【正文】 方程 ??Px ??????? ??????? ??52c o ?? ty? ? ?????? ???2552c o ?? t④ . a、 b 振動方向，作出 ?t 后的波形圖。 ② .波函數 ?????? ??????? ??2c o ?? xty?????? ?? 252c o ?? ty97 例 4： 如圖 ,是一平面簡諧波在 t=0秒時的波形圖，由圖中所給的數據求： （ 1）該波的周期；（ 2）傳播介質 O點處的振動方程；（ 3）該波的波動方程。 )32c o s ( ?? ?? ty解 ： ?? 32???o y3?其振動方程為： ]32)10(c o s [ ?? ??? xty波動方程： X=5(m)處，由旋轉矢量法可知， 2?? ?232)1050( ??? ????37?? ?即： 1）利用旋轉矢量法求出 O點的初位相為： o12)(cmysmu /10?5x (m) 98 o)(cmy) (m xsmu /10?125)3237c o s ( ?? ?? ty（ 2） O點的振動方程為： ]32)10(37c o s [ ?? ??? xty（ 3）波動方程： )(762 sT ??? ??例 5： 在 x=1m處有一波源發(fā)出平面簡諧波，波源的振動方程為： ， 波速為 U= m/s，求在 x1m區(qū)域的波動方程。 ))(33c o s ( mtAy?? ??解 ： ]3)3 1||(3c o s [ ?? ???? xtAy )33c o s [ ???? ???? xtA]343c o s [ ??? ??? xtA99 波的能量 100 一、波的動能、勢能和能量 介質的動能與勢能之和稱為波的能量 。 在波動過程中，振源的能量通過彈性介質傳播出去，介質中各質點在平衡位置附近振動，介質中各部分具有動能，同時介質因形變而具有勢能。 ?波動的過程實際是能量傳遞的過程。 以平面余弦彈性縱波（行波）通過一根細長的棒為例來討論有關波動的能量問題。 101 以固體棒中傳播的縱波為例分析波動能量的傳播 . x xO xdx O y yy d?? ? ? ? 22k d21d21d vv VmW ???)(s i nd21d 222k uxtVAW ?? ????質元的動能 )(s i n uv xtAty ??????? ??)(c o suxtAy ?? ?波函數 102 ? ? 2P d21d ykW ?llESF ???Eu ?)(s i n uxtAuxy ????? ??xSEkd?)(s i nd21 222 uxtVA ?? ???22 )dd(d21xyVu??? ? 22P )dd(d21d21d xyxESykW ?? x xO xdx O y yy d?llESF ??彈性 模量 彈性勢能 103 ① 任一時刻介質元的動能等于勢能，且相位相同，與振動系統(tǒng)的動能與勢能總有 π/2 相位差不同。 ② 振動系統(tǒng)的機械能守恒，而波動過程中，能量不守恒。波動過程中，沿波的傳播方向，介質元不斷地通過振動由后面的質元獲得能量，又不斷地把能量傳播給前面的質元，波是能量傳遞的一種形式。 ③ 在平衡位置時質元具有最大動能和勢能，在最大振幅處動能和勢能為零。在回到平衡位置時從相鄰質元吸收能量，離開時放出能量。 )(s i nd21dd 222pk uxtVAWW ??? ??? )(s i ndddd 222pk uxtVAWWW ???? ???表明： 質元的總能量隨時間作周期性變 化 ， 時而達到最大值 ， 時而為零 意味著： 在由波傳播的細棒中有能量在傳播 104 x y u?O A B 也最小最小 xy??,v也最大最大 xy??,v分析 105 上下 抖動 振速 最小 振速 最大 形變最小 形變最大 時刻波形 未起振的體積元 106 1. 能量密度 ?? T twTw 0 d1單位體積介質內的能量 ),(])([s i nv 0222 txwuxtAdWw ????? ????能量密度在一個周期內的平均值。 21d)](2c o s1[211d)]([s i n1 2 ?? ?? ????? TttTtt tuxtTtuxtT ??2221 ?? A?二、 能量密度 ])([s i n)( 0222 ???? ????? uxtAdvWWW pk(該式與坐標無關，說明平面波在一個周期內介質傳遞的能量是一樣的，介質中無能量積累。） 107 取其時間平均值，便有平均能流 u?u△ t ttSwuP??? w u S?uSwtPTP T ?? ? 0 d1能流密度 垂直通過截面單位面積上的平均能流。 uAuwSPI 2221dd ?????? 在單位時間內垂直通過某一截面的能量為通過該面的能流 J?u? S 三、 能流和能流密度 波強 波的功率 s 108 例 證明球面波的振幅與離開其波源的距離成反比，并求球面簡諧波的波函數 . 證 介質無吸收，通過兩個球面的平均能流相等 . 1s2s1r2r1221rrAA ?)(c o s00 urtr rAy ?? ?2211 uSuS ?? ?2222221221 π421π421 ruAruA ???? ?即 式中 為離開波源的距離 ， 為 處的振幅 . r 0rr ?0A109 四 .波的吸收 波在媒質中傳播時，媒質總要吸收一部分能量。吸收的能量轉換為媒質的內能和熱。因此，波的振幅要減小、波的強度將減弱，這種現象稱之為吸收。 五 .波的散射 如果介質中存在許多懸浮粒子，當波動傳到這些粒子后，這些粒子將成為新的波源向四周發(fā)射次級波，這一現象叫做波的散射。 110 波的疊加和干涉 111 一、 惠更斯原理 一、惠更斯原理 O S1 S2 u?t u?t S1 S2 在均勻的自由空間 波傳播時，任一波陣面上的每一點都可以看作發(fā)射子波的點波源，以后任意時刻，這些子波的包跡就是該時刻的波陣面。 ——波沿直線傳播 112 二 . 波的衍射 波傳播過程中 ， 遇到障礙物時 ,能繞過障 礙物的邊緣而傳播的現象 . ? 不足 : (1) 不能說明子波為何不能倒退 . (2)不能正確說明某些波動現象 (如干涉等 ) 113 波的衍射現象 可用惠更斯原理解釋 。 衍射現象是否明顯 與波長 、 障礙物的 相對大小有關 。 S1 114 一、波的疊加原理 （頻率、波長、振幅、傳播方向）不變，互不干擾。好象在各自傳播過程中沒有遇到其它波一樣。 ，介質任一點的振動為各列波單獨存在時在該點所引起的振動位移的矢量和。 ——波的獨立性原理。 —波的疊加原理。 ?當波的振幅 、 強度過大時 ， 媒質形變與彈力 的關系不再呈線性 ， 疊加原理也就不再成立了 。 115 疊加原理的重要性在于可以將任一復雜的波分解為簡諧波的組合。能分辨不同的聲音正是這個原因； 波的疊加原理并不是普遍成立的，有些是不遵守疊加原理的。 如果描述某種運動的微分方程是線性微分方程，這個運動就遵從疊加原理，如果不是線性微分方程，它就不遵從疊加原理。 22222 1tyuxy???? ?1y若 、 分別是它的解，則 也是它的解 , 即上述波動方程遵從疊加原理。 )( 21 yy ?2y波動方程： 它是各種平面波所必須滿足的線性偏微分方程。 116 二、波的干涉 頻率相同、振動方向相同、有恒定位相差 的兩列波（或多列波）相遇時， 在介質中某些位置的點振幅始終最大，另一些位置振幅始終最小，而其它位置，振動的強弱介乎二者之間，保持不變。稱這種穩(wěn)定的疊加圖樣為干涉現象。 ； ； 。 滿足相干條件的波源稱為相干波源。 117 、減弱條件 設有兩個頻率相同的波源 和 ， 1S 2S其振動表達式為： )co s ( 11010 ?? ?? tAy)co s ( 22020 ?? ?? tAy1r 2rP1S 2S兩列波傳播到 P 點引起的振動分別為： )2c o s ( 1111 rtAy ???? ???)2c o s ( 2222 rtAy ???? ???在 P 點的振動為同方向同頻率振動的合成。 A A2是 S S2在 P點引起的振動的振幅。 118 下面討論干涉現象中的強度分布 在 P 點的合成振動為： )c o s (21 ?? ???? tAyyy 由于波的強度正比于振幅的平方，所以合振動的強度為： ????? c o s2 2121 IIIII)(2)( 1212 rr ????? ???????對空間不同的位置，都有恒定的 ，因而合強度 在空間形成穩(wěn)定的分布，即有 干涉現象 。 1r?2r?1S2Sp????? c o s2 212221 AAAAA119 21m a x AAAA ???2121m a x 2 IIIIII ????)(2)( 1212 rr ????? ????? ,c o s2 212221 ????? AAAAA1c os ?? ?當 時， 干涉相長 1c os ??? ?當 時， 干涉相消 || 21m i n AAAA ???2121m i n 2 IIIIII ????, . . . )3,2,1,0(,2 ???? kk ??即 )3,2,1,0(,)12( ?????? kk ??即 120 當兩相干波源為同相波源時，有： )(2)( 1212 rr ??????????此時相干條件寫為： 21 ?? ?,...3,2,1,0,21 ????? kkrr ??,...3,2,1,0,2)12(21 ?????? kkrr ??干涉相長 干涉相消 稱 為波程差 ? 初位相相同的兩個相干波源，在兩列波疊加的區(qū)域內，當波程差為零或波長的整數倍時，合振動的振幅最大，干涉相長；當波程差為半波長的奇數倍時合振幅最小，干涉相消。 干涉加強減弱條件： ????k2??)12( ?? k加強 減弱 121 例：兩相干波源 A、 B 位置如圖所示，頻率 ? =100Hz，波速 u =10 m/s， ?A??B=?，求： P 點振動情況。 解： ??u? ?10010?5m1A ?r22B 2022 ??rA BPm205m1 Br? ? ??????? 2022 ????????ABAB rr?2 0 1??P點干涉減弱。 122 例 2： 兩相干波源分別在 PQ 兩點處，初相相同，它們相距 3? / 2，由 P、 Q 發(fā)出頻率為 ? ，波長為 ?的兩列相干波， R 為 PQ 連線上的一點。 求：① 自 P、 Q 發(fā)出的兩列波 在 R 處的相位差。 ② 兩波源在 R 處干涉時的合振幅。 2/3?P Q R解： )(221 rr ??? ????232 ??? ?? ?3??? 為 ? 的奇數倍， || 21 AA ?合振幅最小， 123 四、駐波 有兩列相干波，它們不僅頻率相同、位相差恒定、振動方向相同，而且振幅也相等。當它們在同一直線上沿相反方向傳播時，在它們迭加的區(qū)域內就會形成一種特殊的波。這種波稱為駐波。 當一列波遇到障礙時產生的反射波與入射波疊加可產生駐波。 駐波的特點：媒質中各質點都作穩(wěn)定的振動。波形并沒有傳播。 124 設有兩列相干波，分別沿 X軸 正、負方向傳播，選初相位 均為零的表達式為： )2c o s (1 xtAy ??? ??)2c o s (2 xtAy ???