【正文】 label(39。Time(sec)39。) legend(39。x1(t)39。,39。x2(t)39。) subplot(1,3,2) plot(x(:,1),x(:,2)) xlabel(39。x139。)。ylabel(39。x239。) subplot(1,3,3) step(A,B,C,D) ？直接用時域響應(yīng)分析函數(shù) step A=[0 1。2 3]。B=[0 1]39。x0=[1 1]39。 syms t t1。u=t。 E=expm(A*t) E2=subs(E,39。t39。,39。tt139。)。 f=E2*B*u。 JF=int(f,39。t139。,39。039。,39。t39。) x=E*x0+JF t=0::10。 x1=2*exp(2*t)+3*exp(t)+1/2*t+1/2*t.*exp(2*t)t.*exp(t)。 x2= 3*exp(t)+4*exp(2*t)t.*(exp(t)+exp(2*t))。 figure(1) plot(t,x1,39。r39。,t,x2,39。k39。) legend(39。x139。,39。x239。) E =[ exp(2*t)+2*exp(t), exp(t)exp(2*t)] [ 2*exp(t)+2*exp(2*t), 2*exp(2*t)exp(t)] JF = 1/2*t+1/2*t*exp(2*t)t*exp(t) t*(exp(t)+exp(2*t)) x = 2*exp(2*t)+3*exp(t)+1/2*t+1/2*t*exp(2*t)t*exp(t) 3*exp(t)+4*exp(2*t)t*(exp(t)+exp(2*t)) A=[0 1。2 3]。B=[0 1]39。x0=[1 1]39。 C=[1 0]。D=0。sys=ss(A,B,C,D)。 [y1,t1,x1]=lsim(sys,t,t)。 [y2,t2,x2]=initial(sys,x0,t)。 x=x1+x2。 y=y1+y2。 plot(t,x(:,1),39。r39。,t,x(:,2),39。k39。) legend(39。x139。,39。x239。) ? ??? t tAAt dBuexetx 0 )(0 )()( ???？直接用時域響應(yīng)分析函數(shù) step 二、 MATLAB中系統(tǒng)的能控性和能觀性分析 能控性和能觀性的判定 在 MATLAB中利用以下幾個函數(shù)，可以直接從矩陣A、 B、 C中判斷系統(tǒng)的能控性和能觀性。 M=ctrb(A,B) 求取系統(tǒng)的能控性判別矩陣 M=[B AB A2B … An1B] N=obsv(A,C) 求取系統(tǒng)的能觀性判別矩陣 N=[C CA CA2 … CAn1]T rank() 得到矩陣的秩 判斷能控性和能觀性例：已知系統(tǒng)???????????????????????????????xyuxx111111113113?按系統(tǒng)的能控性和能觀性進行分解 （ 1）按能控性進行分解 若系統(tǒng)是不完全能控的，則通過相似變換可進行結(jié)構(gòu)分解，分解為能控子系統(tǒng)和不能控子系統(tǒng)。 MATLAB提供分解函數(shù) [Ac,Bc,Cc,T,K]=ctrbf(A,B,C) T為相似變換陣， K是長度為 n的矢量，其元素是各個塊的秩， sum(K)得出系統(tǒng)能控部分的秩。 ???????? ?CCAAAT ATAc211 0 ????????CBTBBc0? ?CC CCTc ?? ? 1CC 為能控子系統(tǒng)),(CC BA? 判斷是否完全能控，否則按能控性進行分解 ? ???????????????????????????????????xyuxx210011310301100?例：系統(tǒng)為 （ 2）按能觀性進行分解 若系統(tǒng)是不完全能觀的，則通過相似變換可進行結(jié)構(gòu)分解，分解為能觀子系統(tǒng)和不能觀子系統(tǒng)。 MATLAB提供分解函數(shù) [Ao,Bo,Co,T,K]=obsvf(A,B,C) T為相似變換陣， K是長度為 n的矢量，其元素是各個塊的秩， sum(K)得出系統(tǒng)能觀部分的秩。 ???????? ?ooAAAT ATAo0121 ????????ooBBTBB o? ?oCT 0CCo 1 ?? ? 為能觀子系統(tǒng)),(o oBA? 判斷是否完全能觀，否則按能觀性進行分解 ? ???????????????????????????????????xyuxx210011310301100?例：系統(tǒng)為 三、 MATLAB中系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 對于線性定常系統(tǒng)而言，一個連續(xù)時間系統(tǒng)的所有極點都具有負實部，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 一個離散時間系統(tǒng)的所有極點都位于單位園內(nèi)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 在 MATLAB中，易于求出系統(tǒng)的極點。 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，并給出不穩(wěn)定極點 122532423)(G2345234??????????ssssssssss例：系統(tǒng)為 判斷單位負反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性 52345 )z(G z zzzzz ??????例：離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為 對于線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式而言，系統(tǒng)矩陣的特征值都具有負實部，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 uxx?????????????????????????011310301100?例：系統(tǒng)為 李雅普諾夫第二法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用 線性定常連續(xù)系統(tǒng)為 為系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài) Axx ??0?exQ P則 平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件為：對于任意給定的正定實對稱矩陣 ，必存在正定實對稱矩陣 滿足李雅普諾夫方程 QPAPA T ???PxxxV T?)(為李雅普諾夫函數(shù) MATLAB提供了李雅普諾夫方程的求解函數(shù) P=lyap(A,Q) 其中 A, Q， P 與方程中變量對應(yīng) 一般為了方便計算，常取 IQ? 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程： xx ????????? 3210?試分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 A=[0 1。2 3] Q=eye(length(A)) P=lyap(A,Q) i1=find(P(1,1)0) n1=length(i1) i2=find(det(P)0) n2=length(i2) if (n10amp。n20) disp(‘P正定，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定 39。) else disp(‘系統(tǒng)不穩(wěn)定 39。) end )25(41)( 222121 xxxxPxxxV T ????)()( 2221 xxQxxxV T ??????)()( 2221 xxQxxxV T ??????由此注意： 調(diào)用 lyap（）函數(shù)時 需要用 lyap（ A’,P） 線性系統(tǒng)模型為： 利用狀態(tài)反饋 U(t)= KX(t)+r(t) 其中 K為狀態(tài)反饋矩陣， r(t)為參考輸入， )()()()()()(txDKCytBrtxBKAtx??????)()()()()(tCxtytBUtAxtx???? C A u B y x k r ?x?使得系統(tǒng)閉環(huán)方程為： 四、狀態(tài)反饋設(shè)計 單輸入系統(tǒng)的極點配置 Pole placement design for singleinput systems k=acker(A,B,p) 對于期望極點 p，求出狀態(tài)反饋增益陣 k a=[0 1 0。0 1 1。0 0 2]。b=[0。0。1]。c=[10 0 0]。d=0。%系統(tǒng)矩陣 pp=[2 1+j 1j]。%期望極點 [z,p,k]=ss2zp(a,b,c,d)。 g0=zpk(z,p,k) m=ctrb(a,b) n=rank(m) %能控性判斷 if n==length(a) disp(39。The system state can be controlled!39。) k=acker(a,b,pp) else disp(39。The system state can not be controlled!39。) end 10 s (s+1) (s+2) m = 0 0 1 0 1 3 1 2 4 n = 3 The system state can be controlled! k = 4 3 1 %設(shè)計后的效果比較 [z2,p2,k2]=ss2zp(ab*k,b,cd*k,d)。 g=zpk(z2,p2,k2) figure(1) subplot(2,1,1) pzmap(g0) subplot(2,1,2) pzmap(g) figure(2) subplot(2,1,1) step(g0,39。b39。,10) subplot(2,1,2) step(g,39。r39。,10) 10 (s+2) (s^2 + 2s + 2) 五、單輸出系統(tǒng)的觀測器設(shè)計 若下面系統(tǒng)完全可觀， 則全階觀測器方程為 )()()()()(tCxtytBUtAxtx????)()()(?)()(?)(?)(?)),(?)(()()(?)(?tGytButxGCAtxtxctytytyGtButxAtx????????????x C A u B y C A B G ??x?y?x??X?全階觀測器方程為 適當設(shè)計觀測器的輸出誤差反饋陣 G，就可改變觀測器的極點，達到期望的閉環(huán)性能。 設(shè)計 G時采用的 MATLAB命令仍是 acker，但要注意調(diào)用時，系統(tǒng)矩陣要進行轉(zhuǎn)置。 G=(acker(A’,C’,p))’ )()()(?)()(?)(?)(?)),(?)(()()(?)(?tGytButxGCAtxtxctytytyGtButxAtx????????????a=[1 0。0 0]。b=[1。1]。c=[2 1]。d=0。 p=[10 10]。 N=obsv(a,c)。%能觀性判斷 nn=rank(N) if nn==length(a) g=acker(a39。,c39。,p) disp(39。The system state can be observed!39。) else disp(39。The system can not be observed!39。) end nn = 2 The system state can be observed! g =