數(shù)學(xué)研究課題---空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題(編輯修改稿)
2025-05-01 04:29 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 截面，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決，這類(lèi)截面通常指圓錐的軸截面、球的大圓、多面體的對(duì)角面等，在這個(gè)截面中應(yīng)包括每個(gè)幾何體的主要元素，且這個(gè)截面必須能反映出體和體之間的主要位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．例12 在球心同側(cè)有相距的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為和．求球的表面積．分析：可畫(huà)出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)，求球的半徑．解：如圖為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，且若、分別為兩截面圓的圓心，則，．設(shè)球的半徑為．∵，∴同理，∴設(shè)，則．在中，；在中，∴，解得，∴，∴∴．∴球的表面積為．幾何體與球切、接的問(wèn)題1 球與柱體的切接規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問(wèn)題. 球與正方體如圖所示，正方體，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，則；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則；三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形和其外接圓，解決正方體與球的組合問(wèn)題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過(guò)兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.（1）正方體的內(nèi)切球，如圖1.位置關(guān)系：正方體的六個(gè)面都與一個(gè)球都相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.（2）正方體的外接球，如圖2.位置關(guān)系：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上；正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.（3）正方體的棱切球，如圖3.位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.例 1 棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長(zhǎng)為（ ）A． B． C． D．思路分析：由題意推出，.【解析】由題意可知，.點(diǎn)評(píng)：本題考查球與正方體“接”的問(wèn)題，利用球的截面性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成為求球的截面圓直徑. 球與長(zhǎng)方體例 2自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值．思路分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)．【解析】以為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長(zhǎng)方體是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是球的直徑． =．點(diǎn)評(píng)：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計(jì)算．.例 3已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（ ）.A. B. C. D.思路分析：，可得長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4，長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，它的體對(duì)角線正好為球的直徑.【解析】正四棱柱也是長(zhǎng)方體。由長(zhǎng)方體的體積16及高4可以求出長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為2，因此，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4，因?yàn)殚L(zhǎng)方體內(nèi)接于球，.點(diǎn)評(píng)：本題考查球與長(zhǎng)方體“接”的問(wèn)題，利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成為求其體對(duì)角線.2 球與錐體的切接規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問(wèn)題.（1）正四面體的內(nèi)切球，如圖4.位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)面都與一個(gè)球相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為
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