【正文】 微分和積分 (Differentiation and Integration in time domain) 若 f (t) ←→ F(jω) 則 )(j)(j)()( ?? Ftf nn ?????j)(j)δ()0(πd)( FFxxft ??????? ???? ?? ttfFF d)()(j)0( 0??證明 : f(n)(t) = ?(n)(t)﹡ f(t) ←→(j ω)n F(jω) f(1)(t)= ?(t)﹡ f(t) ←→ ?????? j)(j)δ()0(π)(j]j1)δ([ π FFF ???例 1 例 2 已知 f 39。(t)←→ F1(jω) f (t)←→ F (jω)=? 信號與系統(tǒng) 時域微分特性舉例 1 f(t)= 1/t2 ←→? 例 1: 解 : ?j2)s g n ( ??t)s g n (π2j2 ????t )s g n (πj1 ????t)s g n (π)s g n (j π)(j1d d ???? ??????????tt||π)s g n (π1 2 ??? ?????t信號與系統(tǒng) 時域微分積分特性舉例 2 例 2: f ( t )2 2 0 t2求 f (t)←→ F (jω) f 39。 ( t )t2 2 0 11t2 2( 1 ) ( 1 )( 2)f ( t )0解 : f (t) = ?(t+2) – 2 ?(t) + ?(t –2) F2(jω)= F [f (t)] = e j2ω– 2 + e – j2ω= 2cos (2ω) – 2 F (jω) = 222 )2(c o s22)(j)(j???? ??F注意 : dε(t)/dt = ?(t) ←→ 1 ε(t) ← → 1/(j ω) 信號與系統(tǒng) 結(jié)論 : 若 f (n)(t)←→ Fn(jω)， and f(∞)+ f(∞) = 0 則 f (t)←→ F (jω) = Fn(jω)/ (jω)n 信號與系統(tǒng) 九、頻域的微分和積分 (Differentiation and Integration in frequency domain) 若 f (t) ←→ F(jω) 則 (–jt)n f (t) ←→ F(n)(jω) ? ?????? ? xxFtfttf d)(j)(j1)δ()0(π其中 ? ???? ?? d)(jπ2 1)0( Ff例 1 例 2 信號與系統(tǒng) 頻域微分積分特性舉例 1 例 1: f (t) = tε(t) ←→ F (jω)=? ?? j1)π δ ()ε( ???t解 : ?????? ??????? j1)π δ (dd)ε(j tt21)(δj π)ε(?? ????tt注意 : tε(t) =ε(t)﹡ ε(t) ←→ ?????? ???????? ????? j1)π δ (j1)π δ (錯誤 ! 因為 ?(?)?(?) 和 (1/j?)?(?) 無定義。 信號與系統(tǒng) 頻域微分積分特性例 2 例 2： 求 ?? ? d)s in (? ???a解 : ?? )(s in2)(2atga ???? ?????? ?? ?? ??? ? ?? de)(s i nπ1de)(s i n2π2 1)( jj2 tta aatg? ???? ?? ? d)(s inπ1)0(2 ag a 2πd)(s in0?? ? ?? ?a其中， a為非零常數(shù)。 信號與系統(tǒng) 周期信號的傅里葉變換 周期信號： f(t)←→ 傅里葉級數(shù) Fn 離散譜 周期信號的傅里葉變換如何求？與傅里葉級數(shù)的關(guān)系？ ? ? 葉變換統(tǒng)一的分析方法：傅里非周期周期??????tf非周期信號： f(t)←→ 傅里葉變換 F(jω) 連續(xù)譜 正、余弦的傅里葉變換 一般周期信號的傅里葉變換 傅里葉系數(shù)與傅里葉變換 信號與系統(tǒng) 一、 正、余弦的傅里葉變換 ? ?? ?tttttt0000jj0jj0eej21s i nee21c os????????????已知 1←→2πδ( ω) 由頻移特性得 e j ω0 t ←→ 2πδ( ω–ω0 ) e –j ω0 t ←→ 2πδ( ω+ω0 ) ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 0 01c o s 2 π δ 2 π δ π δ π δ2t? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????同理 ? ? ? ?0 0 0s i n j π δ j π δt? ? ? ? ?? ? ? ? ?信號與系統(tǒng) 頻譜圖 ? ?0 0 0c o s π δ () δ ()t? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0 0 0s i n j π δ j π δt? ? ? ? ?? ? ? ? ?0??0? ?? ?π? ?π? ??jF00c o s :t? 頻 譜 圖0s i n :t? 頻 譜 圖0??0? ?? ?π? ?π? ??jF0?0?0??? ???2?2??0信號與系統(tǒng) 二、一般周期信號的傅里葉變換 ??????ntjn ΩnT Ftf e)(?? ?? 22de)(1TTtjn ΩTn ttfTF?? ?????????????nnTntn ΩnT n ΩFFFtf )δ(π2)(je)(j ??(1) 說明： (1) 周期信號 fT(t)的傅氏變換由沖激序列組成，沖激函數(shù)僅存在于諧波頻率處； (2) 譜線的幅度不是有限值，因為 F(jω)代表頻譜密度。 例 1 例 2 信號與系統(tǒng) 頻域分析舉例 1 例 1： δ T(t)←→? (1)T 2 T T2 T t??δT( t )0解： TttTttfTFTTtn ΩTTTtn Ωn1de)(δ1de)(122j22j?????????δ T(t)←→ )(δ)δ(π2 ?? ΩnΩn ΩT ???????0 Ω 2 Ω Ω2 Ω ω??Ω δ Ω ( ω )( Ω )信號與系統(tǒng) 周期信號傅氏變換舉例 2 例 2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。 0 1 1f ( t )t14 4??解： 周期信號 f(t)也可看作一時限非周期信號 f0(t)的周期拓展。即 f(t) = ?T(t)﹡ f0(t) F(jω) = Ω?Ω(ω) F0(jω) ???????nn Ωn ΩFΩ )δ()(j0 ?F(jω) ??????????????nnnnn Ωn ΩΩ )2πδ()2πSa (π)()Sa (2 ???本題 f0(t) = g2(t)←→ )Sa (2 ?2ππ2 ??TΩ信號與系統(tǒng) 三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換關(guān)系 ? ?01 jnFF n ΩT ? ?? ?? ?tf0t2T?2T? ?tfTT? T t00? ? ? ??j 00 Ftf ?設(shè)? ? ? ? )1(dej 22j00 ????TTt ttfF ??? ????? 22j )2(de1TTtn ΩTn ttfTF推導(dǎo)： 第一個周期單脈沖 f0(t)的傅氏變換 F0(jω)與周期信號 fT(t)的傅氏系數(shù) Fn的關(guān)系： 比較 (1)(2) ? ? ? ?tftfn ΩT??0?信號與系統(tǒng) LTI系統(tǒng)的頻域分析 傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。 ??????ntn ΩnFtfje)(對周期信號： 對非周期信號： ? ???? ?? ? de)(jπ2 1)( j tFtf其基本信號為 ej ? t 基本信號 e j ? t作用于 LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 一般信號 f(t)作用于 LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 頻率響應(yīng) H(j?)的求法 無失真?zhèn)鬏斉c濾波 信號與系統(tǒng) 一 、 基本信號 e j ?t作用于 LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 設(shè) LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)，當(dāng)激勵是角頻率 ω的基本信號 ej ?t時，其響應(yīng) tt hhty ????? ???? jj)(j ede)(de)()( ??? ?? ????????而上式積分 正好是 h(t)的傅里葉變換，記為 H(j ?)，稱為系統(tǒng)的 頻率響應(yīng)函數(shù) 。 ????? ?? ?? de)( jhy(t) = H(j ?) ej ? t H(j ?)反映了響應(yīng) y(t)的幅度和相位隨頻率變化情況。 y(t) = h(t)﹡ ej ? t 信號與系統(tǒng) 二、一般信號 f(t)作用于 LTI系統(tǒng)的響應(yīng) ej ?t H(j ?) ej ?t ?21 F(j ?) ej ?t d ? F(j ?)H(j ?) ej ?t d ? 齊次性 ? ??? ?? ? de)(jπ2 1 j tF ? ??? ??? ? de)(j)(jπ2 1 j tFH可加性 ‖ f(t) ‖ y(t) =F –1[F(j ?)H(j ?) ] Y(j ?) = F(j ?)H(j ?) ?21信號與系統(tǒng) 頻域分析法步驟： LTI h ( t ) =②傅氏 變換④傅氏 反變換f ( t )①傅氏 變換 ＝y(tǒng) ( t )F ( j ω ) H ( j ω ) Y ( j ω )③*頻率響應(yīng) H(j?)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換 Y(j?)與激勵 f(t)的傅里葉變換 F(j?)之比，即 )(j)(j)(j???FYH ? )]()(j[)(j e)(j)(je)(j)(j ?????????? fyFYHH ????H(j?)?稱為 幅頻特性 （或 幅頻響應(yīng) ）； θ (?)稱為 相頻特性 （或 相頻響應(yīng) ）。 ?H(j?)?是 ?的偶函數(shù)， θ (?)是 ?的奇函數(shù)。 傅里葉變換法 信號與系統(tǒng) 對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法 周期信號 ?????????????ntn Ωnntn ΩnT n ΩHFthFtfthtyjj e)(j]e*)([)(*)()(若 ??????10 )(c o s2)( n nnT tn ΩAAtf ?)(je)(j)(j ???? HH ?則可推導(dǎo)出 ???????10 )]([c o s|)(j|)0(2)( n nn n Ωtn Ωn ΩHAHAty ????????ntn ΩnT Ftfje)(例 信號與系統(tǒng) 頻域分析例 例： 某 LTI系統(tǒng)的 ?H(j?)?和 θ (?)如圖， 若 f(t)= 2 + 4cos (5t) + 4cos (10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。 | H (j ω )|θ ( ω )ω10 10 0π1 π解法一： 用傅里葉變換 F(j?) = 4πδ(ω) + 4π[δ(ω–5) + δ(ω+5)] + 4π[δ(ω–10) + δ(ω+10)] Y(j?) = F(j?)H(j?) = 4πδ(ω) H(0) + 4π[δ(ω–5) H(j5) + δ(ω+5) H(j5)] + 4π[δ(ω–10) H(j10) + δ(ω+10) H(j10) ] H(j?)=?H(j?)? ejθ (?) = 4πδ(ω) + 4π[(ω–5) + (ω+ 5) ] y(t) = F –1[Y(j?) ]= 2 +2sin (5t) 信號與系統(tǒng) 解法二：用三角傅里葉級數(shù) f(t)的基波角頻率 Ω=5 rad/s f(t)= 2 + 4cos (Ωt) +