一元二次方程講義——絕對(duì)經(jīng)典實(shí)用-資料下載頁(yè)
2025-04-16 12:24本頁(yè)面
【正文】 . 解關(guān)于x的一元二次方程，得 .當(dāng)時(shí)，由得.當(dāng)時(shí)，由得（不合題意，舍去）.∴ . …………………………5分●培優(yōu)訓(xùn)練例1 設(shè)關(guān)于x的二次方程的兩根都是整數(shù)，求滿(mǎn)足條件的所有實(shí)數(shù)k的值。例2 、已知關(guān)于x的方程a2x2(3a28a)x＋2a213a＋15=0(其中a是非負(fù)整數(shù))至少有一個(gè)整數(shù)根，求a的值．例3 、設(shè)m是不為零的整數(shù)，關(guān)于x的二次方程mx2(m1)x＋1＝0有有理根，求m的值例4 、關(guān)于x的方程ax2+2(a3)x+(a2)=0至少有一個(gè)整數(shù)解，且a是整數(shù)，求a的值．例5 、已知關(guān)于x的方程x2＋(a6)x＋a=0的兩根都是整數(shù)，求a的值．例6 、求所有有理數(shù)r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r1)=0的所有根是整數(shù)．例已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．（1）求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)m為何整數(shù)時(shí)，原方程的根也是整數(shù)．解：(1)證明： Δ= = = =．∵ ≥0， ∴ ＞0．∴ 無(wú)論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. …………2分（2） 解關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0，得 . ………………3分要使原方程的根是整數(shù)，必須使得是完全平方數(shù).設(shè)，則.∵ +和的奇偶性相同，可得或解得或. ………………5分 將m=－1代入，得符合題意. ………………6分 ∴ 當(dāng)m=－1 時(shí) ，原方程的根是整數(shù). ……………7分例8知關(guān)于x的方程．（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；（2）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，求關(guān)于y的方程的整數(shù)根（為正整數(shù)）．解：（1）△=== ……………………………………………………………… 1分∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴ 即 ∴的取值范圍是且． …………………………………… 3分（2）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△==．∴． ………………………………………………………………… 4分∴關(guān)于y的方程為．∴．由a為正整數(shù)，當(dāng)是完全平方數(shù)時(shí)，方程才有可能有整數(shù)根．設(shè)（其中m為整數(shù)），（、均為整數(shù)），∴．即．不妨設(shè) 兩式相加，得 ．∵與的奇偶性相同，∴32可分解為，，∴或或或．∴或或（不合題意，舍去）或．當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，即，．…… 5分當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，即，．…… 6分當(dāng)時(shí)， 方程的兩根為，即，． ………… 7分例9（011西城二模）閱讀下列材料：若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，則，．解決下列問(wèn)題：已知：a，b，c均為非零實(shí)數(shù)，且a＞b＞c，關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一根為2．（1）填空： 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）利用閱讀材料中的結(jié)論直接寫(xiě)出方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根（用含a，c的代數(shù)式表示）；（3）若實(shí)數(shù)m使代數(shù)式的值小于0，問(wèn)：當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式的值是否為正數(shù)？寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分（2）．……………………………………………………………………………4分（3）答：當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式的值是正數(shù)．理由如下：設(shè)拋物線(xiàn)（a≠0），則由題意可知，它經(jīng)過(guò)A，B 兩點(diǎn)．∵ a＞0，c＜0，∴ 拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，且＜0＜2，即點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．…………………………………………………………………………5分 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為．圖5 ∵ 代數(shù)式的值小于0，∴ 點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，且點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)．∴ 點(diǎn)M在x軸下方的拋物線(xiàn)上．（如圖5）∴ ，即．∴ ，即．以下判斷與的大小關(guān)系：∵ ＝0，a＞b，a＞0，∴ ．∴．∴ ．…………………………………………………………6分∵ B，N兩點(diǎn)都在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∴，即y0.∴ 當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式的值是正數(shù)． ………………………7分課后練習(xí)若xx2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是____________．已知xx2是方程的兩根，那么的值是（ ）．A．1 B．5 C．7 D．已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，這個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根xx2 滿(mǎn)足，求m的值．（2011延慶一模）已知：關(guān)于的一元二次方程（1）求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)，且方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為（其中），若是關(guān)于的函數(shù)，且＝，求這個(gè)函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，利用函數(shù)圖象求關(guān)于的方程的解．已知關(guān)于的方程的兩根都是整數(shù)，求的值．（2010?中山）已知一元二次方程．（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的范圍；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求m的值．（2010?孝感）關(guān)于x的一元二次方程有兩實(shí)數(shù)根，（1）求p的取值范圍；（2）若，求的值．（2011海淀二模）已知關(guān)于x的方程，其中。（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，其中，若，求y與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出使不等式成立的的取值范圍。初中數(shù)學(xué) :..第 34 頁(yè) 共 34 頁(yè)..:
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