【正文】 xtAtA ???? s i ns i nc osc os ????)c os ( ?? ?? tAtAAx ??? c o s)c o sc o s( 2211 ?? 兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍然是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且頻率不變。并計(jì)算周期。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位相差。 t=，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度。（適合于任何諧振系統(tǒng)） 結(jié)論 ： 30 31 例 .有一水平彈簧振子， k=24N/m，重物的質(zhì)量 m=6kg，靜止在平衡位置上，設(shè)以一水平恒力 F=10N作用于物體（不計(jì)摩擦），使之從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了 ，此時(shí)撤去力 F，當(dāng)重物運(yùn)動(dòng)到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)方程。 動(dòng)能的時(shí)間平均值 : ? ?? Tk dttkATE 0 22 )(s i n211 ??241 kA?勢(shì)能的時(shí)間平均值 : ? ?? TP dttkATE 0 22 )(c o s211 ??241 kA?彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能的平均值相等，且等于總機(jī)械能的一半。求：當(dāng)它由平衡位置向 x軸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時(shí)間。求（ 1）此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式；（ 2）從初始時(shí)刻開始第一次通過平衡位置的時(shí)刻。 對(duì)一個(gè)確定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)來說，一定的位相就對(duì)應(yīng)于振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)一定時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即一定時(shí)刻的位置和速度。 A?19 o xyA??0?x0?v0?x0?x0?x0?v0?v0?a0?a0?a0?a0?v旋轉(zhuǎn)矢量法確定初位相。 M點(diǎn)速度在 x軸投影，為諧振動(dòng)的速度。 )c o s ( ?? ?? tAx16 2020 ?????????vxA② /① 有： AxAvtg//00 ?? ??00xv????c o s0 Ax ??? s i n0 Av ??0?t 時(shí) ① ② ① 2+(② /?)2， 22020 )/( Avx ?? ? ?在 0—2?之間有兩個(gè)解，但只有一個(gè)解符合要求，為此要根據(jù)已知的 x0、 v0的正負(fù)來判斷和取舍。 它確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 ? 初位相 ?(t)=?t+?位相 ?角頻率 —由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。 結(jié)論 11 質(zhì)量為 m的任意物體，繞 o點(diǎn)作小角度擺動(dòng)。 取逆時(shí)針為 ? 張角正向，以懸點(diǎn)為軸，只有重力產(chǎn)生力矩。 條件： 8 例 .證明豎直懸掛彈簧的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng)。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程 定義： 凡是決定其位置的坐標(biāo)按余弦或正弦函數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化的振動(dòng)都是 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 。 令 mk?2? 0222?? xdt xd ?有： 表達(dá)了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。這種簡(jiǎn)單而又基本的振動(dòng)形式稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 四、掌握同方向、同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的 方法和結(jié)論；了解“拍”現(xiàn)象和李薩如圖形產(chǎn) 生的條件及簡(jiǎn)單應(yīng)用。1 機(jī)械振動(dòng) 高有輝 2 本章導(dǎo)讀 [ 基本要求 ] 一、掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征和規(guī)律。 五、了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振產(chǎn)生的條件、 主要特征及實(shí)際應(yīng)用。 第七章 機(jī)械振動(dòng) 6 xo彈Fx一、簡(jiǎn)諧振動(dòng) ?? 以彈簧振子為例 將物體視為質(zhì)點(diǎn)，建立坐標(biāo)系， o點(diǎn)選在彈簧平衡位置處。 凡是物理量滿足上式的振動(dòng)系統(tǒng)，統(tǒng)稱為 線性諧振子 。 。 x0x xo證明： 平衡位置彈簧伸長(zhǎng) x0 0kxmg ?在任意位置 x 處 ，合力為： )( 0 xxkmgF ??? kx??物體仍受回復(fù)力作用，作諧振動(dòng)。 ? lgmT?s i nmg lM ??― – ‖表示力矩與 ? 張角方向相反。質(zhì)心c到軸的距離為 lc。 x位移 — 振動(dòng)物體 離開平衡位置的位移。 lg??單擺： mk??彈簧振子： 15 3. 頻率的單位是赫茲（ Hz），圓頻率的單位是弧度 /秒（ rad/s），周期的單位是秒（ s） 2. 一個(gè)系統(tǒng)自由振動(dòng)的周期和頻率完全由這個(gè)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，該頻率稱為固有頻率。 )c o s ( ?? ?? tAx)si n ( ??? ??? tAv17 研究端點(diǎn) M 在 x 軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) ， xo xy??? ?tM? t=0,矢量與坐標(biāo)軸的夾角等于初相 ? P三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法 ?Av1. M 點(diǎn)在 x 軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) )c o s ( ?? ?? tAx 為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 M點(diǎn)加速度在 x軸投影，為諧振動(dòng)的加速度。 Ⅰ Ⅲ Ⅳ Ⅱ 0,0 ?? vx0,0 ?? vx0,0 ?? vx0,0 ?? vx?在第 Ⅰ 象限 ?在第 Ⅳ 象限 ?在第 Ⅱ 象限 ?在第 Ⅲ 象限 o xyA??0?t2/0 Ax ?00 ?v 3?? ?3??? AxAvtg//00 ?? ??00xv????c o s0 Ax ??? s i n0 Av ??20 幾種特特殊位置初位相。 在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，常用位相來表示質(zhì)點(diǎn)的某一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 解： )( mA ? ),/(2 sr a dT ??? ??3?? ??)c os ( ?? ?? tAx取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)， o xyA??3?? ??由旋轉(zhuǎn)矢量法可得： ))(3c o s ( SItx ?? ???（ 2）由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，質(zhì)點(diǎn)第一次通過平衡位置時(shí)，振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為： 設(shè) 652???? ????)( st ??? ??24 例 .一質(zhì)點(diǎn)在 x軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過 A點(diǎn)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（ t=0），經(jīng)過 2s后第一次經(jīng)過 B點(diǎn)，再經(jīng)過 2s后第二次經(jīng)過 B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在 A、 B兩點(diǎn)具有相同的速率，且 AB=10cm。 解： 由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知， 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向 x軸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處時(shí)，轉(zhuǎn)過的角度為： o xyA??3?? ??3)3(0??? ?????所需的時(shí)間為： 622TTTt ??????????????26 彈簧的串并聯(lián) 1k x2k m,111 xkF ?? 222 xkF ??)( 21 xxkF ??? k為系統(tǒng)的勁度系數(shù)， 21 FFF ???????? ??2111kFkFkF Fkkk ?????? ??211121111kkk???21 kkk ??? 1k x2km21 xxx ??221121 xkxkFFkxF ?????27 四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量 以水平的彈簧振子為例 ? 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的勢(shì)能： )(s i n21 0022 ?? ?? tkA? 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)能： ),c os ()( ?? ?? tAtx mk /??xo A221 mvEk ?2)]si n ([21 ??? ??? tAm)(si n21 222 ??? ?? tmA221 kxEp ? )(c o s21 22 ?? ?? tkAo tkE pEEk 最大時(shí)， Ep最小， Ek 、 Ep交替變化。 結(jié)論 ： 29 （ 1） 振子在振動(dòng)過程中，動(dòng)能和勢(shì)能分別隨時(shí)間變化，但任一時(shí)刻總機(jī)械能保持不變。 解： 22 kAJFSE ???? )( mA ??)/(2 sr admk ???依題意，有： 0, 00 ??? vAxxo彈Fx?? ??))(2c os ( SItx ????選取坐標(biāo)如圖， 設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為： ))(c os ( SItAx ?? ??32 例題 一質(zhì)點(diǎn)沿 x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為 12cm，周期為 2s。 3如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于 x=6cm，且向 x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。 )(c o s 11 ?? ?? tAx)(c o s2 1?? ?? tAA 31 ??? ???? t0)(s in 1 ?? ?? t0)(s i n 11 ???? ??? tAu31 ??? ??t解： A A o A/2 A/2 38 322 ??? ???? t)c o s (2 2?? ??? tAA0)(s i n 2 ＜?? ?? t0)(s i n 22 ???? ??? tAu322 ??? ???t)()( 21 ????? ????? tt )32(3?? ??? ??x 3??32?39 例題 質(zhì)量為 m的比重計(jì)，放在密度為 ?的液體中。 解： 取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn) 平衡時(shí)： 0?? Fmg浮力： VgF ??其中 V 為比重計(jì)的排水體積 0 mg F 40 222dd2 txmgxdVmg ????????????????? ??xmgdtx4dd 222 ????222dd2 txmxdgVgmg ????????? ???x 0 x mgd ???2? gmdT???? 42 ??41 例題 證明圖示系統(tǒng)的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 tAA ??? s i n)s i ns i n( 2211 ??由 得： ??? c o sc o sc o s 2211 AAA ????? s i ns i ns i n 2211 AAA ???50 xo2A1A1?2?A2A?)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA22112211c o sc o ss i ns i n?????AAAAa r c t g????利用旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動(dòng)也可得到相同的結(jié)果。 21, AA?? A?51 )c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA ???? k212 ????時(shí) , ),2,1,0( ????k21 AA ??,21 AA ?合振動(dòng)振幅最大。其振動(dòng)表達(dá)式分別為： ]2 )(c o s [2 )(c o s2 1212 ????? ????? ttA54 )c o s ()c o s ()( 21 ???? ???? tAtAtx]2 )(c o s [2 )(c o s2 1212 ????? ????? ttA21 ?? 與當(dāng) 都很大，且相差甚微時(shí)，可將 視為振幅變化部分，合成振動(dòng)是以 為角頻率的近似諧振動(dòng)。 55 播放動(dòng)畫 振幅 tAtA 2c o s2)( 12?? ??， ,21 ?? ?振幅 A（ t） 隨時(shí)間 t緩慢地變化 “ 拍 ”現(xiàn)象，最大值為 2A。 1x t57 三 . 互相垂直相同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 二分振動(dòng)方程如下： 合成的振動(dòng)表示：質(zhì)點(diǎn)既沿 ox軸運(yùn)動(dòng)，又沿 oy軸運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上在 oxy平面上運(yùn)動(dòng)。 )c o s ()(c o s)(c o s22212222122122???????????????tAAtAtAyxr60 ② . 相位相反，即： ， k 為奇數(shù)