20xx年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)試卷-資料下載頁
2025-04-04 02:44本頁面
【正文】 【點評】本題考查四邊形綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，正確畫出圖形，屬于中考壓軸題． 25．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在BC邊上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足為E，求證：BC=2AE．小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，過點A作AF⊥BC，垂足為F，得到∠AFB=∠BEA，從而可證△ABF≌△BAE（如圖2），使問題得到解決．（1）根據(jù)閱讀材料回答：△ABF與△BAE全等的條件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個）參考小明思考問題的方法，解答下列問題：（2）如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90176。，D為BC的中點，E為DC的中點，點F在AC的延長線上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的長；（3）如圖4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120176。，點D、E分別在AB、AC邊上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．【考點】相似形綜合題．【分析】（1）作AF⊥BC，判斷出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF=AE，即可；（2）先求出tan∠DAE=，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，最后用△DCG∽△ACE求出AC；（3）構(gòu)造含30176。角的直角三角形，設(shè)出DG，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分別用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=a（k+1），BC=2BH=2a（k+1），CG=a（2k+1），DN=ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．【解答】證明：（1）如圖2，作AF⊥BC，∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，在△ABF和△BAE中，∴△ABF≌△BAE（AAS），∴BF=AE∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=BC，∴BC=2AE，故答案為AAS（2）如圖3，連接AD，作CG⊥AF，在Rt△ABC中，AB=AC，點D是BC中點，∴AD=CD，∵點E是DC中點，∴DE=CD=AD，∴tan∠DAE===，∵AB=AC，∠BAC=90176。，點D為BC中點，∴∠ADC=90176。，∠ACB=∠DAC=45176。，∴∠F+∠CDF=∠ACB=45176。，∵∠CDF=∠EAC，∴∠F+∠EAC=45176。，∵∠DAE+∠EAC=45176。，∴∠F=∠DAE，∴tan∠F=tan∠DAE=，∴，∴CG=2=1，∵∠ACG=90176。，∠ACB=45176。，∴∠DCG=45176。，∵∠CDF=∠EAC，∴△DCG∽△ACE，∴，∵CD=AC，CE=CD=AC，∴，∴AC=4；∴AB=4；（3）如圖4，過點D作DG⊥BC，設(shè)DG=a，在Rt△BGD中，∠B=30176。，∴BD=2a，BG=a，∵AD=kDB，∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），過點A作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∠B=30176。．∴BH=a（k+1），∵AB=AC，AH⊥BC，∴BC=2BH=2a（k+1），∴CG=BC﹣BG=a（2k+1），過D作DN⊥AC交CA延長線與N，∵∠BAC=120176。，∴∠DAN=60176。，∴∠ADN=30176。，∴AN=ka，DN=ka，∵∠DGC=∠AND=90176。，∠AED=∠BCD，∴△NDE∽△GDC．∴，∴，∴NE=3ak（2k+1），∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a（k+1）﹣2ak（3k+1）=2a（1﹣3k2），∴=．【點評】此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，中點的定義，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，也是本題的難點． 26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+與y軸相交于點A，點B與點O關(guān)于點A對稱（1）填空：點B的坐標(biāo)是?。?，）??；（2）過點B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交于點C，過點C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點，且PB=PC，求線段PB的長（用含k的式子表示），并判斷點P是否在拋物線上，說明理由；（3）在（2）的條件下，若點C關(guān)于直線BP的對稱點C′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時點P的坐標(biāo)．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由拋物線解析式可求得A點坐標(biāo)，再利用對稱可求得B點坐標(biāo)；（2）可先用k表示出C點坐標(biāo)，過B作BD⊥l于點D，條件可知P點在x軸上方，設(shè)P點縱坐標(biāo)為y，可表示出PD、PB的長，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，則可求出PB的長，此時可得出P點坐標(biāo)，代入拋物線解析式可判斷P點在拋物線上；（3）利用平行線和軸對稱的性質(zhì)可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60176。，則可求得OC的長，代入拋物線解析式可求得P點坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y=x2+與y軸相交于點A，∴A（0，），∵點B與點O關(guān)于點A對稱，∴BA=OA=，∴OB=，即B點坐標(biāo)為（0，），故答案為：（0，）；（2）∵B點坐標(biāo)為（0，），∴直線解析式為y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣，∴OC=﹣，∵PB=PC，∴點P只能在x軸上方，如圖1，過B作BD⊥l于點D，設(shè)PB=PC=m，則BD=OC=﹣，CD=OB=，∴PD=PC﹣CD=m﹣，在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得m=+，∴PB+，∴P點坐標(biāo)為（﹣， +），當(dāng)x=﹣時，代入拋物線解析式可得y=+，∴點P在拋物線上；（3）如圖2，連接CC′，∵l∥y軸，∴∠OBC=∠PCB，又PB=PC，∴∠PCB=∠PBC，∴∠PBC=∠OBC，又C、C′關(guān)于BP對稱，且C′在拋物線的對稱軸上，即在y軸上，∴∠PBC=∠PBC′，∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60176。，在Rt△OBC中，OB=，則BC=1∴OC=，即P點的橫坐標(biāo)為，代入拋物線解析式可得y=（）2+=1，∴P點坐標(biāo)為（，1）．【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有軸對稱的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等．在（2）中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理得到關(guān)于PC的長的方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60176。是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．
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