海文鉆石卡講義(高數(shù))-資料下載頁(yè)
2025-04-17 05:26本頁(yè)面
【正文】 達(dá)式例8 設(shè), 且，求.五 無窮級(jí)數(shù) (數(shù)學(xué)一、三)1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念a) 稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 稱為第項(xiàng)或通項(xiàng).b) , 若（存在），則稱級(jí)數(shù)收斂，其和為，記作；若極限不存在，稱級(jí)數(shù)發(fā)散.2 收斂的基本性質(zhì)a) 和皆收斂，則收斂。收斂，發(fā)散，則發(fā)散； 發(fā)散，發(fā)散，情況不明.b) 在級(jí)數(shù)中增加或減少或變更有限項(xiàng)則級(jí)數(shù)的收斂性不變.c) 與收斂性相同.d) 對(duì)收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂，而且其和不變. 但是發(fā)散級(jí)數(shù)任意加括號(hào)，不一定發(fā)散它可能收斂.e) 級(jí)數(shù)收斂的必要條件是.3 正項(xiàng)級(jí)數(shù)和判別法a) 若則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 收斂有上界 b) 比較判別法一般: 成立,收斂,則收斂。若發(fā)散,則發(fā)散。極限: 設(shè)， 若 1）當(dāng)時(shí)，與同時(shí)收斂或發(fā)散。2）當(dāng)時(shí)，若收斂，則收斂。 3）當(dāng)時(shí)，若收斂，則收斂.c) 比值判別法（達(dá)朗倍爾）設(shè)，而 1）當(dāng)時(shí)，則收斂。 2）當(dāng)時(shí)（包括），則發(fā)散。 3）當(dāng)時(shí)，此判別法無效.注：對(duì)于多項(xiàng)式形式的級(jí)數(shù)，本方法必定不能判斷收斂性.d) 根值判別法（柯西）（數(shù)學(xué)三不考）設(shè)，而 1）當(dāng)時(shí)，則收斂。 2）當(dāng)時(shí)（包括），則發(fā)散。 3）當(dāng)時(shí)，此判別法無效.注: 比值判別法和根值判別法在很大程度上是等價(jià)的，根據(jù)所給級(jí)數(shù)的形狀有不同的選擇。含階層的通項(xiàng)往往用比值判別法，含指數(shù)為的通項(xiàng)往往用根植判別法.e) 判斷程序: 必要條件,比較極限(等價(jià)代換),比值根值,比較,積分.例1討論級(jí)數(shù)的收斂性.例2 討論的收斂性.例3 討論級(jí)數(shù)的收斂性.例4 討論 的收斂性.4 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其萊布尼茲判別法a)定義 若，稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。b) 萊布尼茲判別法.設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足： 1） 2），則收斂，且.例5 討論級(jí)數(shù)的收斂性.例6 討論級(jí)數(shù)5 絕對(duì)收斂與條件收斂a) 定義： 若收斂, 稱絕對(duì)收斂；若收斂，發(fā)散，稱為條件收斂。b) 關(guān)系：若收斂，則一定收斂；反之不然。c ) 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)中無窮多項(xiàng)任意交換順序，得到級(jí)數(shù)仍是絕對(duì)收斂，且其和不變。例7 設(shè)條件收斂,則該級(jí)數(shù)正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)構(gòu)成的級(jí)數(shù)，即或是否收斂？6 冪級(jí)數(shù)a) 定義: 稱為的冪級(jí)數(shù).b) (Abel定理) 若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)x1≠0處收斂，則當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若級(jí)數(shù)在點(diǎn)x2處發(fā)散，則當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散．推論：條件收斂點(diǎn)必定為收斂域的端點(diǎn).c）收斂半徑與收斂域的求法： 例8 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.例9若在點(diǎn)條件收斂，求收斂半徑.7 冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，為和函數(shù)，則有下列重要性質(zhì)。(a) 在其收斂域內(nèi)連續(xù).(b) 在內(nèi)可導(dǎo)，則, 新的級(jí)數(shù)與原來的級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.(c) 在收斂域內(nèi)可積，則且這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也不變。8 泰勒級(jí)數(shù)a）泰勒級(jí)數(shù): 級(jí)數(shù).當(dāng)，則級(jí)數(shù)稱為的麥克勞林級(jí)數(shù)。b) 收斂條件：在a的條件下，泰勒級(jí)數(shù)收斂于(或說可展開成冪級(jí)數(shù))的充要條件是。c) 常見的幾個(gè)泰勒(麥克勞林)級(jí)數(shù)（1） （2） （3）， （4），（5）， （6）， 9 冪級(jí)數(shù)收斂的求和a) 將冪級(jí)數(shù)變換為幾個(gè)常見冪級(jí)數(shù)的和或差等.例10 .b) 逐項(xiàng)積分或微分.1) 求出級(jí)數(shù)的收斂域。2) 在收斂區(qū)間內(nèi)，通過逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)將原來的級(jí)數(shù)變?yōu)樾碌募?jí)數(shù)(一般來說分母次數(shù)比較高用微分，分子次數(shù)比較高用積分), 求出新級(jí)數(shù)的和。3) 若端點(diǎn)收斂，確定端點(diǎn)的值， 。例11 求。例12 求10 將函數(shù)在指定點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)a) 直接方法. 求出泰勒級(jí)數(shù)和收斂域，驗(yàn)證。b) 間接方法. 將原來的函數(shù)寫成常規(guī)函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合，通過直接的運(yùn)算或變量代換展開即得。例13 求在的展開。c) 分析方法. 對(duì)原來的函數(shù)求導(dǎo)或積分后展開為冪級(jí)數(shù)，然后通過相應(yīng)的逆運(yùn)算得到冪級(jí)數(shù)，最后求出收斂域。例14 求在的
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