【正文】 111kFkFkF Fkkk ?????? ??211121111kkk???21 kkk ??? 1k x2km21 xxx ??221121 xkxkFFkxF ?????27 四、簡諧振動的能量 以水平的彈簧振子為例 ? 簡諧振動的勢能： )(s i n21 0022 ?? ?? tkA? 簡諧振動的動能： ),c os ()( ?? ?? tAtx mk /??xo A221 mvEk ?2)]si n ([21 ??? ??? tAm)(si n21 222 ??? ?? tmA221 kxEp ? )(c o s21 22 ?? ?? tkAo tkE pEEk 最大時， Ep最小， Ek 、 Ep交替變化。 28 )](c o s)([ s i n21 222 ???? ???? ttkApk EEE ??? 簡諧振動的總能量 ： 彈性力是保守力總機(jī)械能守恒，即總能量不隨時間變化。 221 kA?o tkE pE E?諧振能量與振幅的平方成正比。 動能的時間平均值 : ? ?? Tk dttkATE 0 22 )(s i n211 ??241 kA?勢能的時間平均值 : ? ?? TP dttkATE 0 22 )(c o s211 ??241 kA?彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且等于總機(jī)械能的一半。 結(jié)論 ： 29 （ 1） 振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機(jī)械能保持不變。 （ 2） 動能和勢能的變化頻率是彈簧振子振動頻率的兩倍。 （ 3）頻率一定時，諧振動的總能量與振幅的平方 成正比。（適合于任何諧振系統(tǒng)） 結(jié)論 ： 30 31 例 .有一水平彈簧振子， k=24N/m，重物的質(zhì)量 m=6kg，靜止在平衡位置上，設(shè)以一水平恒力 F=10N作用于物體（不計摩擦），使之從平衡位置向左運(yùn)動了 ，此時撤去力 F，當(dāng)重物運(yùn)動到左方最遠(yuǎn)位置時開始計時，求運(yùn)動方程。 解： 22 kAJFSE ???? )( mA ??)/(2 sr admk ???依題意，有： 0, 00 ??? vAxxo彈Fx?? ??))(2c os ( SItx ????選取坐標(biāo)如圖， 設(shè)運(yùn)動方程為： ))(c os ( SItAx ?? ??32 例題 一質(zhì)點(diǎn)沿 x軸作簡諧振動，振幅為 12cm，周期為 2s。當(dāng) t=0時 , 位移為 6cm，且向 x軸正方向運(yùn)動。求振動方程。 t=，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度。 3如果在某時刻質(zhì)點(diǎn)位于 x=6cm，且向 x軸負(fù)方向運(yùn)動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。 解： 設(shè)簡諧振動表達(dá)式為 已知 ： A=12cm , T=2s ， x= A cos (?t+? ) )s/r a d(2 ??? ??Tx= cos (?t + ? ) 初始條件： t = 0 時， x0 = , u0 0 33 = cos ? 3c o s21 ??? ????0s in0 ??? ?? Au 0s in ?? ?3?? ??振動方程： )3c o s ( ?? ?? txx π/3 34 )m / s()3s i n (dd????????? tttttxu ???)m / s()3c o s (dd 22????????? tttttva ???)m(1 0 )3c o s (?????? txt35 設(shè)在某一時刻 t1， x = m )3(c o 1 ?? ??? t代入振動方程： 21)3(c o s1 ??? ?? t343231???? 或??ts1323 11???? tt ???y x 32?34?36 y x 32??23s611233 22???? tt???)s(65161112 ?????? ttt37 例題 . 兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn) 1在 x1=A/2 處， 且向左運(yùn)動時，另一個質(zhì)點(diǎn) 2在 x2= A/2 處，且向右運(yùn)動。求這兩個質(zhì)點(diǎn)的位相差。 )(c o s 11 ?? ?? tAx)(c o s2 1?? ?? tAA 31 ??? ???? t0)(s in 1 ?? ?? t0)(s i n 11 ???? ??? tAu31 ??? ??t解： A A o A/2 A/2 38 322 ??? ???? t)c o s (2 2?? ??? tAA0)(s i n 2 ＜?? ?? t0)(s i n 22 ???? ??? tAu322 ??? ???t)()( 21 ????? ????? tt )32(3?? ??? ??x 3??32?39 例題 質(zhì)量為 m的比重計，放在密度為 ?的液體中。已知比重計圓管的直徑為 d。試證明，比重計推動后，在豎直方向的振動為簡諧振動。并計算周期。 解： 取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn) 平衡時： 0?? Fmg浮力： VgF ??其中 V 為比重計的排水體積 0 mg F 40 222dd2 txmgxdVmg ????????????????? ??xmgdtx4dd 222 ????222dd2 txmxdgVgmg ????????? ???x 0 x mgd ???2? gmdT???? 42 ??41 例題 證明圖示系統(tǒng)的振動為簡諧振動。其頻率為 ? ?mkkkk212121???? x k1 k2 o x 證： 2211 xkxkf ???? 設(shè)物體位移 x，彈簧分別伸長 x1和 x2 21 xxx ??xkkkx2112 ??42 22ddtxmf ?22212122 ddtxmxkkkkxk ?????xkkkx2112 ?? x k1 k2 o x F mkkkk)( 2121???? ? 0dd212122??? xmkkkktx? ?mkkkk212121????43 221 kAEEEkp ???EAkkxEAx p41221212 22 ?????????? 時：當(dāng)例題 當(dāng)簡諧振動的位移為振幅的一半時，其動能和勢能各占總能量的多少？ 物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一半？ 解： EEEE pk43???44 220 212121 kAkx ??AAx 7 0 210 ????45 簡諧振動的合成 46 ?? =(? 2 t+? 2)(?1 t+? 1) ?相位差 對兩同頻率的諧振動 ?? =? 2? 1 初相差 ? 同相和反相 當(dāng) ?? = ?2k? , ( k =0,1,2,…), 兩振動步調(diào)相同 ,稱 同相 當(dāng) ?? = ?(2k+1)? , ( k =0,1,2,…), 兩振動步調(diào)相反 , 稱 反相 。 t x o A1 A1 A2 A2 x1 x2 T 同相 o x2 T x A1 A1 A2 A2 x1 t 反相 47 ? 超前和落后 若 ?? = ? 2? 10, 則 x2比 x1較早達(dá)到正最大 , 稱 x2比 x1超前 (或 x1比 x2落后 )。 領(lǐng)先、落后以 ? 的相位角來判斷 x2 T x o A1 A1 A2 A2 x1 t 48 ),c o s ( 111 ?? ?? tAx)c o s ( 222 ?? ?? tAx振動合成 21 xxx ??同方向同頻率簡諧振動的合成 在同一直線上同頻率的兩個簡諧振動分別為： ? 代數(shù)方法： tAA ??? c o s)c o sc o s( 2211 ??tAA ??? s i n)s i ns i n( 2211 ??令： ??? c o sc o sc o s 2211 AAA ????? s i ns i ns i n 2211 AAA ??)c o s ()c o s ( 2211 ???? ???? tAtA代入上式： 合振幅 49 )c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA22112211c o sc o ss i ns i n?????AAAAa r c t g???)c os ( ?? ??? tAxtAtA ???? s i ns i nc osc os ????)c os ( ?? ?? tAtAAx ??? c o s)c o sc o s( 2211 ?? 兩個同方向、同頻率的簡諧振動合成后仍然是一個簡諧振動，且頻率不變。 tAA ??? s i n)s i ns i n( 2211 ??由 得： ??? c o sc o sc o s 2211 AAA ????? s i ns i ns i n 2211 AAA ???50 xo2A1A1?2?A2A?)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA22112211c o sc o ss i ns i n?????AAAAa r c t g????利用旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動也可得到相同的結(jié)果。 取質(zhì)點(diǎn)振動的平衡位置 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，振動方向沿 OX軸。 從 O點(diǎn)作兩個長度分別為 AA2的矢量 ，它們在 t=0時與 X軸的夾角分別為 ? ?2。 21, AA??從圖中三角形的邊角關(guān)系，很容易得到： M 矢量 的合矢量 的端點(diǎn)在 X 軸上的投影 M的運(yùn)動也是簡諧振動，其頻率與原來兩個振動相同。 21, AA?? A?51 )c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA ???? k212 ????時 , ),2,1,0( ????k21 AA ??,21 AA ?合振動振幅最大。 若 12 AA ?討論： )c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA ???? ）（ 1212 ????? k時 , ),2,1,0( ????k|| 21 AA ?? 合振動振幅最小。 若 0?A2A?A?1A?2A?A? 1A?1A?2A? A?|||| 2121 AAAAA ???? ,21 AA ?52 例： 兩同方向、同頻率諧振動 ,3c o s41 tx ?)3/3c o s (22 ??? tx 求：合成諧振動方程。 解： 合成后 ?不變， )3c o s ( ??? tAx)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA)03/c o s(24224 22 ??????? ?72?22112211c o sc o ssi nsi n?????AAAAtg???3/c o s20c o s43/si n20si n4211 ?????53??? ?合振動方程： ) o s (72 ?? tx53 二 *同方向不同頻率簡諧振動的合成 )c o s ()( 22 ?? ?? tAtx )c o s ()( 11 ?? ?? tAtx利用三角函數(shù)關(guān)系式： 2c o s2c o s2c o sc o s?????? ?????)c o s ()c o s ()( 21 ???? ???? tAtAtx合成振動表達(dá)式 ： 為了簡單起見，討論兩個振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同頻率振動的合成。其振動表達(dá)式分別為： ]2 )(c o s [2 )(c o s2 1212 ????? ????? ttA54 )c o s ()