【正文】 第三章 量子力學(xué)中的力學(xué)量 – 167。 1表示力學(xué)量的算符 ?167。 2 動量算符和角動量算符 ?167。 3 電子在庫侖場中的運動 ?167。 4 氫原子 ? 167。 5 厄密算符的本征值與本征函數(shù) ?167。 6 算符與力學(xué)量的關(guān)系 ?167。 7 共同本征函數(shù) ?167。 8 測不準(zhǔn)關(guān)系 一、算符定義 二、算符的一般特性 三、算符的本征值方程 167。 1 表示力學(xué)量的算符 代表對波函數(shù)進(jìn)行某種運算或變換的符號 212。 u = v 表示 212。 把函數(shù) u 變成 v， 212。 就是這種變 換的算符。 du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用 是對函數(shù) u 微商， 故稱為微商算符。 x u = v， x 也是算符。 它對 u 作用 是使 u 變成 v。 由于算符只是一種運算符號，所以它單獨存在是沒有意義的，僅當(dāng)它作用于波函數(shù)上，對波函數(shù)做相應(yīng)的運算才有意義，例如： 一、算符定義 算符的例子 ： zzyyxxrr ???? ?,?,?。? ??： zipyipxipipzyx?????????????????????,?,?。?： )(2? 22rUH ?? ???? ?)(22rUpH ??? ?經(jīng)典哈密頓函數(shù) 。? ???? ?? ipp（ 7）逆算符 （ 8）算符函數(shù) （ 9）復(fù)共軛算符 （ 10）轉(zhuǎn)置算符 （ 11）厄密共軛算符 （ 12） 厄密算符 （ 1）線性算符 （ 2）算符相等 （ 3）算符之和 （ 4）算符之積 （ 5）對易關(guān)系 （ 6）對易括號 二、算符的一般特性 線性算符 212。(c1ψ 1+c2ψ 2)= c1212。ψ 1+c2212。ψ 2 其中 c1, c2是任意復(fù)常數(shù)， ψ 1, ψ 1是任意兩個波函數(shù)。 算符相等 若兩個算符 212。、 219。對體系的任何波函數(shù) ψ 的運算結(jié)果都相 同，即 212。ψ= 219。ψ ，則算符 212。 和算符 219。 相等記為 212。 = 219。 Iip??單位算符動量算符 ??? ??例如： 開方算符、取復(fù)共軛就不是線性算符。 注意：描寫可觀測量的力學(xué)量算符都是線性算符，這是態(tài)疊加原理的反映。 算符之和 若兩個算符 212。、 219。 對體系的任何波函數(shù) ψ 有： (212。 + 219。)ψ=212。ψ+219。ψ=202。ψ 則 212。 + 219。 = 202。 稱為算符之和。 顯然，算符求和滿足交換率和結(jié)合率 。 之和。和勢能算符體系動能算符等于算符表明VTHH a m i l t o nVTH?????? ??例如：體系 Hamilton 算符 注意，算符運算沒有相減，因為減可用加來代替。 212。219。 = 212。+（ 219。）。 很易證明線性算符之和仍為線性算符。 算符之積 若 212。(219。ψ )=(212。219。)ψ=202。ψ 則 212。219。=202。 其中 ψ 是任意波函數(shù)。 一般來說算符之積不滿足交換律，即 212。219。 ≠ 219。212。 這是算符與通常數(shù)運算 規(guī)則的唯一不同之處。 對易關(guān)系 若 212。219。 ≠ 219。212。 ，則稱 212。 與 219。不對易。 ??? xxx xiixpx ???? ???? ?? )(?)1(證：??ixppxixppxxppxxxxxxx???????????所以是任意波函數(shù)，因為）（而??????? xxx xiixixp ???? ????? ??? )(?)2(對易關(guān)系 不對易。例如：算符???????xxipx??顯然二者結(jié)果不相等 ?????????izppziyppyzzyy????與共軛動量滿足同理可證其它坐標(biāo)算符0????0????0????0??0??0??0??0??0?????????????????????????????zxxzyzzyxyyxyyxxzzxxzzyyppppppppppppzppzzppzyppyyppyxppxxppxzyxppppixppx,0???????????????????????? ?量子力學(xué)中最基本的 對易關(guān)系。 對易。與對易，而與對易，與不對易；與對易，但是與對易，與zpzpppIIxpxpppIxyyxxyyx????)(????)(若算符滿足 212。219。 = 219。212。， 則稱 212。和 219。 反對易。 寫成通式 : 但是坐標(biāo)算符與其非共軛動量 對易，各動量之間相互對易。 注意：當(dāng) 212。 與 219。對易， 219。與 202。對易，不能推知 212。與 202。對易與否。 對易括號 為表述簡潔，運算便利和研究量子力學(xué)與 經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，定了 對易括號： [212。,219。 ]≡212。219。 219。212。 坐標(biāo)和動量的對易關(guān)系 可改寫成如下形式： 不難證明對易括號滿足如下對易關(guān)系： 1) [212。,219。] = [219。,212。] 2) [212。,219。+202。] = [212。,219。 ] + [212。, 202。] 3) [212。,219。202。] = [212。,219。]202。+ 219。[212。,202。] 4) [212。,[219。,202。]] + [219。,[202。, 212。]] + [202。,[ 212。,219。]] = 0 上面的第四式稱為 Jacobi 恒等式。 ???? ??ipx ?]?,[返回 逆算符 1. 定義 : 設(shè) 212。ψ=φ, 能夠唯一的解出 ψ, 則可定義 算符 212。 之逆 212。1為 :212。1 φ = ψ 并不是所有算符都存在逆算符 ,例如投影算符就不存在逆 . I: 若算符 212。 之逆 212。1 存在 ,則 212。 212。1= 212。1 212。=I , [212。 , 212。1]=0 證 : ψ=212。 1φ= 212。 1(212。 ψ)=212。 1 212。ψ 因為 ψ 是任意函數(shù) ,所以 212。1 212。 = I成立 . 同理 , 212。 212。1 = I 亦成立 . II: 若 212。, 219。 均存在逆算符 , 則 (212。 219。)1 = 219。1 212。1 例如 : nnFnxxFn!)0(0)()( ????設(shè)給定一函數(shù) F(x), 其各階導(dǎo)數(shù)均存在 , 其冪級數(shù)展開收斂 則可定義算符 219。 的函數(shù) F(219。)為 : nnFnUUF n ?)?( ! )0(0)(????ninntHitHe ]?[!10??? ?? ????算符函數(shù) 復(fù)共軛算符 算符 219。的復(fù)共軛算符 219。*就是把 219。表達(dá)式中 的所有量換成復(fù)共軛 . piip?*)(*????????????例如 : 坐標(biāo)表象中 是兩個任意函數(shù)。和式中定義為：的轉(zhuǎn)置算符算符???????? ?? ? *?~?*~??UdUdUUABBA~?~?)??( ?可以證明： 轉(zhuǎn)置算符 xx ???? ??~1：例?? ??? ?? ?? xdx ~*證：利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件 :當(dāng) |x|→∞ 時 ψ, ?→ 0 。 0)(* ~ ??? ??? ???? ??xxdxxxxx ???????? ????? ~~ 0)(xx pp ?~? ??由于 ψ 、 φ 是任意波函數(shù) , 所以 ? ??? ??? *?? xdx? ??? ??? ?? ?? ???? xdx *|* ? ??? ???? ?? xdx *同理可證 : 1厄密共軛算符 ?????? ?? ?? *)?(?* OdOd?????? ?? ?? *)?(?* OdOd由此可得： : 轉(zhuǎn)置算符 的定義 *~?? OO ??厄密共軛 算符亦可 寫成： 算符 212。 之厄密共軛算符 212。+ 定義 : 可以證明 : (212。 194。 )+ = 194。+ 212。 + (212。 194。 219。...)+ = ... 219。+ 194。 + 212。 + ?? *)]?(*[ ??? Od?? **? ??? Od????? *~?* Od1厄密算符 1. 定義 : 滿足下列關(guān)系的算符稱為厄密算符 . OOOdOd??*)?(?*?????或??????2. 性質(zhì) 性質(zhì) I:兩個厄密算符之和仍是厄密算符。即若 212。 + = 212。 , 219。+ = 219。 則 (212。+219。)+ = 212。 + + 219。+ = (212。+219。) 性質(zhì) II: 兩個厄密算符之積一般不是厄密算符 , 除非二算符對易。 因為 (212。 219。)+ = 219。+ 212。 + = 219。 212。 ≠ 212。 219。 僅當(dāng) [212。 , 219。] = 0 成立時 , (212。 219。)+ = 212。 219。 才成立。 例：證明坐標(biāo)和動量算符是厄米算符，以一維為例。 xx ??)1( 坐標(biāo)算符?????? dxdx ?? ? *)()(*?設(shè) 和 是任意的兩個波函數(shù)，顯然有 ?(x為實數(shù) x*=x) 所以坐標(biāo)算符是厄米算符 xip ???? ??)2( 動量算符dxxidxp )(*)?(* ???????? ?? ??????????設(shè) 和 是任意的兩個波函數(shù)，有 ?dxxi???? ??????? *?????????????? ????????? dxxi**?????dxxi??? ?????*??? dxp ???????? *)?(.0??? ?? ，時，利用了 x所以動量算符是厄米算符 ????? ?FFFFH E HE??? ? ?? ? ?????　 　 如 果 一 個 算 符 作 用 于 一 個 函 數(shù) ， 結(jié) 果 等 于 乘上 一 個 常 數(shù) ，　 　 　 　 　 （ 2 ）則 稱 為 的 本 征 值 ， 為 屬 于 的 本 征 函 數(shù) 。 上 式 (2) 稱為 算 符 的 本 征 值 方 程 。　 　 如 定 態(tài) 薛 定 諤 方 程 ， 是 哈 密 頓 算 符 的 本 征值 方 程 ， 為 本 征 值 ?！?　 舉 例 ： 無 限 深 勢 阱 ， 一 維 線 形 諧 振 子 。三、算符的本征值方程 三、力學(xué)量用線性厄米算符表示－量子力學(xué)的基本假設(shè) 并不是任意形式的數(shù)學(xué)算符都可以用來表示力學(xué)量， 能用來表示力學(xué)量的算符受到物理條件的限制： 算符的作用不應(yīng)該鋪貨波函數(shù)的疊加原理。 算符對應(yīng)的本征值應(yīng)該是實數(shù)。 二、力學(xué)量用厄米算符表示 (Hermit operator) １、當(dāng)體系處于定態(tài)，即哈密頓算符 的本征態(tài) 時，能量有確定值 ， 即本征值。當(dāng)體系處于動量算符的本征態(tài) 時，動量有確定值，這個值即 在 態(tài)中的本征值。 ２、算符 表示力學(xué)量 ，當(dāng)體系處于 的本征態(tài) 時，力學(xué)量有確定值，這個值即 在 態(tài)中的本征值。 因為所有力學(xué)量的數(shù)值都是實數(shù)，而表示力學(xué)量的算符的本征值就是測量此力學(xué)量的可能值，所以，表示力學(xué)量算