定積分典型例題(存儲(chǔ)版)
【正文】 與在點(diǎn)處的切線相同，其中，試求該切線的方程并求極限．分析 兩曲線與在點(diǎn)處的切線相同，隱含條件，．解 由已知條件得，且由兩曲線在處切線斜率相同知．故所求切線方程為．而．例14 求 ； 分析 該極限屬于型未定式，可用洛必達(dá)法則．解 =====．注 此處利用等價(jià)無(wú)窮小替換和多次應(yīng)用洛必達(dá)法則．例15 試求正數(shù)與，使等式成立．分析 易見(jiàn)該極限屬于型的未定式，可用洛必達(dá)法則．解 ==，由此可知必有，得．又由 ，得．即，為所求．例16 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，是的（ ）．A．等價(jià)無(wú)窮?。?B．同階但非等價(jià)的無(wú)窮小． C．高階無(wú)窮?。?D．低階無(wú)窮?。夥? 由于 ．故是同階但非等價(jià)的無(wú)窮?。xB．解法2 將展成的冪級(jí)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，得到，則．例17 證明：若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)增加，則有．證法1 令=，當(dāng)時(shí)，則 == =．故單調(diào)增加．即 ，又，所以，其中．從而=．證畢．證法2 由于單調(diào)增加，有，從而 ．即 ==．故 ．例18 計(jì)算． 分析 被積函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)然后再積分．解 ＝＝＝．注 在使用牛頓－萊布尼茲公式時(shí),應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件．如，則是錯(cuò)誤的．錯(cuò)誤的原因則是由于被積函數(shù)在處間斷且在被積區(qū)間內(nèi)無(wú)界. 例19 計(jì)算．分析 被積函數(shù)在積分區(qū)間上實(shí)際是分段函數(shù)． 解 例20 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則．分析 本題只需要注意到定積分是常數(shù)（為常數(shù)）．解 因連續(xù)，必可積，從而是常數(shù)，記，則，且．所以，即，從而，所以 ．例21 設(shè)，求, 并討論的連續(xù)性．分析 由于是分段函數(shù), 故對(duì)也要分段討論．解 （1）求的表達(dá)式．的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，, 因此．當(dāng)時(shí)，, 因此, 則==，故 ． (2) 在及上連續(xù), 在處，由于 , , ．因此, 在處連續(xù), 從而在上連續(xù)．錯(cuò)誤解答 （1）求的表達(dá)式, 當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，有=．故由上可知．(2) 在及上連續(xù), 在處，由于 , , ．因此, 在處不連續(xù), 從而在上不連續(xù)．錯(cuò)解分析 上述解法雖然注意到了是分段函數(shù)，但（1）中的解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，中的積分變量的取值范圍是，是分段函數(shù)，才正確．例22 計(jì)算．分析 由于積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性． 解 =．由于是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，有, 于是===由定積分的幾何意義可知, 故 ．例23 計(jì)算．分析 被積函數(shù)中含有及，考慮湊微分．解 =====．例24 計(jì)算．解 =====．注 此題為三角有理式積分的類(lèi)型，也可用萬(wàn)能代換公式來(lái)求解，請(qǐng)讀者不妨一試．例25 計(jì)算，其中．解 =，令，則= ==．注 若
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