【正文】 b d p??3222c os( ) ( )2xx bxbpi bbpbp??????2 1()xxb dp dpb? ?(4) 22121( , ) ( )( 2 )xxpi p i tmxxx t p e d p?? ??? ?例題 m的粒子在勢(shì)場(chǎng) V（ r）中運(yùn)動(dòng)（書中 P25，第 1題） （ a）證明粒子的能量平均值為 (b)證明能量守恒公式 3E d r?? ?2**2 Vm? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 能 量 密 度 ）0st?? ? ? ? ??2**2s m t t?? ??????? ? ? ? ??????? （ 能 流 密 度 ）（ a）證明粒子的能量平均值為 ? ? * E H d r?? ?? ?證 明 ：2* 2 32V d rm????? ? ? ??????2* 2 * 32V d rm? ? ? ???? ? ? ??????2* * 32V d rm? ? ? ???? ? ? ? ??????3dr?? ?3E d r?? ?2**2 Vm? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 能 量 密 度 ）注意： ? ?* * * 2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?* 3 * d s 0dr? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???0r ?? ? ?束 縛 態(tài) ： 時(shí)2* 2 * 32V d rm? ? ? ???? ? ? ??????2* * 32V d rm? ? ? ???? ? ? ? ??????* 3 * 2 3ddrr? ? ? ???? ? ? ? ? ???(b)證明能量守恒公式（ 是矢量算符） 2 * ***.2b V Vt m t t t t? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???（ ）2 * *2 * 2 *2s m t t t t? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?* 2 2**22s V Vt t m t m? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?**iit t t t? ? ? ???? ? ? ???? ? ?????? ? ? ??? ??0?0st?? ? ? ? ???? 初值問題，傳播子 由于 薛定諤方程 只含有 時(shí)間的一次微商 ，只要在初始時(shí)刻（ t=0）的狀態(tài) 給定了，則以后任何時(shí)刻 t的狀態(tài) 原則上就完全確定了。換言之， 薛定諤方程給出波函數(shù)（量子態(tài)）隨時(shí)間的因果關(guān)系 。 在一般情況下，這個(gè)初值問題的求解是不容易的，往往要采用近似方法，但對(duì)于自由粒子容易嚴(yán)格求解。 ( ,0)r?( , )rt?前已證明，如下 形式的解 3 / 21( , ) ( ) e xp[ ( ) ]( 2 )ir t r t d??? ? ? ? ? ? ? ??（式中 22m??? ）滿足自由粒子的薛定諤方程。 ( , )rt? 的初態(tài)波函數(shù)為 3 / 21( , 0) ( ) e xp [ ]( 2 )ir r d??? ? ? ? ? ??（ 11） ()?? 正是 ( ,0)r? 的 Fourier展開的波幅，它并不 依賴于 t，上式逆變換為 3 / 21( ) ( , 0) e xp [ ]( 2 )ir r d r??? ? ? ? ??（ 12） 將 （ 12） 代入上述 形式解 ，得 31( , ) 39。 e xp [ ( 39。) ] ( 39。, 0)( 2 )iir t d r d r r t r?? ? ? ? ? ? ? ? ???式中 22m??? （自由粒子）。這樣，體系的初始狀態(tài) ( , 0 )r?完全決定了以后任何時(shí)刻 t的狀態(tài) ( , )rt? 。 （ 13） 更一般地，取初始時(shí)刻為 ，則 3139。 e x p [ ( 39。) ( 39。) ] ( 39。, 39。)( 2 )39。 ( , 。 39。, 39。) ( 39。, 39。)iid r d r r t t r td r G r t r t r t?? ? ? ? ? ? ? ? ??????( , )rt?（ 14） 式中 231( , 。 39。, 39。) e x p [ ( 39。) ( 39。) ]( 2 ) 2i i pG r t r t d r r t tm?? ? ? ? ? ? ?? 3 / 2 2( 39。)e xp2 ( 39。) 2 ( 39。)m m r rii t t t t????? ?????? ???? ?? （ 15） 39。t 39。()tt? 稱為 傳播子 。借助于 體系在時(shí)刻 t 的狀態(tài) 可由時(shí)刻 t’(t’≤t )的狀態(tài) 給出（見 14式）。對(duì)于自由粒子 ( ） 這個(gè)傳播子由 （ 15） 式 明顯給出，可以證明 ( , 。 39。, 39。)G r t r t ( , 。 39。, 39。)G r t r t( , )rt?( 39。, 39。)rt?22m???39。l im ( , 。 39。, 39。) ( 39。)ttG r t r t r r????（ 16） ( , 。 39。, 39。)G r t r t 的 物理意義 如下： 設(shè)初始時(shí)刻 t’ 粒子處于空間點(diǎn) ，按 （ 14） 式， 。所以 即 t 時(shí)刻在 點(diǎn)找到粒子的幾率波幅 。因此，可以一般地說，如在時(shí)刻 t’ 粒子位于點(diǎn) ，則在 t 時(shí)刻在空間點(diǎn) 找到由 傳來的粒子幾率波幅就是 ，即粒子從 傳播到了 。式 （ 14） 則表示： 在 t時(shí)刻于空間點(diǎn) 找到粒子的幾率波幅 是時(shí)刻 t’(≤t )粒子在空間中各 點(diǎn)的幾率波幅傳播到點(diǎn) 后的相干疊加 。 0 39。, ( 39。, 39。) ( ) 39。r r t r r?? ? ?0( , ) ( , 。 39。, 39。)r t G r t r t??r0( , 。 39。, 39。)G r t r tr?r( , 。 39。, 39。)G r t r t ( 39。, 39。)rt ( , )rtr( , )rt? r?r( 39。, 39。)rt例題 ，證明在足夠長時(shí)間后， 式中 是的 Fourier變換。 提示：利用 ? ?0x? ，? ? 2, e x p [ ] e x p [ ]4 2m i m x m xixt t t t???? ? ? ? （ ）1 ,02i k xk x e d x????????? ?（ ） （ ）24l i m i i a xaa e e x? ?????? （ ）書中 P26，第 5題 證明： 的 Fourier展開為 ? ?,xt?1, e x p [ ( ) ]2x t k i k x t d k? ? ?????????（ ） （ ）21e x p [ ( ) ]22 kk i k x t d km????????? （ ）221 m x m xe x p { [ ( ) ] }2 t t2tk i k dm k??????? ? ? ?? （ ） （ ）221 2 m x m x2e x p ( ) { e x p ( ) e x p [ ( ) ] } e x p ( )44 2 t 2 t2tmt miik i k i d ktm??????????? ? ? ?? （ ）21 2 m x m xe x p ( ) e x p ( )4 t 2 t2 mik k i d kt?????????? ? ?? （ ） （ ）2e x p [ ] e x p [ ]4 2m i m x m xit t t? ?? ? ? ? （ ）E??22pEm?pk?? 不含時(shí)間的薛定諤方程，定態(tài) ?定態(tài) 在一般情況下，從初始狀態(tài) ( , 0)r?求 ( , )rt?是不容易的（在后面將介紹近似方法求解它）。以下，我們考慮一個(gè)很重要的特殊情形 ——假設(shè)勢(shì)場(chǎng) V不顯含時(shí)間 t（在經(jīng)典力學(xué)中，在這種勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，其機(jī)械能守恒），此時(shí)薛定諤方程 （ 8） 可以用分離變量數(shù)法求其特解。 令特解為 ( , ) ( ) ( )r t r f t??? （ 17） 代入 （ 8） 式，分離變量后，得 221 [ ( ) ] ( )( ) 2()i d f V r rf t d t mr ??? ? ? ? ? ?其中 E是即不依賴于 t，也不依賴于 的常量，這樣 rdfifdt ??（ 18） 的解為 ? ?( ) e x p /f t C i t? ? ?其中 C為任意常數(shù)。因此特解可表為 ? ?( , ) ( ) e x p /r t r i t? ?? ? ? ?（ 19） 其中常數(shù) C已歸并到 ()r??這個(gè)波函數(shù)與時(shí)間的關(guān)系是正弦式的，其角頻率是 /? ??按照德布羅意關(guān)系， E就是該體系處于這個(gè)波函數(shù)所描寫狀態(tài)時(shí)的能量。由此可見，當(dāng)體系處于（ 19） 式所描寫狀態(tài)時(shí)， 能量具有確定值 E，所以這種狀態(tài)稱為 定態(tài) ，這里與時(shí)間無關(guān)的波函數(shù) ，是能量為 E時(shí)的下列方程 之中。 ()r??22 ( ) ( ) ( )2V r r rm??????? ? ? ? ?????（ 20） 的解。該方程稱為 不含時(shí)間的薛定諤方程 。 ?哈密頓算符、能量本征值方程 以 ()r??乘以 （ 18） 兩邊， e x p [ / ]it?? 乘以 （ 20） 兩邊， ( , )rt?滿足下列方程： didt? ? ? ? （ 21） 22[ ( ) ]2 Vrm? ? ? ? ? ? ?可以看出波函數(shù) [由 （ 19） 式所定義的 ] （ 22） 這兩個(gè)方程類型相同，它們都是以一個(gè)算符，作用在波函數(shù) Ψ上得出一個(gè)數(shù) E乘以 Ψ。 這表明，算符 di dt和 2 2 ()2 Vrm? ? ?是相當(dāng)?shù)模?這即可以從它們作用于定態(tài) （ 19） 式的結(jié)果看出，也可以從薛定諤方程 （ 8） 看出，它們作用于體系的任意一個(gè)波函數(shù)上都是相當(dāng)?shù)?。這兩個(gè)算符都稱為 能量算符 。如前所述，因?yàn)樗惴? 是通過經(jīng)典力學(xué)中的 哈密頓函數(shù) H=T+V 代換而來的，所以這種算符又稱為 Hamilton算符 ，通常以 ?H 表示，于是 （ 22） 又可寫為 ?H ? ? ? ? （ 23） 的作用效果 2 2 ()2 Vrm? ? ?薛定諤方程的普遍形式為 ?diHdt? ??當(dāng)體系 Hamilton ?H?H ??? ? ??()Vr 中運(yùn)動(dòng)的特殊情況， 22? ()2H V rm? ? ? ?（ 24） 不顯含時(shí)間 t時(shí)， （ 8） 可以 分離變量。此時(shí)，不含時(shí)薛定諤方程表為 （ 25） 對(duì)于一個(gè)粒子在勢(shì)場(chǎng) 方程 （ 24） 和 （ 25） 就化為方程 （ 8） 和 （ 20） 。對(duì)于更復(fù)雜的體系，其薛定諤方程的具體表達(dá)式，關(guān)鍵在于寫出其哈密頓算符。 小結(jié)一下： 從數(shù)學(xué)上講，對(duì)于任何 E值，不含時(shí)的薛定諤方程（ 20） 都有解，但并非對(duì)于一切 E值所得出的解 ()r?都滿足 物理上的要求 。這要求有的是根據(jù) 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 而提出的，有的是根據(jù)具體的物理情況而提出的，例如 束