【正文】 ,x( 21)x()x( )xXP ( x 1221 ? ?? ? ????????)( )()()(???????????????xxXPxXPxF則設(shè)例 ),4,1(~ 1 NX}{P ?? ?????? ????????? ???2102)0. 5()( 0. 3 ?????引理 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有 ).(1)( xx ?????證明 考慮 x0的情形 .由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度 ?(x)是 偶函數(shù) ,作積分變換 u=t,有 duedtexx ux t?????????????? )1(2121)( 2222???(x) 1?(x) dueduex uxu??????????? 222221121??).(1 x???則設(shè)例 ),4,1(~ 1 NX}{P ?? ?????? ????????? ???2102)0. 5()( 0. 3 ?????)]( 0. 51[61 ???? ???. ?練習(xí) 設(shè) X~N(, 9),求 P(|X|2) 例 2 公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按男子與車(chē)門(mén)碰頭機(jī) 會(huì)在 ，設(shè)男子身高 X?N(170,62)(厘 米），問(wèn)車(chē)門(mén)高度應(yīng)為多少？ 解：設(shè)車(chē)門(mén)高度為 h,按題意有 P(Xh) )61 7 0(1)(1)( ???????? hhFhXP查表可得即 ,)6170( ??? h)(1 8 7 0 厘米???? hh(4) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 ?分位點(diǎn) : 滿(mǎn)足條件若設(shè) ?uNX ),1,0(~ ,10 ,}{ ???? ???uXP.分位點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上則稱(chēng)點(diǎn) ??u查表可得 =, =， =. (四 ) 伽瑪分布 : 1. 定義 : 如果連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為 : ).,(~,)(,0,0,0. x,0,0,)()( 011??????pXXdxexpxexpxfxxpp?????????????????????簡(jiǎn)記服從伽瑪分布則稱(chēng)伽瑪函數(shù)為為參數(shù)其中?(1,?) 是參數(shù)為 ?的指數(shù)分布 e(?) ?(p+1)= p?(p), ?(n)=(n1)! 167。 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 已知隨機(jī)變量 X的分布 ,求 Y=g(X)的分布 一、 X為離散型變量 例 X具有以下的分布律 ,求 Y=(X1)2分布律 : X 1 0 1 2 pk X 1 0 1 2 pk Y 4 1 0 1 即 P{Y=0} =P{X=1} = P{Y=1} =P{X=0}+P{X=2} =+= 或者 Y 0 1 4 pk P{Y=4}=P{X=1}= 例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X?N(?,?2),求 Y=aX+b(a0)的 概率密度。 222)(221)(),(~ ? ????????xX exfNX 知解：由)()()()( a byXPybaXPyYPyF Y ????????dxxfabyX????? )(于是求導(dǎo)可得 )(1)()( a byfayFyf XYY ?????2222)]([21 a bayea????????二、 X為連續(xù)型 分布函數(shù)法 的概率密度。求設(shè)例 XYUX ln2),1,0(~.3 ??.1)( )ln2()()(0y22yyYeeXPyXPyYPyF????????????解：對(duì)于???????????0,00,21)()( 2yyeyFyfyYY).(,],2/,2/[~ yfYt gXYUXY密度函數(shù)的概率求若練習(xí) ?? ??)()()()( ar c t gyXPyt gXPyYPyF Y ??????解：分布函數(shù)法：?? 2/?? a r c t g y于是求導(dǎo)可得 ??????????? yyyFyf YY 111)()(2?).(s i n),0(~ 4yfXYUXY密度的概率求設(shè)例 ??)( s i n)(10:yXPyFyY ????對(duì)于解???????????其它于是,010,112)()( 2yyyFyf YY ?yXyPyXPar c s i n2)ar c s i n()ar c s i n0(???????????.),1,0(~ 的概率密度求設(shè)練習(xí)： 2XYX ?N)(,0y yF Y時(shí)解：當(dāng) ? )yY{P ?? }yX{P 2 ??}yXyP { ??? ??? yydxx )(???? ( y )F( y )f YY則????????? 0, 0,y ,21)]()([yyy ???????????0,00,212yyeyy?2. 已知一年中某種人群死亡率為 ,該人群有 10000 人參加人壽保險(xiǎn) ,每人保費(fèi) 5元 .若未來(lái)一年中死亡 ,則得 到賠償 :(1)未來(lái)一年中保險(xiǎn)公司至少獲利 10000 元的概率。 (2)虧本的概率。 練習(xí)： 1. 一個(gè)盒子中放有 N個(gè)編號(hào) 1~N的標(biāo)簽 N個(gè) , 從 中又放回地抽取 n個(gè)，求取出的最大號(hào)碼 X的分布率。 ?????????0,00,)().x(222xxcxexfx?和已知密度函數(shù)，求.XY),1,0(~X .4 2 的概率密度求設(shè) ?N作業(yè)： 9， 10， 12， 16, 27， 29 ， 34， 37, 41， 43， 48 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 n維 隨機(jī)變量 定義 : 設(shè) E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) , 樣本 點(diǎn)是 ?，若 X1(?)X2(?),…,X n(?)是定義在樣本空 間 上 ?的 n個(gè)隨機(jī)變量 ,則稱(chēng) ??? ????? )),(,),(),(()( 21 nXXXX ?構(gòu)成一個(gè) n維隨機(jī)變量 ,簡(jiǎn)記為 X=(X1,X2,…,X n) 的和隨機(jī)變量或稱(chēng)為的分布函數(shù)稱(chēng)為二維隨機(jī)變量二元函數(shù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)YX( X , Y )}YP { X)}(Y)P { ( X)F(Δ ,yx,yxy x, y, x, ???????1. 二維 隨機(jī)變量 (聯(lián)合 )分布函數(shù) : 聯(lián)合分布函數(shù) . 167。 二維隨機(jī)變量 }YXP{ 2121 yy。xx ????)F()F)F()F( 11122122 y ,xy,(xy ,xy,x ????(1) F(x,y)是變量 x或 y的單調(diào)不減函數(shù)，即 ).,(),(,)。,(),(,21212121yxFyxFyyyxFyxFxx????時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)1),(lim),( 0),(),( 0),(lim),(,1),(0 )2(?????????????????????????????yxFFFyFyxFxFyxFyxy且聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)： (3) F(x,y)關(guān)于 x,y都是右連續(xù)的，即 ),()0,( ),(),0( yxFyxFyxFyxF ????0),(),(),(),( , )4(112112222121??????yxFyxFyxFyxFyyxx 有對(duì)于任意實(shí)數(shù)2. 二維隨機(jī)變量的分布 (一 ) 二維離散型隨機(jī)變量的分布律 的聯(lián)合分布律。維離散型隨機(jī)變量為二稱(chēng)( X , Y ), , }YP { X ?21j i, ,py,x ijji ????.1 p 2 0,p)1( ijij ?? ? ?i j）（分布律滿(mǎn)足：例 1 一袋子中有 5個(gè)球，其中 2個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字 “ 1”， 3個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字“ 0”。 X,Y分別表示第一、 二次取得的數(shù)字，求 (X,Y)的聯(lián)合分布律 。 解 : (X,Y)的可能取值為 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) (1)有放回取球，對(duì)應(yīng)概律為 P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=3/5?3/5=9/25 (X,Y)的分布律為 (2)無(wú)放回取球，對(duì)應(yīng)概率為 P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0) =3/5?2/4=3/10 (X,Y)的分布律寫(xiě)成表格為 例 2. 設(shè)隨機(jī)變量 X在 1, 2, 3, 4四個(gè)整數(shù)中等可能 地取值 , 隨機(jī)變量 Y則在 1~X中等可能地取一整 數(shù) , 試求 (X, Y)的分布律 . 4, 3, 2, , 1Y X: 的可能取值分別為與解????????????. , , /}|X}P{YP{X}YP{Xji0jii41ijiji,.j i,yy x,xpy x,: , jixijji求和的即對(duì)一切滿(mǎn)足表示為則分布函數(shù)可的分布律若已知??? ???,)F((X , Y )yyx(二 ) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度 的聯(lián)合概率密度稱(chēng)為函數(shù)其中量為連續(xù)型的二維隨機(jī)變則稱(chēng)有對(duì)任意存在非負(fù)函數(shù)數(shù)的分布函若對(duì)二維隨機(jī)變量定義),()y x,(f , d u d v , vu,fy x, ,),(),(),( : .1yxYX( X , Y ) )()F(yxyxfyxFYX? ?? ??????Gy ) d x d y .f ( x , :Gy) ( x , ,x o yG G}) P { ( X , Y40內(nèi)的概率為在落點(diǎn)平面上的一個(gè)區(qū)域是設(shè) 。1),(d x d yy x,f2 0 ? ???? ??? ?????? F)( 。)yx,(fyx)yx,(F ,)y x,()y x,(f 3 20????則有點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)若:y x,f .2 的性質(zhì))(0。y x,f 1 0 ?)(}.X{)3( )。yx,()2( 。)1(:, 0, 0,y 0, x,Aey) f ( x , Y) ( X , 2.y)( 2x???? ????YPFA 概率分布函數(shù)常數(shù)求其它具有概率密度設(shè)二維隨機(jī)變量例? ???? ??? ? 1,y ) d x d y f ( x , )1( : 則由解 ,1d x d yAe 0 0)yx2(? ??? ?? ?? ?1dyedxeA 0 y0 2x ??? ?? ???即.2,12/ ???? AA? ?? ?? y xyxF y ) d x d y f ( x ,),( )2(????? ??? ? ???, 0, 0,y 0, x,yx2y0x0)yx2(其它dde??? ???. 0, 0,y 0, x),e)(1e(1 y 2x其它?