數(shù)學(xué)研究課題---空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題-展示頁
2025-04-13 04:29本頁面
【正文】 半徑來求出，以球心的位置特點(diǎn)來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法．比如：四個(gè)半徑為的球兩兩外切，其中三個(gè)放在桌面上，第四個(gè)球放在這三個(gè)球之上，則第四個(gè)球離開桌面的高度為多少？這里，四個(gè)球的球心這間的距離都是，四個(gè)球心構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體，可以計(jì)算正四面體的高為，從而上面球離開桌面的高度為．例10 求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系．解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓．設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；，∴，∴．例11 正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，兩側(cè)棱的夾角為，求它的外接球的體積．分析：求球半徑，是解本題的關(guān)鍵．解：如圖，作底面于，則為正的中心．∵底面，∴、三點(diǎn)共線．∵，．∴．∴，設(shè)，作于，在中，∵，又，∴．在中，∵，∴．說明：解決與球有關(guān)的接、切問題時(shí)，一般作一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛?，將問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，這類截面通常指圓錐的軸截面、球的大圓、多面體的對(duì)角面等，在這個(gè)截面中應(yīng)包括每個(gè)幾何體的主要元素，且這個(gè)截面必須能反映出體和體之間的主要位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．例12 在球心同側(cè)有相距的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為和．求球的表面積．分析：可畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)，求球的半徑．解：如圖為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，且若、分別為兩截面圓的圓心，則，．設(shè)球的半徑為．∵，∴同理，∴設(shè)，則．在中，；在中，∴，解得，∴，∴∴．∴球的表面積為．幾何體與球切、接的問題1 球與柱體的切接規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題. 球與正方體如圖所示，正方體，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，則；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則；三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形和其外接圓，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.（1）正方體的內(nèi)切球，如圖1.位置關(guān)系：正方體的六個(gè)面都與一個(gè)球都相切，正方體中心與球心重合；（2）正方體的外接球，如圖2.數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.（3）正方體的棱切球，如圖3.數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.例 1 棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長(zhǎng)為（ ）A． B． C． D．思路分析：由題意推出，.【解析】由題意可知，.點(diǎn)評(píng)：本題考查球與正方體“接”的問題，利用球的截面性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成為求球的截面圓直徑. 球與長(zhǎng)方體例 2自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值．思路分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)．【解析】以為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長(zhǎng)方體是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是球的直徑． =．點(diǎn)評(píng)：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計(jì)算．.例 3已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（ ）.A. B.
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