初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題輔導(dǎo)勾股定理與應(yīng)用-資料下載頁
2025-04-04 03:49本頁面
【正文】 ，AC邊上的中線．求證：4(AM2+BN2)=5AB2． 分析 由于AM，BN，AB均可看作某個(gè)直角三角形的斜邊，因此，仿例4的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例4的特殊情況——即M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，那么可直接利用例4的結(jié)論，使證明過程十分簡(jiǎn)潔． 證 連接MN，利用例4的結(jié)論，我們有AM2+BN2=AB2+MN2， 所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2． ① 由于M，N是BC，AC的中點(diǎn)，所以 所以 4MN2=AB2． ② 由①，②4(AM2+BN2)=5AB2． 說明 在證明中，線段MN稱為△ABC的中位線，以后會(huì)知道中位線的基本性質(zhì)：“MN∥AB且MN=圖226所示．MN是△ABC的一條中位線，設(shè)△ABC的面積為S．由于M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，所以S△ACM=S△BCN，兩邊減去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，從而AB必與MN平行．又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．練習(xí)十一 1．用下面各圖驗(yàn)證勾股定理(虛線代表輔助線)： (1)趙君卿圖(圖227)； (2)項(xiàng)名達(dá)圖(228)； (3)楊作枚圖(圖229)． 2．已知矩形ABCD，P為矩形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，求證：PA2+PC2=PB2+PD2． (提示：應(yīng)分三種情形加以討論，P在矩形內(nèi)、P在矩形上、P在矩形外，均有這個(gè)結(jié)論．) 3．由△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)O向三邊BC，CA，AB分別作垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn)．求證：AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2． 4．如圖230所示．在四邊形ADBC中，對(duì)角線AB⊥CD．求證：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？證明你的結(jié)論． 5．如圖231所示．從銳角三角形ABC的頂點(diǎn)B，C分別向?qū)呑鞔咕€BE，CF．求證：BC2=ABBF+ACCE．用心 愛心 專心
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