二次函數(shù)中的面積計算問題教師用-資料下載頁
2025-03-24 06:24本頁面
【正文】 cQcPc圖2（3）①當(dāng)Q在BC上，即0≤ t ＜時如圖1，過Q作QF⊥AB于點(diǎn)F，則CE∥QF．∴＝，即＝，QF＝． ∴S△PBQ ＝PBQF＝(12－2t)＝－t 2＋t．即y＝－t 2＋t．∵y＝－t 2＋t＝－(t－3)2＋∴當(dāng)t＝3秒時，y有最大值為厘米2②當(dāng)Q在CD上，即≤ t ≤時S△PBQ ＝PBCE＝(12－2t)6＝36－6t．即y＝36－6t．此時y隨t的增大而減?。十?dāng)t＝秒時，y有最大值為36－6＝16厘米2．綜合①②，得y與t的函數(shù)關(guān)系式如下：（≤ t ≤）（0≤ t ＜）y＝．．．．．．．．．．．．∵＞16，∴當(dāng)t＝3秒時，y有最大值為厘米2． 12解：（1）由題意得． 解得．∴所求拋物線的解析式為y＝－x 2－2x＋3； EFOCABxy（2）存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P(－1，)或P(－1，)或P(－1，6)或P(－1，)； （3）解法一：過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E(m，－m 2－2m＋3)（－3＜ a ＜0）則EF＝－m 2－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m． ∴S四邊形BOCE ＝S△BEF ＋S梯形FOCE＝BFEF ＋(EF＋OC)OF＝(m＋3)(－m 2－2m＋3)＋(－m 2－2m＋6)(－m)． 9分＝－m 2－m＋＝－(m＋)2＋∴當(dāng)m＝－時，S四邊形BOCE 最大，且最大值為．此時y＝－(－)2－2(－)＋3＝∴此時E點(diǎn)的坐標(biāo)為(－，)． 解法二：過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E(x，y)（－3＜ x ＜0）則S四邊形BOCE ＝S△BEF ＋S梯形FOCE＝BFEF ＋(EF＋OC)OF＝(3＋x) y＋(3＋y)(－x)．＝(y－x)＝(－x 2－3x＋3)．＝－(x＋)2＋∴當(dāng)x＝－時，S四邊形BOCE 最大，且最大值為．此時y＝－(－)2－2(－)＋3＝∴此時E點(diǎn)的坐標(biāo)為(－，)．13解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，得0＝a(－2－1)2＋．∴a＝－∴該拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋即y＝－x 2＋x＋． （2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(xD，yD)，由于D為拋物線的頂點(diǎn)∴xD＝－＝1，yD＝－1 2＋1＋＝．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，)．如圖，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，則DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．∴∠DAO＝60176?！逴M∥ADDCMyOABQFNEPx①當(dāng)AD＝OP時，四邊形DAOP為平行四邊形．∴OP＝6∴t＝6（s）②當(dāng)DP⊥OM時，四邊形DAOP為直角梯形．過點(diǎn)O作OE⊥AD軸于E．在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60176。，∴AE＝1．（注：也可通過Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）∵四邊形DEOP為矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．∴t＝5（s）③當(dāng)PD＝OA時，四邊形DAOP為等腰梯形，此時OP＝AD－2AE＝6－2＝4．∴t＝4（s）綜上所述，當(dāng)t＝6s、5s、4s時，四邊形DAOP分別為平行四邊形、直角梯形、等腰梯形．（3）∵∠DAO＝60176。，OM∥AD，∴∠COB＝60176。．又∵OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，則PF＝t． ∴S四邊形BCPQ ＝S△COB －S△POQ＝6－(6－2t)t＝(t－)2＋ ∴當(dāng)t＝（s）時，S四邊形BCPQ的最小值為．此時OQ＝6－2t＝6－2＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．∴PQ＝＝＝ ：（1）過點(diǎn)A作AF⊥x軸于F．則OF＝OAcos60176。＝2＝1，AF＝OAsin60176。＝2＝．∴A(1，)． 代入直線解析式，得＝，∴m＝．∴y＝x＋．令y＝0，得x＋＝0，∴x＝4．∴E(4，0)．yxBAOEFGP（2）設(shè)過A、O、E三點(diǎn)的拋物線解析式為y＝ax 2＋bx＋c∵拋物線過原點(diǎn)，∴c＝0．∴ 解得∴所求拋物線的解析式為y＝x 2＋x． （3）過點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，設(shè)P(x0，y0)．＝＝＝(x0＋3y0)＝(x02＋x0)＝(x0)2＋當(dāng)x0＝時，S最大＝．：∴二次函數(shù)的解析式為y= x2－8x+12 ……………………………………………2分 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，－4） …………………………………………………………3分（2）存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形. 理由如下：當(dāng)y=0時，x28x+12=0 ∴x1=2 ， x2=6∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）DOxAOBCPy設(shè)直線BP的解析式為y=kx+m ∴直線BP的解析式為y=2x－12 ∴直線OD∥BP………………………………………4分 ∵頂點(diǎn)坐標(biāo)P（4， －4） ∴ OP=4 設(shè)D(x，2x) 則BD2=（2x）2+(6－x)2 當(dāng)BD=OP時，（2x）2+(6－x)2=32xP1MAOBCPNyH 解得：x1=，x 2=2…………………………………………………………………6分 當(dāng)x2=2時，OD=BP=，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去 ∴當(dāng)x=時四邊形OPBD為等腰梯形 …………………7分 ∴當(dāng)D(，)時，四邊形OPBD為等腰梯形 ………8分（3）① 當(dāng)0＜t≤2時，∵運(yùn)動速度為每秒個單位長度，運(yùn)動時間為t秒，則MP=t ∴PH=t，MH=t，HN=t ∴MN=t∴S=tt=t2 ……………………10分xP1MAOBCPNGHEFy ② 當(dāng)2＜t＜4時，P1G=2t－4，P1H=t ∵M(jìn)N∥OB ∴ ∽∴ ∴ ∴ =3t2－12t+12∴S=t2－(3t2－12t+12)= －t2+12t－12∴ 當(dāng)0＜t≤2時，S=t2 當(dāng)2＜t＜4時，S=－t2+12t－12 ……………12分
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