【正文】 ∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分同理，F(xiàn)O=CO………………6分∴EO=FO又OA=OC, ∴四邊形AECF是平行四邊形………………7分又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180176?！唷?+∠4=90176?！?分∴四邊形AECF是矩形………………10分2（2011湖北襄陽10分)如圖9，點P是正方形ABCD邊AB上一點（不與點A，B重合），連接PD并將線段PD繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90176。得到線段PE，PE交邊BC于點F，連接BE，DF.（1）求證：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE的度數(shù)；（3）當?shù)闹档扔诙嗌贂r，△PFD∽△BFP？并說明理由. 圖9【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴∠A＝∠PBC＝90176。，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90176。 1分∵∠DPE＝90176。 ∴∠APD＋∠EPB＝90176?！唷螦DP＝∠EPB. 2分（2）過點E作EG⊥AB交AB的延長線于點G，則∠EGP＝∠A＝90176。 3分又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG 4分∴∠CBE＝∠EBG＝45176。. 5分（3）方法一：當時，△PFE∽△BFP. 6分∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分設AD＝AB＝a，則AP＝PB＝，∴BF＝BP 8分∴，∴ 9分又∵∠DPF＝∠PBF＝90176。，∴△ADP∽△BFP 10分方法二：假設△ADP∽△BFP，則. 6分∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分∴， 8分∴， 9分∴PB＝AP， ∴當時，△PFE∽△BFP. 10分24. （2011湖南永州10分）探究問題：⑴方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45176。，連接EF，求證DE+BF=EF．感悟解題方法，并完成下列填空：將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90176。得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90176。,∴∠ABG+∠ABF=90176。+90176。=180176。，因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵∠EAF=45176。 ∴∠2+∠3=∠BAD∠EAF=90176。45176。=45176。．∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45176。．即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE+BF=EF． （第25題）①⑵方法遷移：如圖②，將沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（第25題）②（第25題）②解得圖⑶問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC,BC上的點，滿足,試猜想當∠B與∠D滿足什么關(guān)系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．（第25題）③ 【答案】⑴EAF、△EAF、GF．⑵DE+BF=EF，理由如下：假設∠BAD的度數(shù)為，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90176。,∴∠ABG+∠ABF=90176。+90176。=180176。，因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD∠EAF=∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=．即∠GAF=∠EAF又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF，又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF． ⑶當∠B與∠D互補時，可使得DE+BF=EF．2（2007南充）如圖， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30186。．點M、N同時以相同速度分別從點A、點D開始在AB、AD（包括端點）上運動．（1）設ND的長為x，用x表示出點N到AB的距離，并寫出x的取值范圍．（2）當五邊形BCDNM面積最小時，請判斷△AMN的形狀．ADCBMNDCBMNAP解：（1）過點N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點P． ………………（1分）由已知，AM＝x，AN＝20－x．∵　四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30186。，∴　∠PAN＝∠D＝30186。．在Rt△APN中，PN＝ANsin∠PAN＝（20－x），即點N到AB的距離為（20－x）． ………………………………（3分）∵　點N在AD上，0≤x≤20，點M在AB上，0≤x≤15，∴　x的取值范圍是　0≤x≤15． ………………………………（4分）（2）根據(jù)（1），S△AMN＝AM?NP＝x（20－x）＝． ……（5分）∵?。?，∴　當x＝10時，S△AMN有最大值． …………………………（6分）又∵　S五邊形BCDNM＝S梯形－S△AMN，且S梯形為定值，∴　當x＝10時，S五邊形BCDNM有最小值． …………………………（7分）當x＝10時，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN．則當五邊形BCDNM面積最小時，△AMN為等腰三角形． …………（8分）2（2007福建晉江）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝4，AD＝3，動點M、N分別從D、B同時出發(fā)，以1個單位/秒的速度運動，點M沿DA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動。過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連結(jié)MP。已知動點運動了秒。⑴請直接寫出PN的長；（用含的代數(shù)式表示）⑵若0秒≤≤1秒，試求△MPA的面積S與時間秒的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)圖象，求S的最大值。⑶若0秒≤≤3秒，△MPA能否為一個等腰三角形？若能，試求出所有的對應值；若不能，試說明理由。MABCNDP解：⑴；⑵延長NP交AD于點Q，則PQ⊥AD，由⑴得：PN＝，則。依題意，可得：yxx=123412O∵0≤≤ 即函數(shù)圖象在對稱軸的左側(cè)，函數(shù)值S隨著的增大而增大。∴當時，S有最大值 ，S最大值＝。⑶△MPA能成為等腰三角形，共有三種情況，以下分類說明：①若PM＝PA，∵PQ⊥MA ∴MQ＝QA＝又DM＋MQ＋QA＝AD ∴，即②若MP＝MA，則MQ＝，PQ＝，MP＝MA＝在Rt△PMQ中，由勾股定理得：∴，解得：（不合題意，舍去）③若AP＝AM，由題意可得：，AM＝∴，解得：綜上所述，當，或，或時，△MPA是等腰三角形