【正文】 1 機(jī)械振動(dòng) 高有輝 2 本章導(dǎo)讀 [ 基本要求 ] 一、掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征和規(guī)律。 二、理解描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量 —— 振幅、周期、頻率（角頻率）、相位及初相的物理意義，掌握確定這些特征量 的方法，從而能熟練地寫(xiě)出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式。 3 三、理解簡(jiǎn)諧振動(dòng)與旋轉(zhuǎn)矢量的關(guān)系，會(huì)用旋轉(zhuǎn) 矢量方法和振動(dòng)圖線的討論來(lái)解決簡(jiǎn)諧振動(dòng) 的有關(guān)問(wèn)題。 四、掌握同方向、同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的 方法和結(jié)論；了解“拍”現(xiàn)象和李薩如圖形產(chǎn) 生的條件及簡(jiǎn)單應(yīng)用。 五、了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振產(chǎn)生的條件、 主要特征及實(shí)際應(yīng)用。 4 [ 基本內(nèi)容 ] 一、 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述 二、 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征 [ 重點(diǎn) ] 振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ) * 掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征和規(guī)律 * 根據(jù)振子運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)規(guī)律寫(xiě)簡(jiǎn)諧振動(dòng) 的表達(dá)式 * 會(huì)用旋轉(zhuǎn)矢量方法和振動(dòng)圖線的討論來(lái)解 覺(jué)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的有關(guān)問(wèn)題。 * 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 5 振動(dòng)是一種普遍存在的運(yùn)動(dòng)形式： （彈簧振子、單擺等） 、電壓的周期性變化 機(jī)械振動(dòng)： 物體在一定位置附近作來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng) 可以證明任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以認(rèn)為是由若干個(gè)簡(jiǎn)單而又基本振動(dòng)的合成。這種簡(jiǎn)單而又基本的振動(dòng)形式稱(chēng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 第七章 機(jī)械振動(dòng) 6 xo彈Fx一、簡(jiǎn)諧振動(dòng) ?? 以彈簧振子為例 將物體視為質(zhì)點(diǎn)，建立坐標(biāo)系， o點(diǎn)選在彈簧平衡位置處。水平向右為 x軸 正方向 。 物體受到的合外力： xF k??彈加速度為： 22dtxda ? xmk??mF彈?即： 022?? xmkdtxd表達(dá)了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征。 令 mk?2? 0222?? xdt xd ?有： 表達(dá)了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。 凡是物理量滿足上式的振動(dòng)系統(tǒng)，統(tǒng)稱(chēng)為 線性諧振子 。 7 xo彈Fx )c o s ( ?? ?? tAxA、 ?為待定系數(shù)。 解微分方程 0222?? xdt xd ?得： mk?? 稱(chēng)為圓頻率，只與彈簧振子性質(zhì)有關(guān)。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程 定義： 凡是決定其位置的坐標(biāo)按余弦或正弦函數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化的振動(dòng)都是 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 。 。 。 線性振子系統(tǒng)中物體離開(kāi)平衡位置的位移是時(shí)間的余弦函數(shù)。 條件： 8 例 .證明豎直懸掛彈簧的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng)。 x0x xo證明： 平衡位置彈簧伸長(zhǎng) x0 0kxmg ?在任意位置 x 處 ，合力為： )( 0 xxkmgF ??? kx??物體仍受回復(fù)力作用，作諧振動(dòng)。 （或合外力矩）與物體離開(kāi)平衡位置的位移（或角位移）是否成 F=kx的形式。 ： 0222?? xdt xd ?： )c o s ( ?? ?? tAx9 質(zhì)量集中于小球上，不計(jì)懸線質(zhì)量。 取逆時(shí)針為 ? 張角正向，以懸點(diǎn)為軸，只有重力產(chǎn)生力矩。 ? lgmT?s i nmg lM ??― – ‖表示力矩與 ? 張角方向相反。 單擺 ?IM ?22dtdI ?? ?? s i n22m g ldtdI ??當(dāng) ?? 5? 時(shí) ?? ?si n022?? ??Im g ldtd有： 即： 10 2mlI ??022?? ??Im g ldtd022??? ??lgdtd令 lg?2?0222?? ???dtd 諧振動(dòng)微分方程 ??2?T周期 gl?2?T1??頻率 lg?21?與質(zhì)量無(wú)關(guān)。 lg??圓頻率 ? lgmT在角位移很小的時(shí)候，單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 結(jié)論 11 質(zhì)量為 m的任意物體，繞 o點(diǎn)作小角度擺動(dòng)。質(zhì)心c到軸的距離為 lc。 ocl c?gm重力矩 ?s i ncm glM ???IM ?22dtdI ???? s i n22cm g ldtdI ??― – ‖表示力矩與 ? 張角方向相反。 *復(fù)擺 當(dāng) ?? 5? 時(shí) ?? ?si n022?? ??Im g ldtd c有： 12 令 Im g l c?2?0222?? ???dtd 諧振動(dòng)微分方程 022?? ??Im g ldtd cImgl c??圓頻率 ??2?Tcm g lI?2?T1??頻率 Im gl c?21?周期 13 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度、加速度 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移： )c o s ( ?? ?? tAx簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度： 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度： dtdxv ?)s i n ( ??? ??? tAdtdva ?)c o s (2 ??? ??? tAx a????2 ??3??4o,x av,tA??A2?v振動(dòng)曲線 14 二、 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程： )c o s ( ?? ?? tAxA振幅 — 物體 離開(kāi)平衡位置的最大距離。 ? 初位相 ?(t)=?t+?位相 ?角頻率 —由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。 x位移 — 振動(dòng)物體 離開(kāi)平衡位置的位移。 —t=0時(shí)物體的位相， —物體在任一時(shí)刻的位相。 初位相確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 它確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 lg??單擺： mk??彈簧振子： 15 3. 頻率的單位是赫茲（ Hz），圓頻率的單位是弧度 /秒（ rad/s），周期的單位是秒（ s） 2. 一個(gè)系統(tǒng)自由振動(dòng)的周期和頻率完全由這個(gè)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，該頻率稱(chēng)為固有頻率。 、頻率和圓頻率三者的關(guān)系： 說(shuō)明： ???21 ??T 初始條件： 0?t00 , vvxx ??)c o s ( ?? ?? tAx 由 )si n ( ??? ??? tAvT周期 —物體完成一次全振動(dòng)所用的時(shí)間。 頻率 ? — 單位時(shí)間內(nèi)物體完成全振動(dòng)的次數(shù)。 )c o s ( ?? ?? tAx16 2020 ?????????vxA② /① 有： AxAvtg//00 ?? ??00xv????c o s0 Ax ??? s i n0 Av ??0?t 時(shí) ① ② ① 2+(② /?)2， 22020 )/( Avx ?? ? ?在 0—2?之間有兩個(gè)解，但只有一個(gè)解符合要求，為此要根據(jù)已知的 x0、 v0的正負(fù)來(lái)判斷和取舍。 )c o s ( ?? ?? tAx)si n ( ??? ??? tAv17 研究端點(diǎn) M 在 x 軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) ， xo xy??? ?tM? t=0,矢量與坐標(biāo)軸的夾角等于初相 ? P三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法 ?Av1. M 點(diǎn)在 x 軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) )c o s ( ?? ?? tAx 為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 2. M 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度 )si n ( ??? ??? tAv在 x軸上投影速度 ?Av ?矢量 以角速度 ? 逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)， A? 在平面上作一坐標(biāo)軸 OX，由原點(diǎn) O作一長(zhǎng)度等于振幅的矢量 。 A?A?18 3. M 點(diǎn)的加速度 2?Aa ?xo xy0MM??? ?tA?Pa在 x軸上投影加速度 )c o s (2 ??? ??? tAaM點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在 x軸投影，為諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。 M點(diǎn)速度在 x軸投影，為諧振動(dòng)的速度。 M點(diǎn)加速度在 x軸投影，為諧振動(dòng)的加速度。 結(jié)論： 2A利用旋轉(zhuǎn)矢量法還可以很容易確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初位相。 這種以一個(gè)勻速旋轉(zhuǎn)的矢量 ，在 ox軸上的投影來(lái)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方法，稱(chēng)為 旋轉(zhuǎn)矢量法 。 A?19 o xyA??0?x0?v0?x0?x0?x0?v0?v0?a0?a0?a0?a0?v旋轉(zhuǎn)矢量法確定初位相。 Ⅰ Ⅲ Ⅳ Ⅱ 0,0 ?? vx0,0 ?? vx0,0 ?? vx0,0 ?? vx?在第 Ⅰ 象限 ?在第 Ⅳ 象限 ?在第 Ⅱ 象限 ?在第 Ⅲ 象限 o xyA??0?t2/0 Ax ?00 ?v 3?? ?3??? AxAvtg//00 ?? ??00xv????c o s0 Ax ??? s i n0 Av ??20 幾種特特殊位置初位相。 o xyA?0?t 0?? 0??Ax ?0 00 ?vo xyA?00 ?x00 ?v2???2?? ?o xyA??? ????o xyA?Ax ??000 ?v00 ?x00 ?v 2/3?? ?23?? ?21 在簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程 x=Acos(?t+?)中， (?t+?)叫做振子在 t時(shí)刻的位相。在旋轉(zhuǎn)矢量中，它還有一個(gè)直觀的意義： 在 t時(shí)刻振幅矢量和 x軸的夾角 。 對(duì)一個(gè)確定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)來(lái)說(shuō)，一定的位相就對(duì)應(yīng)于振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)一定時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即一定時(shí)刻的位置和速度。 在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，常用位相來(lái)表示質(zhì)點(diǎn)的某一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 如： 當(dāng)用余弦函數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)， ?t+?=0即位相為零的狀態(tài)表示質(zhì)點(diǎn)在正位移最大處而速度為零，?t+?=?表示質(zhì)點(diǎn)在負(fù)位移最大處而速度為零。 22 A 諧振動(dòng) 旋轉(zhuǎn)矢量 ? ?t+? ? T 振幅 初相 位相 圓頻率 諧振動(dòng)周期 半徑 初始角坐標(biāo) 角坐標(biāo) 角速度 園周運(yùn)動(dòng)周期 物理模型與數(shù)學(xué)模型比較： 23 例 .一質(zhì)點(diǎn)沿 x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅 A=，周期 T=2s，當(dāng) t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移 x0=，此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向 x軸正向運(yùn)動(dòng)。求（ 1）此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式；（ 2）從初始時(shí)刻開(kāi)始第一次通過(guò)平衡位置的時(shí)刻。 解： )( mA ? ),/(2 sr a dT ??? ??3?? ??)c os ( ?? ?? tAx取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)， o xyA??3?? ??由旋轉(zhuǎn)矢量法可得： ))(3c o s ( SItx ?? ???（ 2）由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)平衡位置時(shí)，振幅矢量轉(zhuǎn)過(guò)的角度為： 設(shè) 652???? ????)( st ??? ??24 例 .一質(zhì)點(diǎn)在 x軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過(guò) A點(diǎn)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（ t=0），經(jīng)過(guò) 2s后第一次經(jīng)過(guò) B點(diǎn)，再經(jīng)過(guò) 2s后第二次經(jīng)過(guò) B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在 A、 B兩點(diǎn)具有相同的速率，且 AB=10cm。求 （ 1）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程； (2)質(zhì)點(diǎn)在 A點(diǎn)處的速率。 解： （ 1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖和 vA=vB可知， 由此兩式解得： 1??tg,42 sT ? ),(8 sT ??42 ??? ??T0?t ?c Ax ???2?t )2c os ( ?? ???? Ax ?s inA??),( mA ?因?yàn)?A點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)速度大于零， 43?? ??振動(dòng)方程： ))(434c o s ( mtx ?? ??A??st 2?st 4?0?to xAB25 A點(diǎn)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)， 4/)434c o s ( ??? ??? tv（ 2）質(zhì)點(diǎn)在 A點(diǎn)處的速率 （ t=0） )/( smv ???例 .一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為 T。求：當(dāng)它由平衡位置向 x軸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時(shí)間。 解： 由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知， 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向 x軸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為： o xyA??3?? ??3)3(0??? ?????所需的時(shí)間為： 622TTTt ??????????????26 彈簧的串并聯(lián) 1k x2k m,111 xkF ?? 222 xkF ??)( 21 xxkF ??? k為系統(tǒng)的勁度系數(shù)， 21 FFF ???????? ??2