【正文】 xz 的下側 . 2． 若函數 )(xf 的導數連續(xù)，且 1)0( ?f ，曲線 OA 的極坐標方程為 )cos1( ?? ?? a ，其中 0?a ， ????0 ， O 點與 A 點分別 對應于 0?? 和 ??? .求曲線積分 ? ?????OA yyeyfxyeyfI xx d])([d])([ ??. 09級 B 下期末 一、填空（每題 4 分，共 20 分） 函數 32 zyxeu ??? 在點 )1,1,1(M 處的全微分 ?Mdu . 函數 ),sin( 2xyexyfz ? ， f 可微，則 ???xz . 曲面 zxyz ln?? 在點 )1,1,1(M 處的法向量 ?n? . 4 、若 D 是有 1??yx ， 和 兩 坐 標 軸 圍 成 的 三 角 形 區(qū) 域 ， 且 ?? ??D dxxdx dyxf10 )()( ?，則?)(x? . ⌒ o x y A ⌒ 設 ? 為球面 2222 Rzyx ??? ，則曲面積分 ???????? dSzyxyzx ])(12[23222 . 二、單項選擇題（每題 4 分，共 20 分） 設直線??? ???? ???? 03102 0123: zyx zyxL與平面 022: ???? zyAx? 垂直，則 A 等于（ ） （ A） 1； （ B） 2； （ C） 3； （ D） 4. 設??? ??? ????? ?? xx xxf 0,1 0,1)( 2，則以 ?2 為周期的傅里葉級數在 ??x 處收斂于（ ） （ A） 1? ； （ B） 221? ； （ C） 21?? ； （ D） 0. 設 ? ： 2222 azyx ??? ， 1? 為 ? 在第一卦限部分，則 ??????? dVzyx2)(（ ） （ A） dVzyx??????12)(8 ；（ B） 0；（ C） dVzyx )(81222?????? ；（ D） dVx????129 . 設 D 由 )0( ?? kkxy ， 1,0 ?? xy 圍成，且1512 ??? dxdyxyD，則 ?k （ ） （ A） 1； （ B） 354； （ C） 3151； （ D） 3152. 已知2)( )( yx ydydxayx ? ??為某個二元函數 ),( yxu 的全微分，則 a 等于（ ） （ A） 1； （ B） 1? ； （ C） 2； （ D） 2? . 三、（每題 8 分，共 24 分） 將函數 )221ln ()( 2xxxf ??? 展成 x 的冪級數，并指出收斂域 . 設函數 ),( yxzz? 由方程 0)3,2( ??? zyzxF 確定，其中 F 可微，求yzxz ????? 32. 將 )0()( ???? xxxf 展為以 ?2 為周期的余弦級數 . 四、（每題 8 分，共 24 分） 計算二重積分 ???Dyx dxdye，其中 D 是由 xey? ， 2,0 ?? yx 圍成的區(qū)域 . 設位于第一卦限的長方體的三個面在坐標平面上，有一個頂點在橢球面 132 222 ??? zyx 上，求長方體的最大體積 . 證明曲線積分 ? ????)1,2()0,1( 324 )4()32( dyxyxdxyxy與路徑無關，并計算積分值 . 五、（第 1 小題 8 分，第 2 小題 4 分，共 12 分） 計算曲面積分 ??? ??????2222)(zyx dydxazdzax dy，其中 ? 為上半球面 222 yxaz ??? （ 0?a ）的上側 . 2 、設 )(xf 是 ]1,0[ 上 的 正 值 連 續(xù) 函 數 ， 且 單 調 減 少 ， ? ?10,10),( ????? yxyxD ，試證：?? ???D D dx dyyfxyfdx dyyfxxf )()()()( 22 . 10級 B 下期末 一、選擇題 (每題 3分 ,共 5題 )二元函數 )l n (2),( 22 xyyxyxf ????? 的定義域為（ ）。 （ A） xyyx ??? ,222 ；（ B） xyyx ??? ,222 ； （ C） xyyx ??? ,222 ；（ D） xyyx ??? ,222 。 設 ?????? ??? 232222)32(zyx dvzyxL 、 ??? ??? ??? 2 32222)32(zyx dvzyxM 、 ??? ??? ??? 2 32222)23(zyx dvzyxN ，則（ ）。 （ A） NML ?? ； （ B） MLN ?? ； （ C） NLM ?? ； （ D） MNL ?? 。 函數2222),( yx xyxyxf ???在點 )1,0( 處沿 )4,3(?l 方向的方向導數為（ ）。 （ A） 1； （ B） 0 ； （ C） 53 ； （ D） 54 。 設 ),( yxf 為連續(xù)函數 ,則 ?? ?? 10 2211 ),( dyyxfydx（ ） （ A） ? ?10 10 22 ),(2 dyyxfydx；（ B） ? ?10 0 22 ),(4 x dyyxfydx； （ C） ? ??10 22 ),(2 yy dyyxfydx；（ D） ??? 10 2211 ),( dxyxfxdy。 設 )2,0[)( ?? ??? xxxf 是 ?2 周期函數， na 、 nb 是 )(xf 的傅立葉系數，則（ ）。 （ A） 30?a ； （ B） 21?b ； （ C） 12?a ； （ D） 03?b 。 二、填空題 (每題 3分 ,共 5題 )設 )4,0,3( ??A 、 )4,3,5( ??B ，則 ? ? ?OAOB 。 曲面 xyz ?3 在點 )1,1,1(0 ???P 處的切平面方程為 。 ???????? 1 )143(yx dx dyyxxy 。 已知冪級數 ??? ?0 )1(nnn xa 在 1??x 處收斂，在 3?x 處發(fā)散，則收斂半徑 ?R 。 設橢圓 143: 22 ?? yxL 的周長為 s ，則 ???L dsyx )34(22 。 三 、計算題 (每題 7分 ,共 5題 ) 設 )2(),( 2 yxeyxfz y ??? ?，求：yxz???2，其中 f 、 ? 二階導數或二階偏導數連續(xù)。 已知某球面的中心在 )2,5,3( ? 且與直線 3 1142 ????? zyx 相切，求球面方程。 判別級數 ??? ??1 23 23n nnnn 的斂散性。 將 xxf ln)( ? 在 30?x 處展開成泰勒級數，并給出收斂域。 計算曲面積分 ???? dSzI，其中 0,: 2222 ????? zRzyx 。 四、應用題 (每 題 8分 ,共 3題 )求均勻立體 0,0,0,1: ??????? zyxzyx 的重心（質心）坐標。 已知物體 A 在力 )c o s,12( yxexyeF yy ??? 的作用下沿曲線 2: xyL ? 從 )1,1(?P 移動到 )1,1(Q ，求力 F對物體 A 所做的功。 用鐵皮制作容積為 0V 的圓柱體罐頭，在不考慮制作成本和損耗的前提下，如何選擇罐頭的高 h 與半徑 r 能使鐵皮的用量最省？ 五 、 (第一題 5分 ,第二題 6分 )證明數項級數 ????0 !2n nn 收斂，并求數項級數 ????0 !2n nn 的和。 計算曲面積分 ??? ??????222yxz dyz dxdzdyxI，其中 11: 2222 ?????? yxyxz ，下側。 07 級 C 上期中 一、填空題（每題 4 分，共 36 分） 1． ?)(tan2 xd ； xxx 1sinlim??= ． 2． ax axax ??? tantanlim= ． 3． 當 0?x 時， )1ln( 3x? 與 )11(3 3 ?? xk 是等價無窮小，則 k = 4． 設設?????????0 , 0 0 ,c o s)(xxx xexf ax 在 ),( ???? 內 連續(xù)， ?a則 . 5． 設 3)( ?? af ,則 h hafhafh )()2(lim0 ????= . 6． 若 f 二階可導， )( 2 baxfy ?? ，則22dxyd ＝ . 7．????? ??? )1ln(21tan2tytarcx ，則 dxdy ＝ . 8． xxy 3cos? ，則 )8(y = . 9． 函數 y = xsinln 在 [? ?6 56, ]上滿足羅爾中值定理的條件，則定理中 ? 的值是 . 二、（每題 8 分，共 24 分） 求極限 )3(lim nnnn ???? 討論函數?????????1,11,2c o s)(xxxxxf ? 的連續(xù)性，如有間斷點，指出其類型。 ba, 為何值時可使函數??? ?? ???? 0,2 0),1ln()( xbx xxaxf在 0?x 處可導？ 三、（每題 8分，共 24分） 求函數 y=2x 22 ax ? +2a2 ln (x+ 22 ax ? )的導數 ． 求函數 y= x1x2? ? ?3x3 x3??的導數 ． 求曲線 )sin( xyee yx ?? ，在原點處的切線方程 ． 四、（每題 8 分，共 16 分） 計算極限 310 )tan1sin1(lim xx xx??? 證明方程 bxax ?? sin （其中 0,0 ?? ba ），至少有一個正根，并且不超過 ba? . 08 級 C 上期中 一、填空題（每題 4 分，共 20 分） 11 )21ln(lim 220 ???? xxx= . xd 1arctan = . 若 3)2(lim0 ?? x xfx，則 ?? xxfx )3(lim0 設??? ?? ??3221tty tx，則22dxyd = . 若 )23( xxfy ?? ，其中 f 有二階導數，則 y? = . 二、單項選擇題（每題 4 分，共 16 分） 下列極限計算錯誤的是 （ ） （ A） ex xx ????110 )1(lim；（ B） 01sinlim0 ?? xxx；（ C） 1sinlim ??? x xx；（ D） ??? nn. 當 0?x 時，下列無窮小中最高階的是 （ ） （ A） 62 xx ? ； （ B） xx tansin ? ； （ C） x2cos1? ； （ D） 2cos1 x? . 下列說法中正確的是 （ ） （ A）數列 ??nx 有界，則 ??nx 收斂； （ B）若 0)()( ?? bfaf ，則在 ),( ba 至少存在一點 ? ，使 0)( ??f ； （ C） ?)(xf ],[ baC ，則在 ],[ ba 上至少存在一點 ? ，使 )()( xff ?? ]),[( bax? ； （ D）若函數 )(xf 在點 0x 處的左右極限都存在，則 0x 為 )(xf 的第一類間斷點 . 函數 )(xfy? 在點 0x 處可微，是函數在該點處可導的 （ ） （ A）充要條件； （ B）充分而非必要條件；（ C）必要而非充分條件；（ D）既非充