定積分典型例題-資料下載頁
2025-03-25 00:34本頁面
【正文】 ====．注 可考慮選取為積分變量，請讀者自行完成．例46（03研） 過坐標(biāo)原點作曲線的切線，該切線與曲線及軸圍成平面圖形．（1）求的面積；（2）求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．分析 先求出切點坐標(biāo)及切線方程，再用定積分求面積，旋轉(zhuǎn)體積可用大的立體體積減去小的立體體積進(jìn)行圖5－6計算，如圖5－6所示．解 （1）設(shè)切點橫坐標(biāo)為，則曲線在點處的切線方程是．由該切線過原點知，從而，所以該切線的方程是．從而的面積．（2）切線與軸及直線圍成的三角形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體積為，曲線與軸及直線圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體積為．因此，所求體積為．例47 有一立體以拋物線與直線所圍成的圖形為底，而垂直于拋物線的軸的截面都是等邊三角形，如圖5－7所示．求其體積．解 選為積分變量且．過軸上坐標(biāo)為的點作垂直于軸的平面，與立體相截的截面為等邊三角形，其底邊長為，得等邊三角形的面積為圖5－7==．于是所求體積為 ===．例48（03研） 某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進(jìn)土層，汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功，設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為，），汽錘第一次擊打進(jìn)地下（），根據(jù)設(shè)計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)（）．問：（1）汽錘打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？（2）若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？（注：表示長度單位米）分析 本題屬于變力作功問題，可用定積分來求．解 （1）設(shè)第次擊打后，樁被打進(jìn)地下，第次擊打時，汽錘所作的功為（，）．由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為時，土層對樁的阻力的大小為，所以 ，．由得 ，即 ，．由 得 ，即 ．從而汽錘擊打3次后，可將樁打進(jìn)地下（）．（2）問題是要求，為此先用歸納法證明：． 假設(shè)，則．由，得．從而.于是．若不限打擊次數(shù)，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下．例49 有一等腰梯形水閘．上底為6米，下底為2米，高為10米．試求當(dāng)水面與上底相接時閘門所受的水壓力．解 建立如圖5－8所示的坐標(biāo)系，選取為積分變量．則過點，的直線方程為．于是閘門上對應(yīng)小區(qū)間的窄條所承受的水壓力為．故閘門所受水壓力為==，其中為水密度，為重力加速度．圖5－81. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學(xué)習(xí)參考
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