近三年高考全國卷理科立體幾何真題-資料下載頁
2025-04-17 12:44本頁面
【正文】 2=BD2 ． ∴∠BOD=90176。．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB?平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（Ⅱ）解：設(shè)點D，B到平面ACE的距離分別為hD ， hE ． 則 = ．∵平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，∴ = = =1．∴點E是BD的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設(shè)AB=2．則O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），E ．=（﹣1，0，1）， = ， =（﹣2，0，0）．設(shè)平面ADE的法向量為 =（x，y，z），則 ，即 ，取 = ．同理可得：平面ACE的法向量為 =（0，1， ）．∴cos = = =﹣ ．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值為 ． 【答案】（1）證明：∵∠BAP=∠CDP=90176。，∴PA⊥AB，PD⊥CD， ∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形， 由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，則四邊形ABCD為矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90176。，可得△PAD為等腰直角三角形，設(shè)PA=AB=2a，則AD= ．取AD中點O，BC中點E，連接PO、OE，以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則：D（ ），B（ ），P（0，0， ），C（ ）．， ， ．設(shè)平面PBC的一個法向量為 ，由 ，得 ，取y=1，得 ．∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥AD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，則 為平面PAB的一個法向量， ．∴cos＜ ＞= = ．由圖可知，二面角A﹣PB﹣C為鈍角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值為 ．17
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