20xx屆山東省濟(jì)南市歷城第二中學(xué)高三11月月考數(shù)學(xué)文試題解析版-資料下載頁(yè)
2025-04-04 02:46本頁(yè)面
【正文】 成立問(wèn)題時(shí)，常采用分離參數(shù)法，將要求的參數(shù)分離到不等式的一邊，由不等式的另一邊構(gòu)造函數(shù)，求新函數(shù)的最值，進(jìn)而得參數(shù)的取值范圍.21．（1）x24+y23=1(x≠2)（2）(819,319)【解析】【分析】（1）已知?jiǎng)訄AP與圓M外切，與圓N內(nèi)切，利用圓心距和半徑的關(guān)系得到P到M和P到N的距離之和為定值，符合橢圓定義，從而求得曲線C的方程；（2）先求直線AB，聯(lián)立直線與橢圓方程，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得相交弦的中點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由已知得圓M的圓心為M(1,0),半徑r1=1。圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3. 設(shè)動(dòng)圓P的圓心為P(x,y),所以 PM+PN=(R+r1)+(r2R)=r1+r2=4MN. 根據(jù)橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點(diǎn)的橢圓(左長(zhǎng)軸端點(diǎn)除外),即2a=4,∴a=2,c=1,∴b2=3，∴橢圓方程為x24+y23=1(x≠2).（2）過(guò)點(diǎn)Q (1,1)作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，如下圖：QA=QB=2，以Q為圓心，QA為半徑的圓Q:(x1)2+(y1)2=4與圓M:(x+1)2+y2=1公共弦所在直線AB的方程為y=2x1，聯(lián)立曲線C:x24+y23=1(x≠2)與直線l:y=2x1可得19x2+16x8=0，Δ0，設(shè)交點(diǎn)E(x1,y1),F(x2,y2)，則x1+x2=1619，所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1+x22=819，代入l:y=2x1得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為319，所求中點(diǎn)坐標(biāo)為(819,319)【點(diǎn)睛】本題考查了定義法求軌跡方程，考查了相交圓的公共弦，考查了直線與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)；涉及直線和圓錐曲線的相交弦的中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，常采用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解，這樣使解題過(guò)程簡(jiǎn)化.22．（1）1（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f39。(x)，根據(jù)f39。1=0，求出a的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)；（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性；；（3）結(jié)合已知條件與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得2(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2lnx1x2．令t=x1x2，構(gòu)造函數(shù)φ(t)=tlnt(t0)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性得2(x1+x2)2+(x1+x2)≥1，進(jìn)而得證x1+x212．【詳解】（1）因?yàn)閒(x)=lnx+xax2，所以f39。(x)=1x+12ax，因?yàn)閒(x)在x=1處取得極值，所以f39。(1)=1+12a=0，解得a=1． 驗(yàn)證：當(dāng)a=1時(shí)，f39。(x)=1x+12x=(x1)(2x+1)x(x0)，易得f(x)在x=1處取得極大值． （2）因?yàn)間(x)=f(x)+(a3)x=lnx+xax2+(a3)x=lnxax2+(a2)x，所以g39。(x)=1x2ax+(a2)=(ax+1)(2x1)x(x0)．①若a≥0，則當(dāng)x∈(0,12)時(shí)，g39。(x)0，所以函數(shù)g(x)在(0,12)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(12,+∞)時(shí)，g39。(x)0，∴函數(shù)g(x)在(12,+∞)上單調(diào)遞減． ②若a0，g39。(x)=a(x+1a)(2x1)x(x0)，當(dāng)a2時(shí)，易得函數(shù)g(x)在(0,1a)和(12,+∞)上單調(diào)遞增，在(1a,12)上單調(diào)遞減； 當(dāng)a=2時(shí)，g39。(x)≥0恒成立，所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)2a0時(shí)，易得函數(shù)g(x)在(0,12)和(1a,+∞)上單調(diào)遞增，在(12,1a)上單調(diào)遞減． （3）證明：當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=lnx+x+2x2，因?yàn)閒(x1)+f(x2)+3x1x2=0，所以lnx1+x1+2x12+lnx2+x2+2x22+3x1x2=0，即lnx1x2+2(x12+x22)+(x1+x2)+3x1x2=0，所以2(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2lnx1x2． 令t=x1x2，φ(t)=tlnt(t0)，則φ39。(t)=11t=t1t(t0)，當(dāng)t∈(0,1)時(shí)，φ39。(t)0，所以函數(shù)φ(t)=tlnt(t0)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)t∈(1,+∞)時(shí)，φ39。(t)0，所以函數(shù)φ(t)=tlnt(t0)在(1,+∞)上單調(diào)遞增．所以函數(shù)φ(t)=tlnt(t0)在t=1時(shí)，取得最小值，最小值為1． 所以2(x1+x2)2+(x1+x2)≥1，即2(x1+x2)2+(x1+x2)1≥0，所以x1+x2≥12或x1+x2≤1．因?yàn)閤1,x2為正實(shí)數(shù)，所以x1+x2≥12． 當(dāng)x1+x2=12時(shí)，x1x2=1，此時(shí)不存在x1,x2滿足條件，所以x1+x212．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的綜合問(wèn)題．利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的綜合問(wèn)題的一般步驟是：構(gòu)造函數(shù)φ(x)，利用導(dǎo)數(shù)判斷φ(x)的單調(diào)區(qū)間和最值，再進(jìn)行相應(yīng)證明.
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