數(shù)學(xué)研究課題---空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題-wenkub
2023-04-19 04:29:22 本頁(yè)面
【正文】 定，只需找到底面、高與球半徑的關(guān)系即可，解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何選取截面，如圖所示．解：∵棱錐底面各邊相等，∴底面是菱形．∵棱錐側(cè)棱都相等，∴側(cè)棱在底面上射影都相等，即底面有外接圓．∴底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心，此棱錐是正棱錐．過(guò)該棱錐對(duì)角面作截面，設(shè)棱長(zhǎng)為，則底面對(duì)角線，故截面是等腰直角三角形．又因?yàn)槭乔虻拇髨A的內(nèi)接三角形，所以，即．∴高，體積．說(shuō)明：在作四棱錐的截面時(shí)，容易誤認(rèn)為截面是正三角形，如果作平等于底面一邊的對(duì)稱截面（過(guò)棱錐頂點(diǎn)，底面中心，且與底面一邊平行），可得一個(gè)腰長(zhǎng)為斜高、底為底面邊長(zhǎng)的等腰三角形，但這一等腰三角形并不是外接球大圓的內(nèi)接三角形．可見(jiàn)，解決有關(guān)幾何體接切的問(wèn)題，如何選取截面是個(gè)關(guān)鍵．解決此類(lèi)問(wèn)題的方法通常是先確定多面體的棱長(zhǎng)（或高或某個(gè)截面內(nèi)的元素）與球半徑的關(guān)系，再進(jìn)一步求解．例6 在球面上有四個(gè)點(diǎn)、如果、兩兩互相垂直，且．求這個(gè)球的表面積．分析：，因而求球的表面關(guān)鍵在于求出球的半徑．解：設(shè)過(guò)、三點(diǎn)的球的截面半徑為，球心到該圓面的距離為，則．由題意知、四點(diǎn)不共面，因而是以這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐（如圖所示）．的外接圓是球的截面圓．由、互相垂直知，在面上的射影是的垂心，又，所以也是的外心，所以為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，是其中心，從而也是截面圓的圓心．據(jù)球的截面的性質(zhì)，有垂直于⊙所在平面，因此、共線，三棱錐是高為的球內(nèi)接正三棱錐，從而．由已知得，所以，可求得，∴．說(shuō)明：涉及到球與圓柱、圓錐、圓臺(tái)切接問(wèn)題，一般作其軸截面；涉及到球與棱柱、棱錐、棱臺(tái)的切接問(wèn)題，一般過(guò)球心及多面體中特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化為平面問(wèn)題，進(jìn)而利用平面幾何的知識(shí)尋找?guī)缀误w元素間的關(guān)系．例7 已知棱長(zhǎng)為3的正四面體，、是棱、上的點(diǎn)，且，．求四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑．分析：可用何種法求內(nèi)切球半徑，把分成4個(gè)小體積(如圖)．解：設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為，球心，外接球半徑，球心，連結(jié)、則．四面體各面的面積為，．各邊邊長(zhǎng)分別為，∴．∵，∴，∴．如圖，是直角三角形，其個(gè)心是斜邊的中點(diǎn)．設(shè)中心為，連結(jié)，過(guò)作平面的垂線，必在此垂線上，連結(jié)、．∵，∴，．在直角梯形中，又∵，∴，解得：．綜上，四面體的內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為．說(shuō)明：求四面體外接半徑的關(guān)鍵是確定其球心．對(duì)此多數(shù)同學(xué)束手無(wú)策，而這主要是因本題圖形的背景較復(fù)雜．若把該四面體單獨(dú)移出，則不參發(fā)現(xiàn)其球心在過(guò)各面三角形外心且與該三角形所在平面垂直的直線上，另還須注意其球心不一定在四面體內(nèi)部．本題在求四面體內(nèi)切球半徑時(shí)，將該四面體分割為以球心為頂點(diǎn)，各面為底面的四個(gè)三棱錐，通過(guò)其體積關(guān)系求得半徑．這樣分割的思想方法應(yīng)給予重視．例8 球面上有三點(diǎn)、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積．分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑．解：∵，∴，是以為斜邊的直角三角形．∴的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，∴，得．∴球的表面積為．說(shuō)明：涉及到球的截面的問(wèn)題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過(guò)兩個(gè)量求第三個(gè)量，也可能是抓三個(gè)量之間的其它關(guān)系，求三個(gè)量．例如，過(guò)球表面上一點(diǎn)引三條長(zhǎng)度相等的弦、且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長(zhǎng)度．由條件可抓住是正四面體，、為球上四點(diǎn)，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過(guò)點(diǎn)、的截面圓半徑，所以得．例9 正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切．求球的表面積與體積．分析：球與正三棱錐四
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