【正文】 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 取，若極限 存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù)在 上的廣義積分,記作,即 .此時(shí)也稱(chēng)廣義積分收斂；如果上述極限不存在, 就稱(chēng)發(fā)散.類(lèi)似地，定義f(x)在區(qū)間上的廣義積分為.f(x)在(165。, +165。)上的廣義積分定義為.，稱(chēng)廣義積分收斂，否則稱(chēng)其發(fā)散.從廣義積分的定義可以直接得到廣義積分的計(jì)算方法，即先求有限區(qū)間上的定積分，再取極限. 計(jì)算廣義積分.解 任取實(shí)數(shù)，則 . 計(jì)算.解 ==.所以，廣義積分是發(fā)散.利用極限的性質(zhì)，可以把定積分的分部積分法、換元積分法推廣到廣義積分. 計(jì)算.解 .注 顯然這里的極限是不定式，利用洛必達(dá)法則可得其結(jié)果為零. 判斷的收斂性.解 .顯然時(shí),沒(méi)有極限,所以廣義積分是發(fā)散的. 求曲線與直線所圍成的圖形的面積.o 1 xy解 ，陰影部分的面積可以看作函數(shù)在的定積分，故所求圖形的面積為. 討論廣義積分的斂散性.解 當(dāng)時(shí)，（發(fā)散）；當(dāng)時(shí)，.故時(shí)，該廣義積分收斂，其值為；當(dāng)時(shí)，該廣義積分發(fā)散.此廣義積分稱(chēng)為積分，牢記它的斂散性，可以直接運(yùn)用.——瑕積分 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，,如果極限存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù)在上的廣義積分,記作，即.此時(shí)也稱(chēng)廣義積分收斂，否則就稱(chēng)廣義積分發(fā)散.類(lèi)似地，當(dāng)為的無(wú)窮大間斷點(diǎn)時(shí)，在上的廣義積分為：取,.當(dāng)無(wú)窮間斷點(diǎn)位于區(qū)間的內(nèi)部時(shí)，則定義廣義積分為：.注 上式右端兩個(gè)積分均為廣義積分，當(dāng)且僅當(dāng)右端兩個(gè)積分同時(shí)收斂時(shí)，稱(chēng)廣義積分收斂，否則稱(chēng)其發(fā)散.注 (1)廣義積分是常義積分（定積分）概念的擴(kuò)充，收斂的廣義積分與定積分具有類(lèi)似的性質(zhì)，但不能直接利用牛頓—萊布尼茲公式.(2)求廣義積分就是求常義積分的一種極限，因此，首先計(jì)算一個(gè)常義積分，再求極限，定積分中換元積分法和分部積分法都可以推廣到廣義積分；在求極限時(shí)可以利用求極限的一切方法，包括洛必塔法則.(3)為了方便，利用下列符號(hào)表示極限：；；；.(4)瑕積分與常義積分的記號(hào)一樣，要注意判斷和區(qū)別. 求.解 因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，且，所以是廣義積分，于是. 求.解 因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，且，所以是廣義積分,于是故發(fā)散. 計(jì)算.解 因?yàn)椋允菑V義積分，于是.由于，即發(fā)散，從而發(fā)散.，如果沒(méi)有考慮到被積函數(shù)在處有無(wú)窮間斷點(diǎn)的情況，仍然按定積分來(lái)計(jì)算，就會(huì)得出如下錯(cuò)誤的結(jié)果：. 求積分.解 因?yàn)楸环e函數(shù)，當(dāng)時(shí)無(wú)界，所以按瑕積分進(jìn)行.. 討論廣義積分的斂散性.解 當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，.故時(shí)，該廣義積分收斂，其值為；當(dāng)時(shí)，該廣義積分發(fā)散.此廣義積分稱(chēng)為積分，牢記它的斂散性，可以直接運(yùn)用.：(1) (2)(3) (4)(5) (6)，如果收斂，計(jì)算積分值.(1) (2)(3) (4)(5) （6），并這個(gè)圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積.本章小結(jié)函數(shù)在區(qū)間上的定積分是通過(guò)部分和的極限定義的：這與不定積分的概念是完全不同的。通過(guò)牛頓萊布尼茲公式，可以利用不定積分來(lái)計(jì)算定積分，從而建立了兩個(gè)概念間的聯(lián)系.定積分的性質(zhì)（——），以下結(jié)論在積分計(jì)算中也有重要應(yīng)用：（1）定積分的值僅依賴于被積函數(shù)和積分區(qū)間，（2）交換定積分的上、下限，定積分變號(hào)，即特別地，當(dāng)時(shí)，有（3）對(duì)于定義在上的連續(xù)奇（偶）函數(shù)，有 為奇函數(shù) 為偶函數(shù)如果函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)，一般地，如果可導(dǎo)，則設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且是的一個(gè)原函數(shù)，則這一公式說(shuō)明：只需計(jì)算的一個(gè)原函數(shù)或不定積分，就可以求得在區(qū)間上的定積分.（1），應(yīng)注意換元后，要換積分的上、下限.（2）定積分的分部積分法.無(wú)限區(qū)間上的廣義積分，原則上是把它化為一個(gè)定積分，就求出了廣義積分的值.定積分可應(yīng)用于求平面圖形的面積，或在已知某經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率或邊際函數(shù)時(shí)，求總量函數(shù)或總量函數(shù)在一定范圍內(nèi)的增量.綜合習(xí)題5，,所圍成平面圖形面積等于________.，則.，則.，， 則=5. （ ）A. B. C. D.6. （ ）A. B. C. D.，則 （ ） ，則 （ ）A. B.C. D.，則下列各式中不成立的是 （ ）A. B.C. ，則 ：（1） （2）（3） （4）：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）.，證明.，證明. ，試求為何值時(shí)最小？最小值是多少？(0,3)各點(diǎn)(3,0)處的切線所圍成的圖形面積及此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積.(0,0)，且當(dāng)時(shí)，它和直線x=1及y=0所轉(zhuǎn)成的圖形面積是，問(wèn)這個(gè)圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為最小時(shí)，a,b與c的值應(yīng)是多少？.，時(shí)間從至秒時(shí)，物體經(jīng)過(guò)的距離是32厘米，求距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.，長(zhǎng)為50米，（千克），若拉著繩子的一端將其扯到120米的高處放好，試求所做的功.37