定積分典型例題(編輯修改稿)
2025-04-21 00:34 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，則 =．解法2 令，則=．又令，則有=．所以，===．注 如果先計(jì)算不定積分，再利用牛頓萊布尼茲公式求解,則比較復(fù)雜，由此可看出定積分與不定積分的差別之一．例27 計(jì)算．分析 被積函數(shù)中含有根式，不易直接求原函數(shù)，考慮作適當(dāng)變換去掉根式．解 設(shè)，，則=．例28 計(jì)算，其中連續(xù)．分析 要求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但被積函數(shù)中含有，因此不能直接求導(dǎo)，必須先換元使被積函數(shù)中不含，然后再求導(dǎo)．解 由于=．故令，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，而，所以==，故===．錯(cuò)誤解答 ．錯(cuò)解分析 這里錯(cuò)誤地使用了變限函數(shù)的求導(dǎo)公式，公式中要求被積函數(shù)中不含有變限函數(shù)的自變量，而含有，因此不能直接求導(dǎo)，而應(yīng)先換元．例29 計(jì)算．分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法．解 ．例30 計(jì)算．分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法．解 == =．例31 計(jì)算．分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法． 解 由于， （1）而 ， （2）將（2）式代入（1）式可得 ,故 ．例32 計(jì)算．分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與冪函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法．解 ． ?。?）令，則 ． （2）將（2）式代入（1）式中得 ．例33 設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求．分析 被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，可考慮用分部積分法求解．解 由于．故 ．例34（97研） 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且（為常數(shù)），求并討論在處的連續(xù)性．分析 求不能直接求，因?yàn)橹泻械淖宰兞?，需要通過(guò)換元將從被積函數(shù)中分離出來(lái)，然后利用積分上限函數(shù)的求導(dǎo)法則，求出，最后用函數(shù)連續(xù)的定義來(lái)判定在處的連續(xù)性．解 由知，而連續(xù)，所以，．當(dāng)時(shí)，令，；，．，則，從而．又因?yàn)椋矗?．由于=．從而知在處連續(xù)．注 這是一道綜合考查定積分換元法、對(duì)積分上限函數(shù)求導(dǎo)、按定義求導(dǎo)數(shù)、討論函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性等知識(shí)點(diǎn)的綜合題．而有些讀者在做題過(guò)程中常會(huì)犯如下兩種錯(cuò)誤：（1）直接求出，而沒有利用定義去求，就得到結(jié)論不存在或無(wú)定義，從而得出在處不連續(xù)的結(jié)論．（2）在求時(shí)，不是去拆成兩項(xiàng)求極限，而是立即用洛必達(dá)法則，從而導(dǎo)致又由用洛必達(dá)法則得到=，出現(xiàn)該錯(cuò)誤的原因是由于使用洛必達(dá)法則需要有條件：在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)．但題設(shè)中僅有連續(xù)的條件，因此上面出現(xiàn)的是否存在是不能確定的．例35（00研） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，．試證在內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使得．分析 本題有兩種證法：一是運(yùn)用羅爾定理，需要構(gòu)造函數(shù)，找出的三個(gè)零點(diǎn)，由
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