20xx屆黑龍江省大慶實驗中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)理試題解析版)-資料下載頁
2025-04-04 02:48本頁面
【正文】 增函數(shù)，所以在上恒成立，即恒成立，∵（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，即.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．21．(1) ； (2) .【解析】【分析】（1）利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡即可，求角A的大??；（2）先求得 B+C=，根據(jù)B、C都是銳角求出B的范圍，由正弦定理得到b=2sinB，c=2sinC，根據(jù) b2+c2=4+2sin（2B﹣） 及B的范圍，得 ＜sin（2B﹣）≤1，從而得到b2+c2的范圍．【詳解】（1）由=得sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，即sin（A﹣B）=sin（C﹣A），則A﹣B = C﹣A，即2A=C+B，即A=．.（2）當(dāng)a=時，∵B+C=，∴C=﹣B．由題意得 ，∴＜B＜．由 =2，得 b=2sinB，c=2sinC，∴b2+c2=4 （sin2B+sin2C）=4+2sin（2B﹣）．∵＜B＜，∴＜sin（2B﹣）≤1，∴1≤2sin（2B﹣）≤2．∴5＜b2+c2≤6．故的取值范圍是.【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦定理的應(yīng)用，其中判斷sin（2B﹣）的取值范圍是本題的難點．22．（1）；（2）；（3）證明見解析．【解析】試題分析：（1）由切線切于原點知及，可得；（2）不等式恒成立，即在上的最小值大于或等于0，因此要研究的單調(diào)性、極值，為此求得，為了確定的正負(fù)，再求導(dǎo)，由二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)，從而確定的單調(diào)性，最值．對分類：，；（3）要證不等式，顯然要與上面的結(jié)論有關(guān)，首先證明一個更一般的情形：對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，等價變形為，相當(dāng)于（2）中，的情形．由此可證．試題解析：（1）因為與軸相切于坐標(biāo)原點則（2），①當(dāng)時，由于，有，于是在上單調(diào)遞增，從而，因此在上單調(diào)遞增，即而且僅有符合；②當(dāng)時，由于，有，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即不符；③當(dāng)時，令，當(dāng)時，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有不符.綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍是.（3）對要證明的不等式等價變形如下：對于任意的正整數(shù)，不等式恒成立，等價變形相當(dāng)于（2）中，的情形，在上單調(diào)遞減，即而且僅有；取，得：對于任意正整數(shù)都有成立；令得證.考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不等式恒成立，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、最值，不等式證明．【名師點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．已知函數(shù)點處的切線方程，實際上已知兩個條件：和．在求函數(shù)的最值時，一般要研究函數(shù)的單調(diào)性，這就要求研究導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，象本題導(dǎo)數(shù)的正負(fù)也不易確定時，還必須研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，從而又要對導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)，得二階導(dǎo)數(shù)，由的正負(fù)確定的單調(diào)性，從而確定的正負(fù)．這在導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜應(yīng)用中經(jīng)常采用．本題第（3）小題考查同學(xué)們的觀察能力、想象能力，類比推理能力，要在已證結(jié)論中取特殊值得到要證的不等式，要求較高，屬于難題．
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