【正文】 然記作：. 即：=， ，就說廣義積分發(fā)散。 類似地，設(shè)f(x)在[a,b)上連續(xù)，0，如果極限 存在， 則定義=； 否則就說廣義積分發(fā)散。 又，設(shè)f(x)在[a,b]上除點(diǎn)c(acb)外連續(xù)， 則定義：=+. 否則就說廣義積分發(fā)散。 例題：計(jì)算廣義積分(a0) 解答：因?yàn)?，所以x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)，于是我們有上面所學(xué)得公式可得： 六、空間解析幾何空間直角坐標(biāo)系　空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)系 為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn)。 過定點(diǎn)O，作三條互相垂直的數(shù)軸，(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以π/2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。（如下圖所示） 三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱坐標(biāo)面。 取定了空間直角坐標(biāo)系后，就可以建立起空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 例：、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)依次為P、Q、R，這三點(diǎn)在x軸、y軸、z軸的坐標(biāo)依次為x、y、,y,y,z就叫做點(diǎn)M的坐標(biāo)，并依次稱x,y和z為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)。(如下圖所示） 坐標(biāo)為x,y,z的點(diǎn)M通常記為M(x,y,z). 這樣，通過空間直角坐標(biāo)系，我們就建立了空間的點(diǎn)M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 注意：坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，其坐標(biāo)各有一定的特征. 例：如果點(diǎn)M在yOz平面上，則x=0；同樣，zOx面上的點(diǎn)，y=0；如果點(diǎn)M在x軸上，則y=z=0；如果M是原點(diǎn)，則x=y=z=0，等?？臻g兩點(diǎn)間的距離 設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn)，為了用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表達(dá)它們間的距離d我們有公式： 例題：證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點(diǎn)的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答：由兩點(diǎn)間距離公式得： 由于，所以△ABC是一等腰三角形方向余弦與方向數(shù)　 解析幾何中除了兩點(diǎn)間的距離外，還有一個(gè)最基本的問題就是如何確定有向線段的或有向直線的方向。方向角與方向余弦 設(shè)有空間兩點(diǎn)，若以P1為始點(diǎn)，,Oy,Oz三個(gè)坐標(biāo)軸正向夾角分別記作α,β,β,≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π. 關(guān)于方向角的問題 若有向線段的方向確定了，則其方向角也是唯一確定的。 方向角的余弦稱為有向線段或相應(yīng)的有向線段的方向余弦。 設(shè)有空間兩點(diǎn)，則其方向余弦可表示為： 從上面的公式我們可以得到方向余弦之間的一個(gè)基本關(guān)系式： 注意：從原點(diǎn)出發(fā)的任一單位的有向線段的方向余弦就是其端點(diǎn)坐標(biāo)。方向數(shù) 方向余弦可以用來確定空間有向直線的方向，但是，如果只需要確定一條空間直線的方位(一條直線的兩個(gè)方向均確定著同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道與方向余弦成比例的三個(gè)數(shù)就可以了。這三個(gè)與方向余弦成比例且不全為零的數(shù)A，B，C稱為空間直線的方向數(shù)，記作：{A，B，C}.即： 據(jù)此我們可得到方向余弦與方向數(shù)的轉(zhuǎn)換公式： ， 其中：根式取正負(fù)號(hào)分別得到兩組方向余弦，它們代表兩個(gè)相反的方向。 關(guān)于方向數(shù)的問題 空間任意兩點(diǎn)坐標(biāo)之差就是聯(lián)結(jié)此兩點(diǎn)直線的一組方向數(shù)。兩直線的夾角 設(shè)L1與L2是空間的任意兩條直線，它們可能相交，. 若知道L1與L2的方向余弦則有公式為： 其中：θ為兩直線的夾角。 若知道L1與L2的方向數(shù)則有公式為： 兩直線平行、垂直的條件 兩直線平行的充分必要條件為： 兩直線垂直的充分必要條件為： 平面與空間直線　平面及其方程 我們把與一平面垂直的任一直線稱為此平面的法線。 設(shè)給定點(diǎn)為Po(x0,y0,z0),給定法線n的一組方向數(shù)為{A,B,C}A2+B2+C2≠0，則過此定點(diǎn)且以n為法線的平面方程可表示為： 注意：此種形式的方程稱為平面方程的點(diǎn)法式。 例題：設(shè)直線L的方向數(shù)為{3，4，8}，求通過點(diǎn)(2,1,4)且垂直于直線L的平面方程. 解答：應(yīng)用上面的公式得所求的平面方程為： 即 我們把形式為： Ax+By+Cz+D=0. 稱為平面方程的一般式。其中x,y,z的系數(shù)A，B，C是平面的法線的一組方向數(shù)。幾種特殊位置平面的方程 通過原點(diǎn) 其平面方程的一般形式為： Ax+By+Cz=0. 平行于坐標(biāo)軸 平行于x軸的平面方程的一般形式為： By+Cz+D=0. 平行于y軸的平面方程的一般形式為： Ax+Cz+D=0. 平行于z軸的平面方程的一般形式為： Ax+By+D=0. 通過坐標(biāo)軸 通過x軸的平面方程的一般形式為： By+Cz=0. 通過y軸和z軸的平面方程的一般形式為： Ax+Cz=0，Ax+By=0. 垂直于坐標(biāo)軸 垂直于x、y、z軸的平面方程的一般形式為： Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.直線及其方程 ,具有某一確定方位的直線可以有無窮多條,則直線便被唯一確定，因而此直線的方程就可由通過它的方向數(shù)和定點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來。 設(shè)已知直線L的方向數(shù)為{l,m,n}，又知L上一點(diǎn)Po(x0,y0,z0),則直線L的方程可表示為： 上式就是直線L的方程，這種方程的形式被稱為直線方程的對(duì)稱式。 直線方程也有一般式，它是有兩個(gè)平面方程聯(lián)立得到的，如下： 這就是直線方程的一般式。平面、直線間的平行垂直關(guān)系 對(duì)于一個(gè)給定的平面，它的法線也就可以知道了。因此平面間的平行與垂直關(guān)系，也就轉(zhuǎn)化為直線間的平行與垂直關(guān)系。平面與直線間的平行與垂直關(guān)系，也就是平面的法線與直線的平行與垂直關(guān)系。 總的來說，平面、直線間的垂直與平行關(guān)系，最終都轉(zhuǎn)化為直線與直線的平行與垂直關(guān)系。在此我們就不列舉例題了。曲面與空間曲線　曲面的方程 我們知道，在空間中曲面可看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或一條動(dòng)曲線(直線)按一定的條件或規(guī)律運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的軌跡。 設(shè)曲面上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z)，由這一條件或規(guī)律就能導(dǎo)出一個(gè)含有變量x,y,z的方程： 如果此方程當(dāng)且僅當(dāng)P為曲面上的點(diǎn)時(shí)，才為P點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足。那末我們就用這個(gè)方程表示曲面，并稱這個(gè)方程為曲面的方程，把這個(gè)曲面稱為方程的圖形?？臻g曲線的方程 我們知道，空間直線可看成兩平面的交線，因而它的方程可用此兩相交平面的方程的聯(lián)立方程組來表示，這就是直線方程的一般式。 一般地，空間曲線也可以象空間直線那樣看成是兩個(gè)曲面的交線，因而空間曲線的方程就可由此兩相交曲面方程的聯(lián)立方程組來表示。 設(shè)有兩個(gè)相交曲面，它們的方程是，那末聯(lián)立方程組： 便是它們的交線方程。兩類常見的曲面 柱面 設(shè)有動(dòng)直線L沿一給定的曲線C移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)始終與給定的直線M平行，這樣由動(dòng)直線L所形成的曲面稱為柱面，動(dòng)直線L稱為柱面的母線，定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線。 旋轉(zhuǎn)面 設(shè)有一條平面曲線C，繞著同一平面內(nèi)的一條直線L旋轉(zhuǎn)一周，這樣由C旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)面，曲線C稱為旋轉(zhuǎn)面的母線，直線L稱為旋轉(zhuǎn)面的軸。 下面我們?cè)倭信e出幾種常見的二次曲面二次曲面的名稱二次曲面的方程橢球面單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓拋物面雙曲拋物面七、多元函數(shù)的微分學(xué)多元函數(shù)的概念　 我們前面所學(xué)的函數(shù)的自變量的個(gè)數(shù)都是一個(gè)，但是在實(shí)際問題中，所涉及的函數(shù)的自變量的個(gè)數(shù)往往是兩個(gè)，或者更多。 例：一個(gè)圓柱體的體積與兩個(gè)獨(dú)立變量r,h有關(guān)。` 我們先以二個(gè)獨(dú)立的變量為基礎(chǔ)，來給出二元函數(shù)的定義。二元函數(shù)的定義 設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的變量x與y在其給定的變域中D中，任取一組數(shù)值時(shí)，第三個(gè)變量z就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那末變量z稱為變量x與y的二元函數(shù)。 記作：z=f(x,y). 其中x與y稱為自變量，函數(shù)z也叫做因變量，自變量x與y的變域D稱為函數(shù)的定義域。 關(guān)于二元函數(shù)的定義域的問題 ，邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)，包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉域，不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開域。 如果一個(gè)區(qū)域D(開域或閉域)中任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過某一常數(shù)M，則稱D為有