【正文】 第一章 波函數(shù)與Schrodinger方程 本章所講的主要內(nèi)容 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋 () Schrodinger方程 () 量子態(tài)疊加原理 () 既然輻射和粒子都具有波動性和微粒性，那 么，如何理解這兩屬性呢？經(jīng)典物理的觀念 是無法回答的，必須被修改。 主要表現(xiàn)： 波－粒兩象性 （ 粒子 ） （波） （ Planck假設(shè) ） Einstein關(guān)系 Ep?? Eh ????一、 實(shí)物粒子的波動性 167。 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 （ de Broglie假設(shè)） de Broglie關(guān)系 具有確定動量的 自由粒子 被一 平面波 所描 述 pk? hP? ?2k ??? ?? ?波 數(shù) ， ( ) ( )i k r t i p r E tA e A e?? ? ?? ? ? 將粒子所具有的微粒性和波動性統(tǒng)一起來 ， 這在經(jīng)典物理學(xué)中看來是不可能的 ， 因 經(jīng)典粒子 經(jīng)典波 √ 原子性 （ 整體性 ） 實(shí)在物理量的空間分布 軌道 √ 干涉 ， 衍射 這兩者是不相容的 。 描述微觀粒子既不能 用經(jīng)典粒子 ， 也不能用經(jīng)典波 ， 當(dāng)然也不能用 經(jīng) 典粒子 和 經(jīng)典波 來描述 。 ??二、電子雙縫實(shí)驗(yàn) 用一電子槍 (由一加熱的鎢絲和一加速電極構(gòu)成 )向開有雙縫的屏發(fā)射電子，再后面是接受電子的后障，先在其上安裝一個可移動的檢測器，它可以是蓋革計(jì)數(shù)器，或者更好一點(diǎn)，與擴(kuò)音器相連的電子倍 增器，每當(dāng)電子到來的時(shí)候，檢測器發(fā)出咔噠的聲響。 如圖 a所示。 在實(shí)驗(yàn)中我們會發(fā)現(xiàn)，咔噠聲出現(xiàn)的節(jié)奏是不規(guī)則的，但在每處較長時(shí)間內(nèi)的平均次數(shù)是近似不變的，它與電子槍發(fā)出的電子流強(qiáng)成正比。為了避免咔噠聲過分密集，不好計(jì)數(shù)，我們可以把電子槍的加熱電流減弱，以減少電子的流強(qiáng)。我們甚至可以設(shè)想，電子流強(qiáng)如此之弱，當(dāng)前一個電子從電子槍出發(fā)通過雙縫屏到達(dá)后障之前，后一個電子不出發(fā)。每次只有單個電子通過儀器。這時(shí)如果我們在后障上各處布滿檢測器，則會發(fā)現(xiàn)，每次只有一個檢測器發(fā)出咔噠聲。 所有的咔噠聲都一樣強(qiáng)，從來不會發(fā)生兩個或兩個以上的檢測器同時(shí)發(fā)出哪怕是較弱的咔噠聲。這就是說，猶如上述子彈實(shí)驗(yàn)，電子是以“粒子”的形式被檢測到的。 現(xiàn)在先把縫 2遮住，只允許電子從縫 1通過。記錄后障上各處檢測到電子的數(shù)目。經(jīng)過長時(shí)間的數(shù)據(jù)積累，可得到如圖 b所示的電子沿 x方向的數(shù)密度分布曲線 ?1(x) 。 最后打開兩縫做實(shí)驗(yàn)，起初后障上各處咔噠聲此起彼落，貌似無規(guī)。經(jīng)過長時(shí)間的數(shù)據(jù)積累，可得到如圖 c所示的電子數(shù)密度分布曲線 ?12(x) ， 得到的強(qiáng)度分布 I12(x) (見該圖 c)，具有明顯的干涉效應(yīng)特征。 直到 1970年代才有人發(fā)表干涉實(shí)驗(yàn)的結(jié) 果。 遮住縫 l，打開縫 2，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，又可得到如圖 b所示的數(shù)密度分布曲線?2(x) 。 這里得到的曲線 ?1(x)和 ?2(x) ,沒有干涉。 ?1??2?2112 ??? ??12? 當(dāng)實(shí)驗(yàn)使電子從 確定的狹縫 通過時(shí) ,電子表現(xiàn)得象粒子。當(dāng)實(shí)驗(yàn) 不確定使電子從哪一條狹縫通過 時(shí) ,電子表現(xiàn)得象波。 如果說電子是“粒子”，我們能否說：每個電子不是通過縫 1，就是通過縫 2，兩者必居其一。那么，干涉效應(yīng)是怎樣產(chǎn)生的呢 ?也許電子在通過雙縫時(shí)分成了兩半，每縫通過一半。為什么檢測器接受的總是整個的電子，從未發(fā)現(xiàn)半個 ? 怎樣理解電子在上述雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中的這種行為 ? 如果說電子是“波”，但實(shí)驗(yàn)測得的是一個一個的電子。 上世紀(jì)九十年代中后期的 “ 哪條路檢測器 ” 實(shí)驗(yàn)結(jié)果是，每個電子都只穿過一條縫 ,從未觀察到某個電子同時(shí)穿過兩縫的情況。該實(shí)驗(yàn)還表明 ,如果確定粒子從哪條路通過，那么就無干涉效應(yīng) ,即 退相干 ,如果實(shí)驗(yàn)不確定粒子從哪條路通過 ,那么就出現(xiàn)干涉效應(yīng)。 “which way”實(shí)驗(yàn) 在一條縫后放置一個足夠強(qiáng)的照明光源。這樣，穿過該縫的電子必定同時(shí)散射光子。探測有無散射光子原則上就可判定是從哪條縫穿過的。 總之，要設(shè)計(jì)出一種儀器，它既能判斷電子通過哪條縫又不干擾干涉圖樣的出現(xiàn)，是絕對做不到的。這是微觀世界里的客觀規(guī)律，并非我們現(xiàn)在的實(shí)驗(yàn)手段不夠高明。我們無法用我們的經(jīng)典觀念來解釋電子是怎樣通過雙縫而產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的，我們只好說 當(dāng)實(shí)驗(yàn)確定電子是從哪條縫穿過時(shí)，這個對電子位置的測量過程實(shí)際上已經(jīng)干擾了電子原來的狀態(tài)，使得電子由原來的具有波粒二象性的狀態(tài)突變到僅具有粒子性的狀態(tài)，因而沒有干涉現(xiàn)象發(fā)生。 電子是以它自己的獨(dú)特方式穿過雙縫的。 有關(guān)哪條路檢測器如何退相干的實(shí)驗(yàn)，近來有很大的進(jìn)展 。近年來的研究進(jìn)展表明，哪條路檢測器的退相干作用，主要來自它與被探測客體量子態(tài)的交纏。 三、 電子雙縫實(shí)驗(yàn) 干涉圖樣的 Born幾率詮釋 電子通過雙縫后的 數(shù)密度分布呈現(xiàn)干涉圖樣反映了電子的波粒二象性 , 從而我們可得到物質(zhì)波的 Born幾率詮釋。 后障上某點(diǎn) x鄰域內(nèi) 的 干涉花樣強(qiáng)度 正比于 該點(diǎn) x鄰域內(nèi)的 電子 數(shù)密度大小 , 正比于 出現(xiàn)在該點(diǎn) x鄰域內(nèi)的 電子 數(shù)目 ， 正比于 電子 出現(xiàn)在該點(diǎn) x鄰域內(nèi)的 幾率 。 后障上某點(diǎn) x鄰域內(nèi)的 干涉花樣強(qiáng)度 正比于 電子 出現(xiàn)在該點(diǎn) x鄰域內(nèi)的 幾率 電子 物質(zhì)波在點(diǎn) x鄰域內(nèi)的 強(qiáng)度 電子 物質(zhì)波在點(diǎn) x鄰域內(nèi)的強(qiáng)度 正比于 電子 出現(xiàn)在該鄰域內(nèi)的 幾率 實(shí)物粒子物質(zhì)波在空間任一位置附近的強(qiáng)度 正比于粒 子 出現(xiàn)在該位置附近的 幾率。 不難理解，對于其他實(shí)物粒子的物質(zhì)波，可以有與電子 同樣的理解。即 物質(zhì)波的 Born幾率詮釋 : 物質(zhì)波是幾率波 這就是說 根據(jù)物質(zhì)波的這個幾率詮釋 , 粒子的波動性體現(xiàn)在與粒子出現(xiàn)在空間各點(diǎn)的幾率相聯(lián)系的波的波動性上。這樣 ,粒子的波動性只是反映了微觀客體運(yùn)動的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。在非相對論情況下 ,物質(zhì)波的幾率詮釋正確地把實(shí)物粒子的波動性與粒子性統(tǒng)一起來 , 經(jīng)歷了無數(shù)的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn) (如，散射粒子的角分布觀測結(jié)果 ) 。 四、 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋 物質(zhì)波的描述量 ——波函數(shù) 物質(zhì)波不是某種真實(shí)可測物理量的振動在空間中的傳播！ 來描寫 , 稱之為 波函數(shù) 。它是粒子位置坐標(biāo)和時(shí)間的復(fù)值函數(shù)，是不可測量的。 描述物質(zhì)波的量不應(yīng)是一個可測的量。 可測的量一般應(yīng)是實(shí)數(shù)，故描述物質(zhì)波的量不能取實(shí)數(shù)！ 假定 一個微觀粒子的物質(zhì)波總可以用一個函數(shù) ( , )rt?象位矢作為時(shí)間的函數(shù)包含了經(jīng)典粒子運(yùn)動的全部信息一樣，認(rèn)為波函數(shù)完全描寫了微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)。 因此，波函數(shù)又叫 態(tài)函數(shù) 。 自由粒子的波函數(shù) : 具有確定能量 E和動量 (平面單色波 )時(shí) : p?3 / 2 ( ) /( , ) ( 2 ) i p r E tr t e?? ???經(jīng)典平面單色波波動式為 ) c o s ( trkA ??? ?? i ( )k r tAe ???由 de Broglie物質(zhì)波假設(shè) , E p k???可假定 （應(yīng)取實(shí)部） 一維情形 : ( ) /1 / 2( , ) ( 2 )xi p x E tx t e?? ???mpE22??非相對論情形 2 ﹑ 波函數(shù)的幾率詮釋 物質(zhì)波的波強(qiáng)應(yīng)正比于波函數(shù)的模的平方 ),(),(|),(| *2 trtrtr ??? ???? 由物質(zhì)波的幾率詮釋就可知 , 2|),(| tr?? 應(yīng)描寫了粒子出現(xiàn)在空間各點(diǎn)的 幾率分布 （或幾率密度） , 即 2| ( , ) |r t x y z? ? ? ?點(diǎn)處的體積元 ?x?y?z中 r?表示 在 t時(shí)刻在空間中 粒子出現(xiàn)的幾率 。 這就是波函數(shù)的 幾率詮釋 ,也就是物質(zhì)波的幾率詮釋，是 M. Born研究散射問題時(shí)提出的。 它是量子力學(xué)的基本原理之一。 按統(tǒng)計(jì)解釋，粒子出現(xiàn)在任何地點(diǎn)的幾率必須有確定的，唯一的而且是有限的數(shù)值。故波函數(shù)在其變量變化的全部區(qū)域內(nèi)通常應(yīng)滿足三個條件： 平方可積性 （ 有限性） 、 連續(xù)性 和 單值性 。這三個條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件 。當(dāng)然，這是就一般情況而言的，在具體的問題中，還應(yīng)根據(jù)實(shí)際的物理情況，有具體的要求。 波函數(shù)的性質(zhì) ?歸一化條件，歸一化常數(shù) 按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，很自然地要求粒子（在非相對論情況下，沒有粒子產(chǎn)生和湮滅現(xiàn)象發(fā)生）必定要在空間中出現(xiàn)的，所以，在整個空間中粒子出現(xiàn)的幾率總和應(yīng)等于 1，所以有 2( , ) 1r t d r????這稱之為 波函數(shù)的歸一化條件 。 ?注意 :體積元表示為下列四種形式均可 dr 3dr d? dV在直角坐標(biāo)系中 : d d x d y d z? ?在柱坐標(biāo)系中 : d r d r d d z???在球坐標(biāo)系中 : 2 s i nd r d r d d? ? ? ??與波函數(shù) 描述的相對幾率完全相同，換言之， 和 所描述的幾率波是完全相同的。因此， 波函數(shù)有一個常數(shù)因子的不確定性。 在這一點(diǎn)上， 幾率波與經(jīng)典波有本質(zhì)上的差別，一個經(jīng)典波的波幅增加一倍，則相應(yīng)的波動的能量為原來的 4倍，因而代表了完全不同的波動狀態(tài) 。 所描述的相對幾率分布是完全相同的。 例如，在空間點(diǎn) 應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出，對于幾率分布來說，重要的是相對 幾率分布。不難看出 ()r? 與 ()Cr? （ C為常數(shù)） 1r和 的相對幾率，波函數(shù) ()Cr?描述的粒子的 相對幾率 為 22112222| ( ) | | ( ) || ( ) | | ( ) |C r rC r r?????()r?()r?()Cr?2r按上述解釋，我們得出結(jié)論 ( , ) ( , )r t C r t??? 所描述的量子態(tài)與 ( , )rt?所描述的量子態(tài)是相同的，其中 21| ( , ) |Cr t d r????于是， 2| ( , ) | 1r t d r???我們將滿足上式的波函數(shù)稱為 歸一化波函數(shù) ，而該式稱為 歸一化條件 。 注意： 2( , )rt?與 2( , )rt?表示 意義區(qū)別 ？ 將 ? 換成 ? 的步驟稱為歸一化，使 換成 的常數(shù) C()r? ，如滿足平方可積條件 ? ?稱為 歸一化常數(shù) 。很顯然，對任何 一個波函數(shù) 2| ( , ) | 0r t d r A?????其中 A為常數(shù)，則有 2( , )1rtdrA????即 ( , )rtA? 是 歸一化的波函數(shù) ， 1A即 歸一化常數(shù) 。 因此， 歸一化條件相當(dāng)于波函數(shù)的平方可積條件 ， 這實(shí)質(zhì)上是要求 2|| dr???為有限值，如該條件不能 發(fā)散，則歸一化常數(shù) 為零， ( , )rt? 就不能被歸一化。 滿足，即 2|| dr???1A因此波函數(shù) 例：已知基態(tài)氫原子的電子由波函數(shù) 0( ) e x p ( )rrCa? ??描寫，試計(jì)算歸一化常數(shù) C。其中 為常數(shù)， 是玻爾半徑。 0a 解：為使 歸一化，要求 2 2 202 2 2 3001 | | | | e xp( 2 )4 | | e xp( 2 ) | |rd r C r drdarC r dr C aa???? ? ? ?? ? ????于是得 301||Ca??上式指出，歸一化常數(shù)只能確定到其絕對值。 因此，即使歸一化后，波函數(shù)仍有一 不確定 的相因子 e x p ( )i?為了方面，可取 C為正實(shí)數(shù)，于是歸一化波函數(shù)可寫作 3001( ) e x p ( )rraa???