解析】 A ， B ， C 成等差數(shù)列，下面用綜合法給出證明 ． 因為1a ＋ b＋1b ＋ c＝3a ＋ b ＋ c，所以a ＋ b ＋ ca ＋ b＋a ＋ b ＋ cb ＋ c＝ 3 ， 所以ca ＋ b＋ab ＋ c＝ 1 ， 所以 c ( b ＋ c ) ＋ a ( a ＋ b ) ＝ ( a ＋ b )( b ＋ c ) ， 所以 b2＝ a2＋ c2－ ac . 在 △ ABC 中，由余弦定理，得 cos B ＝a2＋ c2－ b22 ac＝ac2 ac＝12. 因為 0176。 B 180176。 ， 所以 A ＋ C ＝ 2 B ＝ 12 017
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