【正文】 +PF）DP=t2，如圖2，當(dāng)1＜t≤2時(shí)，EG=E′G=（t﹣1），E′F=2（t﹣1），S不重合=（t﹣1）2，S=S1+S2﹣S不重合=+（t﹣1）﹣（t﹣1）2，=﹣；綜上所述：S=t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）．4. （2016黑龍江齊齊哈爾8分）如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2的拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）（1）求拋物線的解析式；（2）直接寫(xiě)出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求過(guò)O，B，C三點(diǎn)的圓的面積．（結(jié)果用含π的代數(shù)式表示）注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）利用對(duì)稱(chēng)軸方程可求得b，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可求得c，可求得拋物線的解析式；（2）根據(jù)A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用拋物線的解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)B、C坐標(biāo)可求得BC長(zhǎng)度，由條件可知BC為過(guò)O、B、C三點(diǎn)的圓的直徑，可求得圓的面積．【解答】解：（1）由A（﹣1，0），對(duì)稱(chēng)軸為x=2，可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x﹣5；（2）由A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），且對(duì)稱(chēng)軸方程為x=2，可知AB=6，∴OB=5，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），∵y=x2﹣4x﹣5，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣5）；（3）如圖，連接BC，則△OBC是直角三角形，∴過(guò)O、B、C三點(diǎn)的圓的直徑是線段BC的長(zhǎng)度，在Rt△OBC中，OB=OC=5，∴BC=5，∴圓的半徑為，∴圓的面積為π（）2=π．5. （棗莊市 2014 中考 25）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是第四象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合）．（1）求∠OBC的度數(shù)；（2）連接CD、BD、DP，延長(zhǎng)DP交x軸正半軸于點(diǎn)E，且S△OCE=S四邊形OCDB，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸交BC于點(diǎn)F，求線段PF長(zhǎng)度的最大值．思路分析：（1）結(jié)合拋物線圖形可知，可求三角形OBC的各個(gè)頂點(diǎn)，易知三角形形狀及內(nèi)角．（2）因?yàn)閽佄锞€已固定，則S四邊形OCDB固定，對(duì)于坐標(biāo)系中的不規(guī)則圖形常用分割求和、填補(bǔ)求差等方法求面積，本圖形過(guò)頂點(diǎn)作x軸的垂線及可將其分為直角梯形及直角三角形，面積易得．由此可得E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求ED直線方程，與拋物線解析式聯(lián)立求解即得P點(diǎn)坐標(biāo)．（3）根據(jù)圖像分析PF的長(zhǎng)度即為yF﹣yP．由于P、F的橫坐標(biāo)相同，則可直接利用解析式作差得到一個(gè)二次函數(shù)，再由所得的二次函數(shù)性質(zhì)討論最值，解法常規(guī)．解題過(guò)程：解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），∴由題意得，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）．在Rt△OBC中，∵OC=OB=3，∴△OBC為等腰直角三角形，∴∠OBC=45176。．（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，此時(shí)S四邊形OCDB=S梯形OCDH+S△HBD，∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，∴S梯形OCDH=?（OC+HD）?OH=，S△HBD=?HD?HB=4，∴S四邊形OCDB=．∴S△OCE=S四邊形OCDB==，∴OE=5，∴E（5，0）．設(shè)lDE：y=kx+b，∵D（1，﹣4），E（5，0），∴，解得，∴l(xiāng)DE：y=x﹣5．∵DE交拋物線于P，設(shè)P（x，y），∴x2﹣2x﹣3=x﹣5，解得 x=2 或x=1（D點(diǎn)，舍去），∴xP=2，代入lDE：y=x﹣5，∴P（2，﹣3）．（3）如圖2，設(shè)lBC：y=ax+t（a≠0），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴l(xiāng)BC：y=x﹣3．∵F在BC上，∴yF=xF﹣3，∵P在拋物線上，∴，∴線段PF長(zhǎng)度=﹣=﹣3﹣（），∵xP=xF，∴線段PF長(zhǎng)度==，（1＜＜3），∴當(dāng)xP=時(shí)，線段PF長(zhǎng)度最大為． 規(guī)律總結(jié)：解決本題關(guān)鍵是把握拋物線圖象性質(zhì)、已知兩點(diǎn)求直線解析式、直角三角形性質(zhì)及二次函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)并能靈活運(yùn)用．6. （郴州市 2014 中考 26）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點(diǎn)．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖一，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖二，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．思路分析：（1）已知三點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)一般式來(lái)利用待定系數(shù)法即可求得；（2）根據(jù)題意進(jìn)行輔助線作圖，如答圖1，四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．求出△PBC面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值；（3），通過(guò)輔助線展示，如答圖2，DE為線段AC的垂直平分線，則點(diǎn)A、C關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng)．連接AM，與DE交于點(diǎn)G，此時(shí)△CMG的周長(zhǎng)=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點(diǎn)G為所求．分別求出直線DE、AM的解析式，聯(lián)立后求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．解題過(guò)程：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點(diǎn)．∴，解得，∴這條拋物線的解析式為：．（2）設(shè)直線BC的解析式為：，將B（2，0）、C（0，2）代入得：，解得，∴直線BC的解析式為：．如答圖1，連接BC．四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．設(shè)P（，），過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，則F（，﹣+2）．∴PF=（）﹣（）=．S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF（xF﹣xC）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xC）=PF∴S△PBC==∴當(dāng)x=1時(shí)，△PBC面積最大，即四邊形ABPC面積最大．此時(shí)P（1，2）．∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，四邊形ABPC的面積最大．（3）存在．∵∠CAO+∠ACO=90176。，∠CAO+∠AED=90176。，∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ADE，∴，即，解得AE=，∴E（，0）．∵DE為線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴D（，1）．可求得直線DE的解析式為： ①．∵y==，∴M（，）．又A（﹣1，0），則可求得直線AM的解析式為：②．∵DE為線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)A、C關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng)．如答圖2，連接AM，與DE交于點(diǎn)G，此時(shí)△CMG的周長(zhǎng)=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點(diǎn)G為所求．聯(lián)立①②式，可求得交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，）．∴在直線DE上存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最小，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，）．規(guī)律總結(jié)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、相似三角形、軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€、圖形面積計(jì)算、最值等知識(shí)點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，在解決運(yùn)用時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜　7. （2016湖北荊州14分）閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點(diǎn)的“特征線”．例如，點(diǎn)M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．問(wèn)題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點(diǎn)B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)D（m，n）所有的特征線；（2）若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；（3）點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于坐標(biāo)軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí)，滿(mǎn)足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在OP上？【分析】（1）根據(jù)特征線直接求出點(diǎn)D的特征線；（2）由點(diǎn)D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而求出拋物線解析式；（2）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)D（m，n），∴點(diǎn)D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵拋物線解析式為，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四邊形OABC是正方形，且D點(diǎn)為正方形的對(duì)稱(chēng)軸，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n=2m，將n=m+1帶入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2+3（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于y軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)，根據(jù)題意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60176。，∴∠A′OP=∠AOP=30176。，∴MN==，∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=．乳頭，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于x軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)，∵頂點(diǎn)落在OP上，∴A′與D重合，∴A′（2，3），設(shè)P（4，c）（c＞0），由折疊有，PD=PA，∴=c，∴c=，∴P（4，）∴直線OP解析式為y=，∴N（2，），∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=，即：拋物線向下平移或距離，其頂點(diǎn)落在OP上．【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，特征線的理解，解本題的關(guān)鍵是用正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．8. （2016福建龍巖14分）已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣4，0），B（1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）已知點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），所以可以設(shè)拋物線為y=﹣（x+4）（x﹣1），展開(kāi)即可解決問(wèn)題．（2）先證明∠ACB=90176。，點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)P，求出直線AC解析式，再求出過(guò)點(diǎn)B平行AC的直線的解析式，利用方程組即可解決問(wèn)題．（3）分AC為平行四邊形的邊，AC為平行四邊形的對(duì)角線兩種切線討論即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）拋物線的解析式為y=﹣（x+4）（x﹣1），即y=﹣x2﹣x+2；（2）存在．當(dāng)x=0，y═﹣x2﹣x+2=2，則C（0，2），∴OC=2，∵A（﹣4，0），B（1，0），∴OA=4，OB=1，AB=5，當(dāng)∠PCB=90176。時(shí)，∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25∴AC2+BC2=AB2∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90176。，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0）；當(dāng)∠PBC=90176。時(shí)，PB∥AC，如圖1，設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=x+2，∵BP∥AC，∴直線BP的解析式為y=x+p，把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣，∴直線BP的解析式為y=x﹣，解方程組得或，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，﹣3）；綜上所述，滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；（3）存在點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，0），F(xiàn)（n，﹣n2﹣n+2）①當(dāng)AC為邊，CF1∥AE1，易知CF1=3，此時(shí)E1坐標(biāo)（﹣7，0），②當(dāng)AC為邊時(shí)，AC∥EF，易知點(diǎn)F縱坐標(biāo)為﹣2，∴﹣n2﹣n+2=﹣2，解得n=，得到F2（，﹣2），F(xiàn)3（，﹣2），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到： =或=，解得m=或，此時(shí)E2（，0），E3（，0），③當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，AE4=CF1=3，此時(shí)E4（﹣1，0），綜上所述滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E為（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，﹣2）或（，﹣2）．