高中數(shù)學(xué)思維校本課程-資料下載頁(yè)
2025-04-04 05:12本頁(yè)面
【正文】 知識(shí)，才能反思性地看問題。例2 證明勾股定理：已知在中，求證錯(cuò)誤證法 在中，而，即錯(cuò)誤分析 在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯(cuò)誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學(xué)習(xí)中對(duì)所學(xué)的每個(gè)公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。(2) 驗(yàn)算的訓(xùn)練驗(yàn)算是解題后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。通過驗(yàn)算，可以檢查解題過程的正確性，增強(qiáng)思維的反思性。例3 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求錯(cuò)誤解法 錯(cuò)誤分析 顯然，當(dāng)時(shí)，錯(cuò)誤原因，沒有注意公式成立的條件是因此在運(yùn)用時(shí)，必須檢驗(yàn)時(shí)的情形。即：例4 實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。錯(cuò)誤解法 將圓與拋物線 聯(lián)立，消去，得 ①因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得 解之，得錯(cuò)誤分析 （如圖2－2－1；2－2－2）顯然，當(dāng)時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。xyO圖2－2－2xyO圖2－2－1要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得解之，得因此，當(dāng)或時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。思考題：實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線，（1） 有一個(gè)公共點(diǎn)；（2） 有三個(gè)公共點(diǎn)；（3） 有四個(gè)公共點(diǎn)；（4） 沒有公共點(diǎn)。養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會(huì)發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。(3) 獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解受思維定勢(shì)或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對(duì)題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。例5 解方程考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)，它們的圖象無交點(diǎn)。所以此方程無解。例6 設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最小值是（ ）思路分析 本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：有的學(xué)生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。 原方程有兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，的最小值是8；當(dāng)時(shí)，的最小值是18；這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。
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