廣東20xx年汕頭市普通高考第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題(解析版)-資料下載頁
2025-04-17 01:05本頁面
【正文】 為考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系．【名師點(diǎn)睛】在解析幾何中，求直線上兩點(diǎn)間距離，可利用直線的斜率簡(jiǎn)化距離公式：是直線上的兩點(diǎn)，則，而，只要利用韋達(dá)定理就可得．．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】（1） 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； （2）見解析.【解析】【分析】（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由是函數(shù)的極值點(diǎn)，解得，又由，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1），進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，令，利用導(dǎo)數(shù)求得在，即可作出證明.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，又由，且是函?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，又時(shí)，在上，是增函數(shù)，且，所以，得，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知因?yàn)椋谏?，是增函?shù)，又（且當(dāng)自變量逐漸趨向于時(shí)，趨向于），所以，使得，所以，即，在上，函數(shù)是減函數(shù)，在上，函數(shù)是增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即成立，【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值，從而得到證明；有時(shí)也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第223題中任選一題作答．如果多做，則按所作的第一題計(jì)分．，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為．（1）設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離的最大值為，求的值；（2）若曲線上任意一點(diǎn)都滿足，求的取值范圍．【答案】（1）8；（2）【解析】【分析】(1)將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)題意得到點(diǎn)P到直線的距離的最大值為，求參即可；（2）畫出曲線C和的圖像，根據(jù)題意只要圓在直線上方即可，臨界狀態(tài)是圓和線相切，列不等式求解即可.【詳解】（1）依題意得曲線的普通方程為， 因?yàn)?，所以，因?yàn)椋驗(yàn)橹本€的直角坐標(biāo)方程為，即， 所以圓心到直線的距離為， 則依題意得，因?yàn)?，解得?（2）因?yàn)榍€上任意一點(diǎn)都滿足，畫出曲線C和的圖像，根據(jù)題意只要圓在直線上方即可，臨界狀態(tài)是圓和線相切，圓心到直線的距離大于等于半徑即可，所以，所以，解得或， 又，所以的取值范圍為． 【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了直線和圓的位置關(guān)系，極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時(shí)候較少；在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長(zhǎng)或者切線長(zhǎng)時(shí)，經(jīng)常用到垂徑定理。．（1）若，求不等式的解集；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)都有，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）零點(diǎn)分區(qū)間分段解不等式即可；（2）根據(jù)x和k的范圍得到原不等式等價(jià)于，即，結(jié)合二次函數(shù)圖像的性質(zhì)得到結(jié)果即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所?當(dāng)時(shí)，由，得，即，得．所以不等式無解當(dāng)時(shí)，由，得，即，得．所以當(dāng)時(shí)，由，得，即，得，所以綜上所述，不等式的解集為：． （2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以，即?令，依題意可知恒成立，所以，即， 所以的取值范圍為．【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了含有絕對(duì)值的不等式的解法，以及絕對(duì)值不等式在小區(qū)間上恒成立的應(yīng)用；絕對(duì)值不等式一般是零點(diǎn)分區(qū)間，分類討論得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而得到解集；恒成立問題，通常先關(guān)注是否可以在這個(gè)小區(qū)間上將絕對(duì)值去掉.18
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