函數的單調性的題型分類及解析-資料下載頁
2025-03-24 12:17本頁面
【正文】 數a的取值范圍是(－∞，0)∪(1,3]．13. 定義在上的函數，當時，且對任意的，有. (1)求的值；(2)求證：對任意的，恒有；(3)若，求的取值范圍. 解：（1）解：令，則 又，. （2）證明：當時，∴ ∵，∴ 又時， ∴對任意的，恒有. （3）解：設，則. ∴. 又 ∴ = ∴ .∴ 是上的增函數. 由，得 .∴ ，∴∴所求的x的取值范圍為 (x)對于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x0時，f(x)0，f(1)＝－.(1)求證：f(x)在R上是減函數；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)解法一：∵函數f(x)對于任意x，y∈R總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1x2，則x1－x20，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x0時，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)在R上是減函數．解法二：設x1x2，則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x0時，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上為減函數．(2)∵f(x)在R上是減函數，∴f(x)在[－3,3]上也是減函數，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分別為f(－3)與f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值為2，最小值為－2.(x)是定義在( 0，＋∞)上的增函數，且f() = f(x)－f(y) （1）求f(1)的值． （2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f() ＜2 ．解析：①在等式中，則f(1)=0．②在等式中令x=36，y=6則 故原不等式為：即f[x(x＋3)]＜f(36)，又f(x)在(0，＋∞)上為增函數，故不等式等價于：22．已知函數f(x)=，x∈［1，＋∞］（1）當a=時，求函數f(x)的最小值；（2）若對任意x∈[1，＋∞，f(x)＞0恒成立，試求實數a的取值范圍．解析： (1)當a=時，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞)設x2＞x1≥1，則f(x2)－f(x1)=x2＋=(x2－x1)＋=(x2－x1)(1－)∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－＞0，則f(x2)＞f(x1)可知f(x)在［1，＋∞)上是增函數．∴f(x)在區(qū)間［1，＋∞上的最小值為f(1)=．(2)在區(qū)間［1，＋∞上，f(x)=＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立設y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函數，當x=1時，ymin=3＋a，于是當且僅當ymin=3＋a＞0時函數f(x)＞0恒成立．故a＞－3．
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