【正文】 xtAtA ???? s i ns i nc osc os ????)c os ( ?? ?? tAtAAx ??? c o s)c o sc o s( 2211 ?? 兩個同方向、同頻率的簡諧振動合成后仍然是一個簡諧振動，且頻率不變。并計算周期。求這兩個質(zhì)點的位相差。 t=，質(zhì)點的位置、速度和加速度。（適合于任何諧振系統(tǒng)） 結(jié)論 ： 30 31 例 .有一水平彈簧振子， k=24N/m，重物的質(zhì)量 m=6kg，靜止在平衡位置上，設(shè)以一水平恒力 F=10N作用于物體（不計摩擦），使之從平衡位置向左運動了 ，此時撤去力 F，當(dāng)重物運動到左方最遠位置時開始計時，求運動方程。 動能的時間平均值 : ? ?? Tk dttkATE 0 22 )(s i n211 ??241 kA?勢能的時間平均值 : ? ?? TP dttkATE 0 22 )(c o s211 ??241 kA?彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且等于總機械能的一半。求：當(dāng)它由平衡位置向 x軸正向運動時，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時間。求（ 1）此簡諧振動的表達式；（ 2）從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時刻。 對一個確定的簡諧振動來說，一定的位相就對應(yīng)于振動質(zhì)點一定時刻的運動狀態(tài)，即一定時刻的位置和速度。 A?19 o xyA??0?x0?v0?x0?x0?x0?v0?v0?a0?a0?a0?a0?v旋轉(zhuǎn)矢量法確定初位相。 M點速度在 x軸投影，為諧振動的速度。 )c o s ( ?? ?? tAx16 2020 ?????????vxA② /① 有： AxAvtg//00 ?? ??00xv????c o s0 Ax ??? s i n0 Av ??0?t 時 ① ② ① 2+(② /?)2， 22020 )/( Avx ?? ? ?在 0—2?之間有兩個解，但只有一個解符合要求，為此要根據(jù)已知的 x0、 v0的正負來判斷和取舍。 它確定簡諧振動在該時刻的運動狀態(tài)。 ? 初位相 ?(t)=?t+?位相 ?角頻率 —由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。 結(jié)論 11 質(zhì)量為 m的任意物體，繞 o點作小角度擺動。 取逆時針為 ? 張角正向，以懸點為軸，只有重力產(chǎn)生力矩。 條件： 8 例 .證明豎直懸掛彈簧的運動是諧振動。 簡諧振動運動方程 定義： 凡是決定其位置的坐標按余弦或正弦函數(shù)規(guī)律隨時間變化的振動都是 簡諧振動 。 令 mk?2? 0222?? xdt xd ?有： 表達了簡諧振動的運動學(xué)特征。這種簡單而又基本的振動形式稱為簡諧振動。 四、掌握同方向、同頻率的兩個簡諧振動合成的 方法和結(jié)論；了解“拍”現(xiàn)象和李薩如圖形產(chǎn) 生的條件及簡單應(yīng)用。1 機械振動 高有輝 2 本章導(dǎo)讀 [ 基本要求 ] 一、掌握簡諧振動的特征和規(guī)律。 五、了解阻尼振動、受迫振動和共振產(chǎn)生的條件、 主要特征及實際應(yīng)用。 第七章 機械振動 6 xo彈Fx一、簡諧振動 ?? 以彈簧振子為例 將物體視為質(zhì)點，建立坐標系， o點選在彈簧平衡位置處。 凡是物理量滿足上式的振動系統(tǒng)，統(tǒng)稱為 線性諧振子 。 。 x0x xo證明： 平衡位置彈簧伸長 x0 0kxmg ?在任意位置 x 處 ，合力為： )( 0 xxkmgF ??? kx??物體仍受回復(fù)力作用，作諧振動。 ? lgmT?s i nmg lM ??― – ‖表示力矩與 ? 張角方向相反。質(zhì)心c到軸的距離為 lc。 x位移 — 振動物體 離開平衡位置的位移。 lg??單擺： mk??彈簧振子： 15 3. 頻率的單位是赫茲（ Hz），圓頻率的單位是弧度 /秒（ rad/s），周期的單位是秒（ s） 2. 一個系統(tǒng)自由振動的周期和頻率完全由這個系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，該頻率稱為固有頻率。 )c o s ( ?? ?? tAx)si n ( ??? ??? tAv17 研究端點 M 在 x 軸上投影點的運動 ， xo xy??? ?tM? t=0,矢量與坐標軸的夾角等于初相 ? P三、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量法 ?Av1. M 點在 x 軸上投影點的運動 )c o s ( ?? ?? tAx 為簡諧振動。 M點加速度在 x軸投影，為諧振動的加速度。 Ⅰ Ⅲ Ⅳ Ⅱ 0,0 ?? vx0,0 ?? vx0,0 ?? vx0,0 ?? vx?在第 Ⅰ 象限 ?在第 Ⅳ 象限 ?在第 Ⅱ 象限 ?在第 Ⅲ 象限 o xyA??0?t2/0 Ax ?00 ?v 3?? ?3??? AxAvtg//00 ?? ??00xv????c o s0 Ax ??? s i n0 Av ??20 幾種特特殊位置初位相。 在簡諧振動中，常用位相來表示質(zhì)點的某一運動狀態(tài)。 解： )( mA ? ),/(2 sr a dT ??? ??3?? ??)c os ( ?? ?? tAx取平衡位置為坐標原點， o xyA??3?? ??由旋轉(zhuǎn)矢量法可得： ))(3c o s ( SItx ?? ???（ 2）由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，質(zhì)點第一次通過平衡位置時，振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為： 設(shè) 652???? ????)( st ??? ??24 例 .一質(zhì)點在 x軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點向右運動通過 A點作為計時起點（ t=0），經(jīng)過 2s后第一次經(jīng)過 B點，再經(jīng)過 2s后第二次經(jīng)過 B點，若已知該質(zhì)點在 A、 B兩點具有相同的速率，且 AB=10cm。 解： 由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知， 當(dāng)質(zhì)點由平衡位置向 x軸正向運動時，從二分之一最大位移處到最大位移處時，轉(zhuǎn)過的角度為： o xyA??3?? ??3)3(0??? ?????所需的時間為： 622TTTt ??????????????26 彈簧的串并聯(lián) 1k x2k m,111 xkF ?? 222 xkF ??)( 21 xxkF ??? k為系統(tǒng)的勁度系數(shù)， 21 FFF ???????? ??2111kFkFkF Fkkk ?????? ??211121111kkk???21 kkk ??? 1k x2km21 xxx ??221121 xkxkFFkxF ?????27 四、簡諧振動的能量 以水平的彈簧振子為例 ? 簡諧振動的勢能： )(s i n21 0022 ?? ?? tkA? 簡諧振動的動能： ),c os ()( ?? ?? tAtx mk /??xo A221 mvEk ?2)]si n ([21 ??? ??? tAm)(si n21 222 ??? ?? tmA221 kxEp ? )(c o s21 22 ?? ?? tkAo tkE pEEk 最大時， Ep最小， Ek 、 Ep交替變化。 結(jié)論 ： 29 （ 1） 振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機械能保持不變。 解： 22 kAJFSE ???? )( mA ??)/(2 sr admk ???依題意，有： 0, 00 ??? vAxxo彈Fx?? ??))(2c os ( SItx ????選取坐標如圖， 設(shè)運動方程為： ))(c os ( SItAx ?? ??32 例題 一質(zhì)點沿 x軸作簡諧振動，振幅為 12cm，周期為 2s。 3如果在某時刻質(zhì)點位于 x=6cm，且向 x軸負方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。 )(c o s 11 ?? ?? tAx)(c o s2 1?? ?? tAA 31 ??? ???? t0)(s in 1 ?? ?? t0)(s i n 11 ???? ??? tAu31 ??? ??t解： A A o A/2 A/2 38 322 ??? ???? t)c o s (2 2?? ??? tAA0)(s i n 2 ＜?? ?? t0)(s i n 22 ???? ??? tAu322 ??? ???t)()( 21 ????? ????? tt )32(3?? ??? ??x 3??32?39 例題 質(zhì)量為 m的比重計，放在密度為 ?的液體中。 解： 取平衡位置為坐標原點 平衡時： 0?? Fmg浮力： VgF ??其中 V 為比重計的排水體積 0 mg F 40 222dd2 txmgxdVmg ????????????????? ??xmgdtx4dd 222 ????222dd2 txmxdgVgmg ????????? ???x 0 x mgd ???2? gmdT???? 42 ??41 例題 證明圖示系統(tǒng)的振動為簡諧振動。 tAA ??? s i n)s i ns i n( 2211 ??由 得： ??? c o sc o sc o s 2211 AAA ????? s i ns i ns i n 2211 AAA ???50 xo2A1A1?2?A2A?)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA22112211c o sc o ss i ns i n?????AAAAa r c t g????利用旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動也可得到相同的結(jié)果。 21, AA?? A?51 )c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA ???? k212 ????時 , ),2,1,0( ????k21 AA ??,21 AA ?合振動振幅最大。其振動表達式分別為： ]2 )(c o s [2 )(c o s2 1212 ????? ????? ttA54 )c o s ()c o s ()( 21 ???? ???? tAtAtx]2 )(c o s [2 )(c o s2 1212 ????? ????? ttA21 ?? 與當(dāng) 都很大，且相差甚微時，可將 視為振幅變化部分，合成振動是以 為角頻率的近似諧振動。 55 播放動畫 振幅 tAtA 2c o s2)( 12?? ??， ,21 ?? ?振幅 A（ t） 隨時間 t緩慢地變化 “ 拍 ”現(xiàn)象，最大值為 2A。 1x t57 三 . 互相垂直相同頻率簡諧振動的合成 二分振動方程如下： 合成的振動表示：質(zhì)點既沿 ox軸運動，又沿 oy軸運動，實際上在 oxy平面上運動。 )c o s ()(c o s)(c o s22212222122122???????????????tAAtAtAyxr60 ② . 相位相反，即： ， k 為奇數(shù)