數(shù)學研究課題---空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題-資料下載頁
2025-04-04 04:29本頁面
【正文】 中可得，在△EBF中可得.由于對稱性可得第五個球的球心O在EF上，連結OA、根據(jù)OE+OF=EF建立的方程.【解析】如圖：設四個球的球心分別為A、B、C、D，則AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=、CD中點為F，△ABF中求得BF=，在△EBF中求得EF=.由于對稱性可得第五個球的球心O在EF上，連結OA、則OA=r+3，OD=r+2，于是OE=，OF=，∵OE+OF=EF∴平方整理再平方得解得或（舍掉），故答案為.點評：本題通過分析球心的位置，根據(jù)它們構成的幾何體特征，轉化成平面幾何中三角形邊角關系，利用方程思想得解．例9把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離．思路分析：關鍵在于能根據(jù)要求構造出相應的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和2．【解析】四球心組成棱長為2的正四面體的四個頂點，則正四面體的高．而第四個球的最高點到第四個球的球心距離為求的半徑1，且三個球心到桌面的距離都為1，故第四個球的最高點與桌面的距離為．點評：本題難度不大，主要是利用轉化與化歸思想，將棱錐高應用球的幾何性質計算得到．4 球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達到明確球心的位置為目的，：.例10把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（）A．l0cm B．10 cm C．10cm D．30cm思路分析：根據(jù)題意球心O在圖中AP上，過O作BP的垂線ON垂足為N，ON=R，OM=R，由各個棱都為20，得到AM=10，BP=20,BM=10，AB=,設，在BPM中，由, 由, ，在ONP中得, ,從而，.在OAM中, 由,建立方程即可得解.【解析】如圖所示，由題意球心在AP上，球心為O，過O作BP的垂線ON垂足為N，ON=R，OM=R，因為各個棱都為20，所以AM=10，BP=20,BM=10，AB=,設，在BPM中，, , ，在ONP中, ,所以，, ,所以，,解得，或30（舍）,所以，故選B.點評：本題難度較大，主要是利用轉化與化歸思想，將問題轉化成平面幾何問題，應用三角形中的邊角關系，建立的方程．5 球與旋轉體切接問題首先畫出球及其它旋轉體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關系．例11求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．思路分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關系．【解析】如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓．設球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；， ，∴， ，∴．點評：本題充分利用軸截面，將問題轉化成平面幾何問題，應用三角形中的邊角關系，建立與球半徑的聯(lián)系．例12在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時，兩球體積之和最?。悸贩治觯捍祟}的關鍵在于作截面，一個球在正方體內(nèi)，學生一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面 ，得如圖的截面圖，在圖中，觀察與和棱長間的關系即可．【解析】如圖，球心和在上，過，分別作的垂線交于．則由得．， ．（1）設兩球體積之和為，則==當時，有最小值．當時，體積之和有最小值．點評：本題充分利用軸截面，將問題轉化成平面幾何問題，應用三角形中的邊角關系，建立與球半徑的聯(lián)系，將球的體積之和用或表示，應用二次函數(shù)的圖象和性質確定其最小值．本題綜合性較強，是函數(shù)與立體幾何相結合的典例.19
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