定積分典型例題-資料下載頁(yè)
2025-03-25 00:34本頁(yè)面
【正文】 ====．注 可考慮選取為積分變量，請(qǐng)讀者自行完成．例46（03研） 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，該切線與曲線及軸圍成平面圖形．（1）求的面積；（2）求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．分析 先求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線方程，再用定積分求面積，旋轉(zhuǎn)體積可用大的立體體積減去小的立體體積進(jìn)行圖5－6計(jì)算，如圖5－6所示．解 （1）設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是．由該切線過(guò)原點(diǎn)知，從而，所以該切線的方程是．從而的面積．（2）切線與軸及直線圍成的三角形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體積為，曲線與軸及直線圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體積為．因此，所求體積為．例47 有一立體以拋物線與直線所圍成的圖形為底，而垂直于拋物線的軸的截面都是等邊三角形，如圖5－7所示．求其體積．解 選為積分變量且．過(guò)軸上坐標(biāo)為的點(diǎn)作垂直于軸的平面，與立體相截的截面為等邊三角形，其底邊長(zhǎng)為，得等邊三角形的面積為圖5－7==．于是所求體積為 ===．例48（03研） 某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層，汽錘每次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功，設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為，），汽錘第一次擊打進(jìn)地下（），根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)（）．問(wèn)：（1）汽錘打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？（2）若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？（注：表示長(zhǎng)度單位米）分析 本題屬于變力作功問(wèn)題，可用定積分來(lái)求．解 （1）設(shè)第次擊打后，樁被打進(jìn)地下，第次擊打時(shí)，汽錘所作的功為（，）．由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為時(shí)，土層對(duì)樁的阻力的大小為，所以 ，．由得 ，即 ，．由 得 ，即 ．從而汽錘擊打3次后，可將樁打進(jìn)地下（）．（2）問(wèn)題是要求，為此先用歸納法證明：． 假設(shè)，則．由，得．從而.于是．若不限打擊次數(shù)，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下．例49 有一等腰梯形水閘．上底為6米，下底為2米，高為10米．試求當(dāng)水面與上底相接時(shí)閘門所受的水壓力．解 建立如圖5－8所示的坐標(biāo)系，選取為積分變量．則過(guò)點(diǎn)，的直線方程為．于是閘門上對(duì)應(yīng)小區(qū)間的窄條所承受的水壓力為．故閘門所受水壓力為==，其中為水密度，為重力加速度．圖5－81. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒(méi)有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無(wú)反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。用一些事情，總會(huì)看清一些人。有時(shí)候覺(jué)得自己像個(gè)神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過(guò)后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過(guò)來(lái)了。4. 歲月是無(wú)情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕，少一些蒼白無(wú)力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學(xué)習(xí)參考
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