函數(shù)基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)-資料下載頁
2025-04-16 22:21本頁面
【正文】 ＞m2－1，即－2＜m＜1.②綜合①②可知，－1≤m＜1.(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1，(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[1,2]時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．[審題視點(diǎn)] (1)只需證明f(x＋T)＝f(x)，即可說明f(x)為周期函數(shù)；(2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)圖象關(guān)于x＝1對稱求得f(x)在[1,2]上的解析式；(3)由周期性求和的值．(1)證明 函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，則f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．(2)解 當(dāng)x∈[1,2]時，2－x∈[0,1]，又f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，則f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3)解 ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1. 判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點(diǎn)問題．5. 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 013)＋f(2 015)的值為( )．A．－1 B．1 C．0 D．無法計算解析 由題意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期為4，∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2 013)＋f(2 015)＝0.答案 C 6. 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則( )．A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)[嘗試解答] 由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)可以推知，f(x)在[－2,2]上遞增，又f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函數(shù)f(x)以8為周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故選D.答案 D9
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