【導(dǎo)讀】防、宇航及日常生活的各個(gè)領(lǐng)域。掌握和了解自動(dòng)控制的基本理論和方法，對(duì)從事工程技術(shù)類各專業(yè)的科學(xué)技。術(shù)人員是十分必要的。本課程具有科學(xué)方法論的鮮明特點(diǎn)，研究的問(wèn)題帶有普遍性，是廣泛意義上的方法論。這將對(duì)學(xué)生提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。目前在我校有六個(gè)專業(yè)大類中的12個(gè)專業(yè)將該課程設(shè)置成。該課程在各專業(yè)的學(xué)習(xí)過(guò)程中起著非常重要的作用。它既是前期基礎(chǔ)課向?qū)I(yè)課的轉(zhuǎn)折，又是后續(xù)專業(yè)課的。作為培養(yǎng)工程技術(shù)人員的學(xué)科基礎(chǔ)課，該課程使學(xué)生首次學(xué)習(xí)控制和控制系統(tǒng)的概念，系統(tǒng)。教學(xué)內(nèi)容以反饋控制理論為核心，介紹控制系統(tǒng)。以“三論”為代表的科學(xué)方法論，是一門(mén)新興的學(xué)科，是二十實(shí)際以來(lái)最偉大的成果。根據(jù)維納的定義人們關(guān)于“控制論”的較公認(rèn)的說(shuō)法是：?！翱刂普摗本褪且沂景C(jī)器、生物、社會(huì)在內(nèi)的各種不同的控制系統(tǒng)的共同規(guī)律。以維納的《控制論》為標(biāo)志，1948年正式形成。

　　

【正文】 不穩(wěn)定。（這一點(diǎn)從數(shù)學(xué)上十分容易看出） 如 ?? 下面僅對(duì) 的情況分析二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性及穩(wěn)定性。 ( =1) 由 c(t)可得， 有 （ t=0） (這一點(diǎn)與一階系統(tǒng)有別 ) (t)0（ t0） (c(t)單調(diào)上升 ) ( )=0（ t ） e(t)=r(t)c(t)= e = 二階臨界系統(tǒng)能夠無(wú)差地跟蹤階躍信號(hào)。 計(jì)算動(dòng)態(tài)指 標(biāo)：由 c(t)曲線可知，這里只需計(jì)算， td,t ,t ， %=0,t 不定義， n=0 ? 延遲時(shí)間的計(jì)算 由定義 即 設(shè) 有 e (1+x)= x , td= ? 上升時(shí)間的計(jì)算 由定義，設(shè) ， ， 解：由 得： , , 由 得： , , ? 過(guò)渡過(guò)程時(shí)間的計(jì)算 由于 單調(diào)，由定義 由上 : . (過(guò)阻尼情況 ) =1 + =1 + ( = ) =1 ( = ) =1 =1+ （ C(t) 1 二階過(guò)阻尼系統(tǒng)能無(wú)差地跟蹤階躍信 號(hào) 性能指標(biāo)的計(jì)算 由 的曲線知， 不定義， ? 的計(jì)算 由定義 可有： 動(dòng)態(tài)性分析 分析思路： ↙由性能指標(biāo)的定義求 % 有三中方法求 (1)求解微分方程 (2)利用拉氏反變換 (3)由 的響應(yīng)的積分（利用線性系統(tǒng)的 結(jié)論） 由前面穩(wěn)定性的分析結(jié)論， 對(duì)二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的分析只需分析 的情況。 . （欠阻尼 系統(tǒng)） ( ) ( ) ( ) 誤差： 有 即：二階系統(tǒng)（欠阻尼）能夠無(wú)差地跟蹤階躍信號(hào)。 計(jì)算 %. （性能指標(biāo)的求取） ? 延遲時(shí)間 的計(jì)算： 由 的定義知： ，代入 的表達(dá)式有： (即 ) 這是一個(gè)含有 的隱函數(shù)的表達(dá)式，整理有： 利用數(shù)值解釋 與 的關(guān)系曲線如圖： 在 內(nèi)近似地有 = 有的書(shū)上介紹 = 也是近似值。 ? 上升時(shí)間 的計(jì)算 這里討論的是欠阻尼情況，按 的定義是由 0 1的所用的時(shí)間 即由定義 時(shí) 有 即 因?yàn)椋?e 0，即 有 : ， ( , ) , ( ? 峰值時(shí)間 的計(jì)算 根據(jù) 的定義知： 由 有 注意到，有 ，即 有 =0, , 2 ,3 ?? 因?yàn)?: 出現(xiàn) 在 的第一個(gè) t值上 . 故 , 取 = , 即 = ? 調(diào)節(jié)時(shí)間 的計(jì)算 由 的定義有： , (t ,誤差帶 =(~)) 所以 , t 時(shí) 因?yàn)椋? 所以 , 取 ,物理意義是指 ,取其包絡(luò) 可求得 ,t ln = 時(shí)， t ， = 時(shí)， t ， ,(有時(shí)取 ) ? 最大超調(diào)量 %的取值 定義： %= % 注意 : %僅與 有關(guān) , 與 無(wú)關(guān) . 大 %小 . 一般地，取 =~, 這時(shí) %=25%~% 穩(wěn)態(tài)分析 分析方法及思路 由前面的分析對(duì)于穩(wěn)定的二階系統(tǒng)均能無(wú)差地跟蹤階躍響應(yīng)信號(hào) 時(shí) ? 時(shí) 有 = 表明：二階大阻尼系統(tǒng)跟蹤斜坡信號(hào)（速度信號(hào)）時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差是一個(gè)常數(shù)，即 ，其數(shù)值與 成正比，與 成反比 小的阻尼比可得到小的 ，但 又大了，工程中綜合考慮，采用控制。 ? 時(shí) 同上 ? 時(shí) 同前 小結(jié)：二階系統(tǒng)對(duì)速度信號(hào)的響應(yīng)存在一個(gè)恒定的穩(wěn)態(tài)誤差。 ? ：為 , 的函數(shù)表達(dá)式 小結(jié)：二階系統(tǒng)對(duì)加速度信號(hào)的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為無(wú)窮。 即：不能跟蹤加速度信號(hào)。 注： 不等于不穩(wěn)定 完全是兩個(gè)不同的概念。 總：二階系統(tǒng)的分析結(jié)果 控制系統(tǒng)的一般分析：指穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)，動(dòng)態(tài)三方面的分析，分三節(jié)講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，階數(shù)越高系統(tǒng)越復(fù)雜 。由于數(shù)學(xué)表達(dá)式上的復(fù)雜，分析和計(jì)算都十分不方便，以前通常將三階以上的系統(tǒng)稱為高階（含或不含三階）系統(tǒng)，現(xiàn)在隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)的普及，高階系統(tǒng)的計(jì)算不再是一個(gè)十分困難的事。但工程中為了抓住系統(tǒng)的主要因素，有時(shí)也采用一些近似的處理方法。 控制系統(tǒng)的一般模型 = ( 物理可實(shí)現(xiàn) ) 其中： 分別為零，極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)，可以是零，也可以是虛數(shù)。 控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng) ●如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)各不相同，且均系不為零的實(shí)數(shù)。 這時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 具有這樣的形式 其中， 是實(shí)數(shù)，可由留數(shù)求得 取其反變換 ●如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)各不相同，具有不為零的實(shí)數(shù)極點(diǎn)和復(fù)數(shù)極點(diǎn) 這時(shí) 其中， q+2r = n m n 當(dāng) 時(shí)， 具有這樣的形式 取其拉氏反變換有 ●如系統(tǒng)含有相同的極點(diǎn)，其階躍響應(yīng)更復(fù)雜一些，求取的方法是相同的，實(shí)際系 統(tǒng)中大多數(shù)是互不相同的極點(diǎn) 上述的階躍響應(yīng)表達(dá)式表明，系統(tǒng)（高階系統(tǒng)）的階躍響應(yīng)含有指數(shù)函數(shù)分量和含有指數(shù)函數(shù)包絡(luò)的正余弦分量。 利用計(jì)算機(jī)技術(shù)和好的仿真軟件，計(jì)算 的數(shù)字解是十分容易的。 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算 當(dāng) 的表達(dá)式復(fù)雜時(shí)，利用定義求動(dòng)態(tài)指標(biāo)是十分困難的。 對(duì)于三階系統(tǒng)有這樣的結(jié)論（過(guò)程略） 振蕩的三階系統(tǒng)（具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）不含零點(diǎn)的情況 （ ） （ ） （當(dāng) 較 更靠近虛軸時(shí)會(huì)出現(xiàn)此種情況） 含零點(diǎn)的情況 （ c ） 非振蕩三階系統(tǒng)（均系實(shí)數(shù)極點(diǎn)，且穩(wěn)定） 無(wú)零點(diǎn)的情況 有零點(diǎn)的情況 ( ) ↖ 的作用大于 的作用 還有若干情況不一一列舉 在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中，對(duì)于高階系統(tǒng)采用數(shù)字仿 真的方法十分有效，在程序中按照指標(biāo)的定義判斷計(jì)算即可。 控制系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，偶極子對(duì) 對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，其極點(diǎn)，零點(diǎn)的分布具有多種的形式，這由具體系統(tǒng)的參數(shù)，結(jié)構(gòu)確定。有的距實(shí)軸遠(yuǎn)，有的距實(shí)軸近，有的距虛軸遠(yuǎn)，有的距虛軸近，極點(diǎn)的位置反映了系統(tǒng)相應(yīng)的狀態(tài)，動(dòng)態(tài)性能的好壞。 先看幾個(gè)例： 現(xiàn)象： T 大 小 極點(diǎn)靠近虛軸 大 響應(yīng)慢 T 小，有相反的情況 ②二階系統(tǒng) 響應(yīng)速度取決于包絡(luò) ： 大 極點(diǎn)離虛軸遠(yuǎn) 振蕩的頻率（振蕩性能）： ③高階系統(tǒng) 極點(diǎn)互不相同的 事實(shí)上，它是由若 干一階系統(tǒng)的響應(yīng)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)線性迭加而成。 當(dāng)系統(tǒng)的極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸時(shí)，其對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量衰減很快，對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)速度影響很小。 由上，零點(diǎn)的位置（ 的大?。┯绊懙氖?這些幅值，與響應(yīng)形態(tài)關(guān)系不大。 由上面的分析可見(jiàn)，影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)鍵是系統(tǒng)的極點(diǎn)，在系統(tǒng)的各個(gè)極點(diǎn)中，又以距虛軸近，和距實(shí)軸遠(yuǎn)的極點(diǎn)為重中之重。 在高階系統(tǒng)的分析中，將由于不同極點(diǎn)引起系統(tǒng)響應(yīng)的不同分量中的主要分量對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)稱為主導(dǎo)極點(diǎn)，在高階系統(tǒng)中抓住了主導(dǎo)極點(diǎn)也就抓住了主要矛盾。 在上面的分析中又知道，距離虛軸近的極點(diǎn)是系統(tǒng)的關(guān)鍵點(diǎn)，因此在控制系統(tǒng)的分析中，將距離虛軸近的極點(diǎn)（且其 它極點(diǎn)相對(duì)較遠(yuǎn)，同時(shí)近的這些極點(diǎn)附近沒(méi)有零點(diǎn)），稱為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。 在判斷系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)時(shí)要注意的三點(diǎn)很重要： 1. 其它極點(diǎn)相對(duì)較近，若距離較近，對(duì)系統(tǒng)的影響相差不大，無(wú)法區(qū)分主次。 2. 極點(diǎn)附近應(yīng)沒(méi)有零點(diǎn)，從數(shù)學(xué)表達(dá)式看極點(diǎn)在分母，零點(diǎn)在分子，正好是相反的作用，相距較近時(shí)數(shù)學(xué)上可抵消，工程中作用也相反。 3. 一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)可以是一個(gè)，兩個(gè)或數(shù)個(gè)。這要視具體系統(tǒng)的具體情況。主導(dǎo)極點(diǎn)也可以是實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)。 偶極子對(duì)：是指若在某一極點(diǎn)的附近同時(shí)存在一個(gè)零點(diǎn)，而在該零點(diǎn)，極點(diǎn)的附近又無(wú)其它的零點(diǎn) 或極點(diǎn)。就稱這個(gè)極點(diǎn)和這個(gè)零點(diǎn)為一個(gè)偶極子對(duì)。由于零極點(diǎn)在數(shù)學(xué)上位置分別是傳函的分子分母，工程實(shí)際中作用又相反，因此在近似的處理上可相消，近似地認(rèn)識(shí)其對(duì)系統(tǒng)的作用相互抵消了。 有了主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子對(duì)的概念后，對(duì)于高階系統(tǒng)的分析，在誤差精度允許的情況下，可將高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)分析出來(lái)，利用主導(dǎo)極點(diǎn)來(lái)分析系統(tǒng)，相當(dāng)于降低了系統(tǒng)的階數(shù)，給分析帶來(lái)方便。 設(shè)某系統(tǒng)（高階）的輸出的拉氏變換為 其中 ， 均是 S 的多項(xiàng)式， 設(shè)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)的主導(dǎo)極點(diǎn) ，此時(shí),其中 有 其它零極點(diǎn)的綜合影響 主導(dǎo)極點(diǎn)的結(jié)果 其它零極點(diǎn)的綜合影響 若 是實(shí)數(shù)不是復(fù)數(shù)，可相應(yīng)地求 的拉氏反變換。經(jīng)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，偶極子對(duì)的分析后，高階系統(tǒng)可化減，一般地當(dāng)作為主導(dǎo)極點(diǎn)的極點(diǎn)與非主導(dǎo)極點(diǎn)在與虛軸的距離 3倍以上時(shí)，這樣簡(jiǎn)化就能保證一定的精度，有的這個(gè)倍數(shù)還要 小。簡(jiǎn)化后系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)求取的方法仍然按動(dòng)態(tài)指標(biāo)的定義求，即先求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，然后在進(jìn)行指標(biāo)的計(jì)算。 補(bǔ)充：在分析系統(tǒng)的偶極子對(duì)時(shí)要注意相應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系， 如 (100 倍的關(guān)系 ) 例：對(duì)上面高階系統(tǒng)具有二個(gè)共軛復(fù)數(shù)的主導(dǎo)極點(diǎn)時(shí)性能指標(biāo)求取如下： 1. 峰值時(shí)間 的計(jì)算 對(duì) 求導(dǎo)并令其為零，有 = arctg( ) (*) 其中 = （ *）式有 得 零點(diǎn)對(duì) 的影響 非主導(dǎo)極點(diǎn)的影響 “ +”號(hào)， 大 減慢 小，加速， 越小，越明顯 若 m=0(無(wú)零點(diǎn) )， n=2(無(wú)其它極點(diǎn) ) 與前面的二階欠阻尼一致 （ 2）超調(diào)量的計(jì)算 由 由 的表達(dá)式及 c( )=1 有 由（ *）式可推得： 又由前設(shè) ，在系統(tǒng)穩(wěn)定且無(wú)差（對(duì)階躍響 應(yīng)）的條件下有 ，即 ， 注意到 ， ( 共軛 ) 最后整理有： ，該式第一部分是由非主導(dǎo)極點(diǎn)的影響， ,使 減小，可增大阻尼系數(shù)；第二部分是零點(diǎn)的影響，使 增大，可減小阻尼系數(shù)。 （ 3）調(diào)節(jié)時(shí)間的計(jì)算 ， ( ) 由定義： ， ↖包絡(luò) ， 整理有 ，第一部分是非主導(dǎo)極點(diǎn)的影響， ，第二部分是零點(diǎn)的影響， ，影響大， ， 對(duì)任何系統(tǒng)（高階）均可采用上面的方法去分析其動(dòng)態(tài)性能。 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 ? 穩(wěn)定性的概念 ? 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 ? 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條 件 ? 代數(shù)判據(jù)（一般情況，特殊情況，勞斯，赫爾維茨） ? 勞斯判據(jù)的應(yīng)用（確定穩(wěn)定域判斷穩(wěn)定性，求系統(tǒng)的極點(diǎn)，設(shè)計(jì)系統(tǒng)中的參數(shù) 穩(wěn)定性的概念 分析小球平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 定義：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng) 的影響下，其過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。反之，若在初始擾動(dòng) 的影響下，系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱該系統(tǒng)不穩(wěn) 定。 理解： 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件 設(shè)系統(tǒng)的微分方程模型為： 分析 系統(tǒng)的穩(wěn)定性是分析在擾動(dòng)的作用下，當(dāng)擾動(dòng)消失后系統(tǒng)是否能回到原來(lái)的平衡狀態(tài)的性能，亦系統(tǒng)在 作用下的