高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十講：抽象函數(shù)問題的題型綜述-資料下載頁
2025-04-17 13:01本頁面
【正文】 f() f()=f()+f()x∈（1，0）時，有f(x) 0f()0, f()+f()f()即f ()+f ()+…+f () f ()1) 6． 設(shè) f (x)是定義在R上的偶函數(shù),其圖像關(guān)于直線x=1對稱, 對任意xx2[0,]都有f (x1+ x2)＝f(x1) f(x2), 且f(1)=a0.①求f ()及 f ()。②證明f(x)是周期函數(shù)③記an=f(2n+), 求(lnan)解: ①由f (x)= f ( + )=[f(x)]20,f(x)a= f(1)=f(2n )=f(++…+)＝[f ()]2解得f ()= f ()=,f ()=.② f(x)是偶函數(shù),其圖像關(guān)于直線x=1對稱, f(x)=f(x),f(1+x)=f(1x). f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1(1+x)]= f(x)=f(x).f(x)是以2為周期的周期函數(shù).③ an=f(2n+)= f ()=(lnan)= =07． 設(shè)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，且對任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)f(y)①求f(0)，②設(shè)當(dāng)x0時，都有f(x)f(0)證明當(dāng)x0時0f(x)1,③設(shè)a1=,an=f(n)（n∈N* ），sn為數(shù)列｛an｝前n項和，求sn.解：①②仿前幾例，略。③an＝f(n)， a1＝f(1)＝an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝an數(shù)列｛an｝是首項為公比為的等比數(shù)列sn＝1 sn＝18． 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且滿足條件： （i） （ii）對任意的 （Ⅰ）證明：對任意的 （Ⅱ）證明：對任意的 （Ⅲ）在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)，且使得 若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由.（Ⅰ）證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)時，有即（Ⅱ）證法一：對任意的當(dāng)不妨設(shè)則所以，綜上可知，對任意的都有證法二：由（Ⅰ）可得，當(dāng) 所以，當(dāng)因此，對任意的當(dāng)時，當(dāng)時，有且所以綜上可知，對任意的都有（Ⅲ）答：滿足所述條件的函數(shù)不存在. 理由如下，假設(shè)存在函數(shù)滿足條件，則由 得 又所以① 又因為為奇數(shù)，所以由條件得 ② ①與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在.練習(xí):1. 函數(shù)f(x)對任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)1，且x0時，f(x) 1①求證f(x)是R上的增函數(shù)②若f(4)＝5，解不等式f(3x2x2)3(x)是R上的函數(shù), 對任意的實數(shù)xx2都滿足f(x1+ x2)＝f(x1)+ f(x2), 當(dāng)x0時，f(x) 0且f(2)=3①試判斷f(x)的奇偶性和單調(diào)性②當(dāng)θ∈[0,]時, f(cos2θ－3)+ f(4m－2mcosθ)對所有的θ均成立,求n1實數(shù)的取值范圍 (n)是定義在N上且取值為整數(shù)的嚴格單增函數(shù)，m、n互質(zhì)時f(mn)＝f (m)f (n)若f(19)＝19，求f(f(19) f(98))的值4. f (x)定義域為R，對任意xx2 R都有f (x1+ x2)＝f(x1)+ f(x2)， 且x0時，f(x) 0、f(1)＝2①試判斷f (x)的奇偶性②試判斷在[3，3]上，f (x)是否有最大值或最小值？如果有求之，如果沒有，說明理由 ③解關(guān)于x的不等式 f（bx2）－f(x) f（b2x）－f（b）（b2≠2） (x)定義域為R，對任意實數(shù)m、n都有f(m+n)＝f (m)f (n)，且當(dāng)x0時，0 f (x) 1①求f (0)證明x0時 f (x) 1.②證明f(x)在R上單減，并舉出一個滿足①②的函數(shù)f(x)② 設(shè)A＝，B＝，若A∩B＝求a取值范圍（0，+∞）上的函數(shù)f (x)滿足①對于任意正數(shù)x、y都有f (xy)＝f(x)+ f(y)， ②f (2)＝p－1，③x1時總有f(x)p2) 求f (1)及f ()的值（寫成關(guān)于p的表達式）3) 求證：f (x)在（0，+∞）上是減函數(shù)設(shè)an＝ f (2n)（n N*），數(shù)列的前項和為Sn ，當(dāng)且僅當(dāng)n＝5時Sn取得最大值，求p的取值范圍 28
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