【正文】 方程 ??Px ??????? ??????? ??52c o ?? ty? ? ?????? ???2552c o ?? t④ . a、 b 振動(dòng)方向，作出 ?t 后的波形圖。 ② .波函數(shù) ?????? ??????? ??2c o ?? xty?????? ?? 252c o ?? ty97 例 4： 如圖 ,是一平面簡諧波在 t=0秒時(shí)的波形圖，由圖中所給的數(shù)據(jù)求： （ 1）該波的周期；（ 2）傳播介質(zhì) O點(diǎn)處的振動(dòng)方程；（ 3）該波的波動(dòng)方程。 )32c o s ( ?? ?? ty解 ： ?? 32???o y3?其振動(dòng)方程為： ]32)10(c o s [ ?? ??? xty波動(dòng)方程： X=5(m)處，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知， 2?? ?232)1050( ??? ????37?? ?即： 1）利用旋轉(zhuǎn)矢量法求出 O點(diǎn)的初位相為： o12)(cmysmu /10?5x (m) 98 o)(cmy) (m xsmu /10?125)3237c o s ( ?? ?? ty（ 2） O點(diǎn)的振動(dòng)方程為： ]32)10(37c o s [ ?? ??? xty（ 3）波動(dòng)方程： )(762 sT ??? ??例 5： 在 x=1m處有一波源發(fā)出平面簡諧波，波源的振動(dòng)方程為： ， 波速為 U= m/s，求在 x1m區(qū)域的波動(dòng)方程。 ))(33c o s ( mtAy?? ??解 ： ]3)3 1||(3c o s [ ?? ???? xtAy )33c o s [ ???? ???? xtA]343c o s [ ??? ??? xtA99 波的能量 100 一、波的動(dòng)能、勢能和能量 介質(zhì)的動(dòng)能與勢能之和稱為波的能量 。 在波動(dòng)過程中，振源的能量通過彈性介質(zhì)傳播出去，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近振動(dòng)，介質(zhì)中各部分具有動(dòng)能，同時(shí)介質(zhì)因形變而具有勢能。 ?波動(dòng)的過程實(shí)際是能量傳遞的過程。 以平面余弦彈性縱波（行波）通過一根細(xì)長的棒為例來討論有關(guān)波動(dòng)的能量問題。 101 以固體棒中傳播的縱波為例分析波動(dòng)能量的傳播 . x xO xdx O y yy d?? ? ? ? 22k d21d21d vv VmW ???)(s i nd21d 222k uxtVAW ?? ????質(zhì)元的動(dòng)能 )(s i n uv xtAty ??????? ??)(c o suxtAy ?? ?波函數(shù) 102 ? ? 2P d21d ykW ?llESF ???Eu ?)(s i n uxtAuxy ????? ??xSEkd?)(s i nd21 222 uxtVA ?? ???22 )dd(d21xyVu??? ? 22P )dd(d21d21d xyxESykW ?? x xO xdx O y yy d?llESF ??彈性 模量 彈性勢能 103 ① 任一時(shí)刻介質(zhì)元的動(dòng)能等于勢能，且相位相同，與振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能與勢能總有 π/2 相位差不同。 ② 振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，而波動(dòng)過程中，能量不守恒。波動(dòng)過程中，沿波的傳播方向，介質(zhì)元不斷地通過振動(dòng)由后面的質(zhì)元獲得能量，又不斷地把能量傳播給前面的質(zhì)元，波是能量傳遞的一種形式。 ③ 在平衡位置時(shí)質(zhì)元具有最大動(dòng)能和勢能，在最大振幅處動(dòng)能和勢能為零。在回到平衡位置時(shí)從相鄰質(zhì)元吸收能量，離開時(shí)放出能量。 )(s i nd21dd 222pk uxtVAWW ??? ??? )(s i ndddd 222pk uxtVAWWW ???? ???表明： 質(zhì)元的總能量隨時(shí)間作周期性變 化 ， 時(shí)而達(dá)到最大值 ， 時(shí)而為零 意味著： 在由波傳播的細(xì)棒中有能量在傳播 104 x y u?O A B 也最小最小 xy??,v也最大最大 xy??,v分析 105 上下 抖動(dòng) 振速 最小 振速 最大 形變最小 形變最大 時(shí)刻波形 未起振的體積元 106 1. 能量密度 ?? T twTw 0 d1單位體積介質(zhì)內(nèi)的能量 ),(])([s i nv 0222 txwuxtAdWw ????? ????能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。 21d)](2c o s1[211d)]([s i n1 2 ?? ?? ????? TttTtt tuxtTtuxtT ??2221 ?? A?二、 能量密度 ])([s i n)( 0222 ???? ????? uxtAdvWWW pk(該式與坐標(biāo)無關(guān)，說明平面波在一個(gè)周期內(nèi)介質(zhì)傳遞的能量是一樣的，介質(zhì)中無能量積累。） 107 取其時(shí)間平均值，便有平均能流 u?u△ t ttSwuP??? w u S?uSwtPTP T ?? ? 0 d1能流密度 垂直通過截面單位面積上的平均能流。 uAuwSPI 2221dd ?????? 在單位時(shí)間內(nèi)垂直通過某一截面的能量為通過該面的能流 J?u? S 三、 能流和能流密度 波強(qiáng) 波的功率 s 108 例 證明球面波的振幅與離開其波源的距離成反比，并求球面簡諧波的波函數(shù) . 證 介質(zhì)無吸收，通過兩個(gè)球面的平均能流相等 . 1s2s1r2r1221rrAA ?)(c o s00 urtr rAy ?? ?2211 uSuS ?? ?2222221221 π421π421 ruAruA ???? ?即 式中 為離開波源的距離 ， 為 處的振幅 . r 0rr ?0A109 四 .波的吸收 波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，媒質(zhì)總要吸收一部分能量。吸收的能量轉(zhuǎn)換為媒質(zhì)的內(nèi)能和熱。因此，波的振幅要減小、波的強(qiáng)度將減弱，這種現(xiàn)象稱之為吸收。 五 .波的散射 如果介質(zhì)中存在許多懸浮粒子，當(dāng)波動(dòng)傳到這些粒子后，這些粒子將成為新的波源向四周發(fā)射次級(jí)波，這一現(xiàn)象叫做波的散射。 110 波的疊加和干涉 111 一、 惠更斯原理 一、惠更斯原理 O S1 S2 u?t u?t S1 S2 在均勻的自由空間 波傳播時(shí)，任一波陣面上的每一點(diǎn)都可以看作發(fā)射子波的點(diǎn)波源，以后任意時(shí)刻，這些子波的包跡就是該時(shí)刻的波陣面。 ——波沿直線傳播 112 二 . 波的衍射 波傳播過程中 ， 遇到障礙物時(shí) ,能繞過障 礙物的邊緣而傳播的現(xiàn)象 . ? 不足 : (1) 不能說明子波為何不能倒退 . (2)不能正確說明某些波動(dòng)現(xiàn)象 (如干涉等 ) 113 波的衍射現(xiàn)象 可用惠更斯原理解釋 。 衍射現(xiàn)象是否明顯 與波長 、 障礙物的 相對(duì)大小有關(guān) 。 S1 114 一、波的疊加原理 （頻率、波長、振幅、傳播方向）不變，互不干擾。好象在各自傳播過程中沒有遇到其它波一樣。 ，介質(zhì)任一點(diǎn)的振動(dòng)為各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的振動(dòng)位移的矢量和。 ——波的獨(dú)立性原理。 —波的疊加原理。 ?當(dāng)波的振幅 、 強(qiáng)度過大時(shí) ， 媒質(zhì)形變與彈力 的關(guān)系不再呈線性 ， 疊加原理也就不再成立了 。 115 疊加原理的重要性在于可以將任一復(fù)雜的波分解為簡諧波的組合。能分辨不同的聲音正是這個(gè)原因； 波的疊加原理并不是普遍成立的，有些是不遵守疊加原理的。 如果描述某種運(yùn)動(dòng)的微分方程是線性微分方程，這個(gè)運(yùn)動(dòng)就遵從疊加原理，如果不是線性微分方程，它就不遵從疊加原理。 22222 1tyuxy???? ?1y若 、 分別是它的解，則 也是它的解 , 即上述波動(dòng)方程遵從疊加原理。 )( 21 yy ?2y波動(dòng)方程： 它是各種平面波所必須滿足的線性偏微分方程。 116 二、波的干涉 頻率相同、振動(dòng)方向相同、有恒定位相差 的兩列波（或多列波）相遇時(shí)， 在介質(zhì)中某些位置的點(diǎn)振幅始終最大，另一些位置振幅始終最小，而其它位置，振動(dòng)的強(qiáng)弱介乎二者之間，保持不變。稱這種穩(wěn)定的疊加圖樣為干涉現(xiàn)象。 ； ； 。 滿足相干條件的波源稱為相干波源。 117 、減弱條件 設(shè)有兩個(gè)頻率相同的波源 和 ， 1S 2S其振動(dòng)表達(dá)式為： )co s ( 11010 ?? ?? tAy)co s ( 22020 ?? ?? tAy1r 2rP1S 2S兩列波傳播到 P 點(diǎn)引起的振動(dòng)分別為： )2c o s ( 1111 rtAy ???? ???)2c o s ( 2222 rtAy ???? ???在 P 點(diǎn)的振動(dòng)為同方向同頻率振動(dòng)的合成。 A A2是 S S2在 P點(diǎn)引起的振動(dòng)的振幅。 118 下面討論干涉現(xiàn)象中的強(qiáng)度分布 在 P 點(diǎn)的合成振動(dòng)為： )c o s (21 ?? ???? tAyyy 由于波的強(qiáng)度正比于振幅的平方，所以合振動(dòng)的強(qiáng)度為： ????? c o s2 2121 IIIII)(2)( 1212 rr ????? ???????對(duì)空間不同的位置，都有恒定的 ，因而合強(qiáng)度 在空間形成穩(wěn)定的分布，即有 干涉現(xiàn)象 。 1r?2r?1S2Sp????? c o s2 212221 AAAAA119 21m a x AAAA ???2121m a x 2 IIIIII ????)(2)( 1212 rr ????? ????? ,c o s2 212221 ????? AAAAA1c os ?? ?當(dāng) 時(shí)， 干涉相長 1c os ??? ?當(dāng) 時(shí)， 干涉相消 || 21m i n AAAA ???2121m i n 2 IIIIII ????, . . . )3,2,1,0(,2 ???? kk ??即 )3,2,1,0(,)12( ?????? kk ??即 120 當(dāng)兩相干波源為同相波源時(shí)，有： )(2)( 1212 rr ??????????此時(shí)相干條件寫為： 21 ?? ?,...3,2,1,0,21 ????? kkrr ??,...3,2,1,0,2)12(21 ?????? kkrr ??干涉相長 干涉相消 稱 為波程差 ? 初位相相同的兩個(gè)相干波源，在兩列波疊加的區(qū)域內(nèi)，當(dāng)波程差為零或波長的整數(shù)倍時(shí)，合振動(dòng)的振幅最大，干涉相長；當(dāng)波程差為半波長的奇數(shù)倍時(shí)合振幅最小，干涉相消。 干涉加強(qiáng)減弱條件： ????k2??)12( ?? k加強(qiáng) 減弱 121 例：兩相干波源 A、 B 位置如圖所示，頻率 ? =100Hz，波速 u =10 m/s， ?A??B=?，求： P 點(diǎn)振動(dòng)情況。 解： ??u? ?10010?5m1A ?r22B 2022 ??rA BPm205m1 Br? ? ??????? 2022 ????????ABAB rr?2 0 1??P點(diǎn)干涉減弱。 122 例 2： 兩相干波源分別在 PQ 兩點(diǎn)處，初相相同，它們相距 3? / 2，由 P、 Q 發(fā)出頻率為 ? ，波長為 ?的兩列相干波， R 為 PQ 連線上的一點(diǎn)。 求：① 自 P、 Q 發(fā)出的兩列波 在 R 處的相位差。 ② 兩波源在 R 處干涉時(shí)的合振幅。 2/3?P Q R解： )(221 rr ??? ????232 ??? ?? ?3??? 為 ? 的奇數(shù)倍， || 21 AA ?合振幅最小， 123 四、駐波 有兩列相干波，它們不僅頻率相同、位相差恒定、振動(dòng)方向相同，而且振幅也相等。當(dāng)它們?cè)谕恢本€上沿相反方向傳播時(shí)，在它們迭加的區(qū)域內(nèi)就會(huì)形成一種特殊的波。這種波稱為駐波。 當(dāng)一列波遇到障礙時(shí)產(chǎn)生的反射波與入射波疊加可產(chǎn)生駐波。 駐波的特點(diǎn)：媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作穩(wěn)定的振動(dòng)。波形并沒有傳播。 124 設(shè)有兩列相干波，分別沿 X軸 正、負(fù)方向傳播，選初相位 均為零的表達(dá)式為： )2c o s (1 xtAy ??? ??)2c o s (2 xtAy ???