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正文內(nèi)容

[理學(xué)]機(jī)械振動(dòng)和波-wenkub.com

2025-03-19 06:43 本頁(yè)面
   

【正文】 波形并沒(méi)有傳播。當(dāng)它們?cè)谕恢本€上沿相反方向傳播時(shí),在它們迭加的區(qū)域內(nèi)就會(huì)形成一種特殊的波。 122 例 2: 兩相干波源分別在 PQ 兩點(diǎn)處,初相相同,它們相距 3? / 2,由 P、 Q 發(fā)出頻率為 ? ,波長(zhǎng)為 ?的兩列相干波, R 為 PQ 連線上的一點(diǎn)。 118 下面討論干涉現(xiàn)象中的強(qiáng)度分布 在 P 點(diǎn)的合成振動(dòng)為: )c o s (21 ?? ???? tAyyy 由于波的強(qiáng)度正比于振幅的平方,所以合振動(dòng)的強(qiáng)度為: ????? c o s2 2121 IIIII)(2)( 1212 rr ????? ???????對(duì)空間不同的位置,都有恒定的 ,因而合強(qiáng)度 在空間形成穩(wěn)定的分布,即有 干涉現(xiàn)象 。 ; ; 。 22222 1tyuxy???? ?1y若 、 分別是它的解,則 也是它的解 , 即上述波動(dòng)方程遵從疊加原理。 ?當(dāng)波的振幅 、 強(qiáng)度過(guò)大時(shí) , 媒質(zhì)形變與彈力 的關(guān)系不再呈線性 , 疊加原理也就不再成立了 。好象在各自傳播過(guò)程中沒(méi)有遇到其它波一樣。 110 波的疊加和干涉 111 一、 惠更斯原理 一、惠更斯原理 O S1 S2 u?t u?t S1 S2 在均勻的自由空間 波傳播時(shí),任一波陣面上的每一點(diǎn)都可以看作發(fā)射子波的點(diǎn)波源,以后任意時(shí)刻,這些子波的包跡就是該時(shí)刻的波陣面。 uAuwSPI 2221dd ?????? 在單位時(shí)間內(nèi)垂直通過(guò)某一截面的能量為通過(guò)該面的能流 J?u? S 三、 能流和能流密度 波強(qiáng) 波的功率 s 108 例 證明球面波的振幅與離開(kāi)其波源的距離成反比,并求球面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) . 證 介質(zhì)無(wú)吸收,通過(guò)兩個(gè)球面的平均能流相等 . 1s2s1r2r1221rrAA ?)(c o s00 urtr rAy ?? ?2211 uSuS ?? ?2222221221 π421π421 ruAruA ???? ?即 式中 為離開(kāi)波源的距離 , 為 處的振幅 . r 0rr ?0A109 四 .波的吸收 波在媒質(zhì)中傳播時(shí),媒質(zhì)總要吸收一部分能量。在回到平衡位置時(shí)從相鄰質(zhì)元吸收能量,離開(kāi)時(shí)放出能量。 101 以固體棒中傳播的縱波為例分析波動(dòng)能量的傳播 . x xO xdx O y yy d?? ? ? ? 22k d21d21d vv VmW ???)(s i nd21d 222k uxtVAW ?? ????質(zhì)元的動(dòng)能 )(s i n uv xtAty ??????? ??)(c o suxtAy ?? ?波函數(shù) 102 ? ? 2P d21d ykW ?llESF ???Eu ?)(s i n uxtAuxy ????? ??xSEkd?)(s i nd21 222 uxtVA ?? ???22 )dd(d21xyVu??? ? 22P )dd(d21d21d xyxESykW ?? x xO xdx O y yy d?llESF ??彈性 模量 彈性勢(shì)能 103 ① 任一時(shí)刻介質(zhì)元的動(dòng)能等于勢(shì)能,且相位相同,與振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能總有 π/2 相位差不同。 ))(33c o s ( mtAy?? ??解 : ]3)3 1||(3c o s [ ?? ???? xtAy )33c o s [ ???? ???? xtA]343c o s [ ??? ??? xtA99 波的能量 100 一、波的動(dòng)能、勢(shì)能和能量 介質(zhì)的動(dòng)能與勢(shì)能之和稱(chēng)為波的能量 。 原點(diǎn)的位相 2/8 001 ??? ?? t? ? 2/200/58002 ??? ??? t?20?)2/800c o s (106 2 ?? ??? ? ty????????????? ??? ? 2/2005800c os106 2 ?? ty原點(diǎn) 5m處 95 例 3: 如圖所示,平面簡(jiǎn)諧波向右移動(dòng)速度 u = m/s, 求:① .原點(diǎn)處的振動(dòng)方程; ② .波函數(shù); ③ . P 點(diǎn)的振動(dòng)方程;④ . a、 b 兩點(diǎn)振動(dòng)方向。 如何寫(xiě)出平面 ( 一維 ) 簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) ? ? 還須知三個(gè)條件: ( 知 A, ?, ? ) ? (或 u) 92 例 1: 已知波函數(shù) m )20400c o s (102 3 xty ?? ??? ?求: A、 ?、 ?、 u。 ct ? (常數(shù))時(shí), )( xfy ? 為某一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移,波形的“拍照” 二、波函數(shù)的物理意義 88 波形曲線和振動(dòng)曲線有什么不同? 振動(dòng)曲線 y ? t , 質(zhì)元確定 波形曲線 y? x , 時(shí)刻確定 例如 y = ?c o s ( ? t – k x ) : (1). 固定 x ( 如 令 x = x0 ) 則波的表達(dá)式變?yōu)? y = A c o s( ?t ? kx0 ) (振動(dòng)方程 ) (2). 固定 t( 如 令 t = t0 ) 則波的表達(dá)式變?yōu)? y ??c o s ( ? t0?k x ) (波形方程 ) 縱波也能用波形曲線描述嗎? ??2?k89 x Yt t + ?t ?x tu??????uuTu?tT ???4. 如果 x 和 t 都變化 , 波函數(shù)表示波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移分布情況 任意一個(gè)振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過(guò)時(shí)間 t? 都向前傳過(guò)了 x?的距離,或者說(shuō)在 t? 時(shí)間內(nèi)整個(gè)波形沿傳播方向平移 一段距離 tu ??x?90 (即波速)與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度的區(qū)別 機(jī)械波的相速度由介質(zhì)本身的性質(zhì)決定,與波的頻率、振幅無(wú)關(guān);而質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度和振動(dòng)的頻率、振幅時(shí)間及所研究的質(zhì)點(diǎn)的位置均有關(guān)。 uxt ??P點(diǎn)的振動(dòng)比振源落后一段時(shí)間 ?t , 相位落后 , uxt ?? ?? 平面簡(jiǎn)諧波沿 x軸正向傳播,波速為 u。這種波在無(wú)吸收的均勻介質(zhì)中傳播時(shí)振幅保持恒定,不隨時(shí)間也不因距離波源的遠(yuǎn)近而改變。因此有一個(gè)頻率上限存在。 機(jī)械波的波速?zèng)Q定于介質(zhì)的慣性和彈性,因此,不同頻率的同一類(lèi)波在同一介質(zhì)中波速相同?;蛘駝?dòng)在一個(gè)周期中傳播的距離, ?? ?yo xu78 波速 u:波在介質(zhì)中的傳播速度。 所有復(fù)雜的波都可以看成是由不同頻率的簡(jiǎn)諧波的合成。 說(shuō)明: 在橫波中波形圖與實(shí)際的波形是相同的,但在縱波中,由于波形圖表示的是各質(zhì)點(diǎn)位移的分布情況,而區(qū)別于質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際位置分布。 ?波動(dòng)是描寫(xiě)一系列質(zhì)點(diǎn)作振動(dòng)。 2 .―上游 ” 的質(zhì)元依次帶動(dòng) “ 下游 ” 的質(zhì)元振動(dòng) , 某時(shí)刻質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚時(shí)刻于 “ 下游 ” 某處出現(xiàn) 。 任一波例如,水波、地表波,都能分解為橫波與縱波來(lái)進(jìn)行研究。 t = 0 根據(jù)介質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)方向與波的傳播方向間的關(guān)系,可以將機(jī)械波分為兩類(lèi): 橫波 和 縱波 。 t= T/2 波源處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)通過(guò)彈性介質(zhì)中的彈性力,將振動(dòng)傳播開(kāi)去,從而形成機(jī)械波。 (1) 機(jī)械波 (機(jī)械振動(dòng)的傳播 ) (2)電磁波 ( 交變電場(chǎng) 、 磁場(chǎng)的傳播 ) 前言 機(jī)械波是機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播。 66 [ 基本內(nèi)容 ] 一、 機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播 二、 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) 三、 波動(dòng)方程 四、波的能量 五、波的干涉 六、駐波 七、多普勒效應(yīng) 67 [ 重點(diǎn) ] * 機(jī)械波的產(chǎn)生條件及其傳播機(jī)制。 三、掌握建立平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)的方法,理解 波函數(shù)的物理意義。但如果分振動(dòng)的頻率成整數(shù)比,則合振動(dòng)的軌跡為穩(wěn)定的曲線,曲線的花樣和分振動(dòng)的頻率比、初位相有關(guān),得出的圖形叫利薩如圖。 若 ,即 x方向的振動(dòng)比 y方向的振動(dòng)超前 ,即: 如某一瞬間, ,則: x=0, y=A2。合振動(dòng)任意一點(diǎn)的位移 r 為: 上式表明合振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng),與分振動(dòng)頻率相同,但振幅為 。 即拍頻為: )2c o s (12 t?? ?由于余弦函數(shù)絕對(duì)值的周期為 ?。 隨 t變化緩慢 隨 t變化較快 這種合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱(chēng)為 拍 。 解: 合成后 ?不變, )3c o s ( ??? tAx)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA)03/c o s(24224 22 ??????? ?72?22112211c o sc o ssi nsi n?????AAAAtg???3/c o s20c o s43/si n20si n4211 ?????53??? ?合振動(dòng)方程: ) o s (72 ?? tx53 二 *同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 )c o s ()( 22 ?? ?? tAtx )c o s ()( 11 ?? ?? tAtx利用三角函數(shù)關(guān)系式: 2c o s2c o s2c o sc o s?????? ?????)c o s ()c o s ()( 21 ???? ???? tAtAtx合成振動(dòng)表達(dá)式 : 為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),討論兩個(gè)振幅相同,初相位也相同,在同方向上以不同頻率振動(dòng)的合成。 21, AA??從圖中三角形的邊角關(guān)系,很容易得到: M 矢量 的合矢量 的端點(diǎn)在 X 軸上的投影 M的運(yùn)動(dòng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng),其頻率與原來(lái)兩個(gè)振動(dòng)相同。 領(lǐng)先、落后以 ? 的相位角來(lái)判斷 x2 T x o A1 A1 A2 A2 x1 t 48 ),c o s ( 111 ?? ?? tAx)c o s ( 222 ?? ?? tAx振動(dòng)合成 21 xxx ??同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 在同一直線上同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)分別為: ? 代數(shù)方法: tAA ??? c o s)c o sc o s( 2211 ??tAA ??? s i n)s i ns i n( 2211 ??令: ??? c o sc o sc o s 2211 AAA ????? s i ns i ns i n 2211 AAA ??)c o s ()c o s ( 2211 ???? ???? tAtA代入上式: 合振幅 49 )c o s (2 12212221 ?? ???? 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