【正文】 對于更復(fù)雜的體系，其薛定諤方程的具體表達(dá)式，關(guān)鍵在于寫出其哈密頓算符。 這表明，算符 di dt和 2 2 ()2 Vrm? ? ?是相當(dāng)?shù)模?這即可以從它們作用于定態(tài) （ 19） 式的結(jié)果看出，也可以從薛定諤方程 （ 8） 看出，它們作用于體系的任意一個(gè)波函數(shù)上都是相當(dāng)?shù)?。由此可見，?dāng)體系處于（ 19） 式所描寫狀態(tài)時(shí)， 能量具有確定值 E，所以這種狀態(tài)稱為 定態(tài) ，這里與時(shí)間無關(guān)的波函數(shù) ，是能量為 E時(shí)的下列方程 之中。 提示：利用 ? ?0x? ，? ? 2, e x p [ ] e x p [ ]4 2m i m x m xixt t t t???? ? ? ? （ ）1 ,02i k xk x e d x????????? ?（ ） （ ）24l i m i i a xaa e e x? ?????? （ ）書中 P26，第 5題 證明： 的 Fourier展開為 ? ?,xt?1, e x p [ ( ) ]2x t k i k x t d k? ? ?????????（ ） （ ）21e x p [ ( ) ]22 kk i k x t d km????????? （ ）221 m x m xe x p { [ ( ) ] }2 t t2tk i k dm k??????? ? ? ?? （ ） （ ）221 2 m x m x2e x p ( ) { e x p ( ) e x p [ ( ) ] } e x p ( )44 2 t 2 t2tmt miik i k i d ktm??????????? ? ? ?? （ ）21 2 m x m xe x p ( ) e x p ( )4 t 2 t2 mik k i d kt?????????? ? ?? （ ） （ ）2e x p [ ] e x p [ ]4 2m i m x m xit t t? ?? ? ? ? （ ）E??22pEm?pk?? 不含時(shí)間的薛定諤方程，定態(tài) ?定態(tài) 在一般情況下，從初始狀態(tài) ( , 0)r?求 ( , )rt?是不容易的（在后面將介紹近似方法求解它）。, 39。)G r t r tr?r( , 。, 39。, 39。因此，可以一般地說，如在時(shí)刻 t’ 粒子位于點(diǎn) ，則在 t 時(shí)刻在空間點(diǎn) 找到由 傳來的粒子幾率波幅就是 ，即粒子從 傳播到了 。 39。 39。)G r t r t( , )rt?( 39。, 39。()tt? 稱為 傳播子 。)e xp2 ( 39。, 39。) ( 39。)( 2 )39。 e x p [ ( 39。) ] ( 39。 在一般情況下，這個(gè)初值問題的求解是不容易的，往往要采用近似方法，但對于自由粒子容易嚴(yán)格求解。而電子是費(fèi)米子，不可能有兩個(gè)電子處于同一狀態(tài)（ Pauli 原理 )，故一般認(rèn)為不會(huì)有宏觀體現(xiàn)，但低溫超導(dǎo)提供了反例：超導(dǎo)是金屬中大量的 電子庫泊 (Cooper)對 的相干關(guān)聯(lián)產(chǎn)生的現(xiàn)象，此時(shí) 電子對可近似地看成 玻色子。 電荷守恒定律表明，在全空間粒子的電荷總量不隨時(shí)間變化 。 （ 9） ? ?3 / 2 ,0r ? ?????? 幾率流密度（粒子流密度）守恒定律 我們知道在時(shí)刻 t，在點(diǎn) 周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度，它可表為 *( , ) ( , ) ( , )r t r t r t? ? ? ?于是，由上述推導(dǎo)可看出，顯然有 ** * *() Jt t t?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?0Jt?? ? ? ? ??即 （ 10） r此即 幾率守恒的微分表達(dá)式 ，其形式與流體力學(xué)中的連續(xù)性方程一樣。 從物理上看，薛定諤方程是非相對論性量子力學(xué)的基本方程（目前我們的討論局限于非相對論量子力學(xué)）。 式 （ 8） 就是勢場 ()Vr 作用下的 薛定諤 方程。 通常我們稱 i t??和 i?? 分別為 能量 和 動(dòng)量 算符 。 （ 1） （ 2） 再對 （ 1） 式求對坐標(biāo)的二次微商，得 222222222222xyzxyz???? ? ?????? ? ?????? ? ??將以上三式相加，得到 2 2 2 222 2 2 2x y z? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?（ 3） 利用自由粒子的能量和動(dòng)量關(guān)系式（非相對論情形） 22m???式中 m是粒子質(zhì)量，并比較 （ 2） 和 （ 3） 式，即可得到 222i tm?? ? ? ? ??上式表明，至少對自由粒子來說，平面波的解可由方程 （ 5） 的一個(gè)特解給出 。因此，和經(jīng)典力學(xué)類似，理論的核心問題 是：已知某一初始時(shí)刻 t0 的波函數(shù)，設(shè)法確定以后各時(shí)刻的波函數(shù)。方程的系數(shù)只含有粒子的質(zhì)量 m。 薛定諤（ Schr246。當(dāng)我們用坐標(biāo)表象中的波函數(shù)來計(jì)算動(dòng)量平均值時(shí)，需要引進(jìn) 動(dòng)量算符 ，除此之外，能量算符和角動(dòng)量算符也可依此引進(jìn)： 22??()2?()?()?()?()x z yy x zz y xpiH V rmL r iL y p zp i y zzyL zp x p i z xxzL x p y p i x yyx? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? ?????? ? ? ? ???(30) 一般地，微觀粒子的任何一個(gè)力學(xué)量 F的平均值總可以表示為 * ?o o d r??? ? ? ??? ? ?( , ) ( , )O O r p O r i? ? ? ?p 其中 是力學(xué)量 相應(yīng)的算符。如果 是 的解析函數(shù)，且可展成 的冪級數(shù) * ?( , ) ( , )n nxxp r t p r t d r??? ?yp zp() nx n xnG p C p? ?(25) (24) ()xGp xpxp 則有 * ?( ) ( ) ( , ) ( , )nnx x n x n xnnG p G p C p C r t p r t d r??? ? ? ? ??? ?* ?( , ) ( , )nnxnr t C p r t d r??? ??* ?( , ) ( ) ( , )xr t G p r t d r??? ?* ( , ) ( ) ( , )r t G r t d rix??????(26) 上面的結(jié)果立即可以推廣到三維情形： *( ) ( , ) ( ) ( , )G p r t G p r t d r??? ?* ( , ) ( ) ( , )r t G r t d ri?????22*2()22pT T drmm ???? ??? ?? ? ??例如，動(dòng)能的平均值是 (28) (27) （ 18）式表明：動(dòng)量的平均值依賴于波函數(shù)的梯度 。*3239。而 由公式 p?? p p d p??2( , )p t d p? ( , )pt? 這里已經(jīng)用了若 歸一，則 也歸一的條件。對以波函數(shù) 描寫的狀態(tài)，按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋， 表示在 t時(shí)刻在 中找到粒子的幾率，因此坐標(biāo) 的平均值顯然是 ( , )rt?2( , )r t dr?r r d r??r2* ( , ) ( , )( , )r t r r t d rrrr t d r???????????? ? ? ???(11) 假設(shè)波函數(shù) 已經(jīng)歸一化，即 則上式可寫為 ( , )rt? 2( , ) 1r t d r???????* ( , ) ( , )r r r t r r t dr???????? ?? ? 坐標(biāo) 的函數(shù) 的平均值是 r ()Fr*( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )F r F r r t F r r t d r???????? ?? ?(12) 這里假設(shè)波函數(shù)已歸一化 其物理意義和我們對 所做的解釋一樣：它是對 N個(gè)大量數(shù)目的、等價(jià)的，彼此獨(dú)立的且由同一波函數(shù) 表示的體系做 測量結(jié)果的平均值。一般認(rèn)為，一旦給出了波函數(shù) ，就確定了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。利用統(tǒng)計(jì)平均的方法，可以算出該力學(xué)量的平均值，進(jìn)而和實(shí)驗(yàn)觀測值做比較。但是，人們必須堅(jiān)持這一事實(shí)，即 測不準(zhǔn)關(guān)系的根本意義已經(jīng)包含在數(shù)量級的結(jié)果之中 ，這并未低估嚴(yán)格陳述可能有的優(yōu)點(diǎn)： 在任何情況下，都不能認(rèn)為量子粒子同時(shí)有嚴(yán)格精確的位置和嚴(yán)格精確的動(dòng)量。 圖表示這兩個(gè)波包的 函數(shù) 2| ( ) |p? 在點(diǎn) p0 出現(xiàn)十分尖銳的峰值， p0 的 0 ( / )p p n a???時(shí)達(dá)到），極小值被一些 極 20[1 /( ) ]pp? 減小，人們可以 ()p? 主要地集中在 主 | ( ) |p? 的第 一對 2/pa??? 之間。下面我們將看到，對于微觀粒子原則上這是不可能的。這兩種表示是完全等價(jià)的 . 為自變量， 關(guān)于 表象理論 ，以及關(guān)于上述坐標(biāo)空間和動(dòng)量空間的嚴(yán)格意義，我們在后面將作深入討論。而 (1)式中 ( , )pt?3 / 21( , ) ( , ) e xp [ ]( 2 ) x y zip t r t p r dp dp dp???? ? ????3 / 21( , ) ( , ) e xp[ ]( 2 ) x y zir t p t p r dp dp dp????? ???為 這個(gè)結(jié)論的證明是很簡單的：事實(shí)上，將 (2)代入 (1)式后給出 (3) (4) (3)和 (4)式說明 ( , )rt? 和 ( , )pt? 互為傅立葉 (Fourier)變換式 ，因而在一般情況下總是成立的。但當(dāng)入射粒子以包含不同動(dòng)量的波包入射到晶體上，粒子的狀態(tài) 可以表示為取各種可能的動(dòng)量值 的平面波的線性疊加 ： p? 粒子經(jīng)過晶體表面反射后所產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象，就是這許多平面波 p?相互干涉的結(jié)果。 s i nd d d????? ?,??? ?? ?? ?2202202 / 220 0 0, , sin, , sinsin , ,r r d r d dr r d r d dd d r r dr??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ?????????????? ? ?五、動(dòng)量波函數(shù)和動(dòng)量分布幾率 當(dāng)粒子的波函數(shù)為 ( , )rt? 時(shí) ,若測量粒子的位置 , 得結(jié)果是不確定的 ,但測得粒子在某個(gè)具體位置的幾率是確定的。 因此，即使歸一化后，波函數(shù)仍有一 不確定 的相因子 e x p ( )i?為了方面，可取 C為正實(shí)數(shù)，于是歸一化波函數(shù)可寫作 3001( ) e x p ( )rraa????， ? 試對下列波函數(shù)進(jìn)行歸一化 ? ? ? ?e x p , 0 , 0x i k x a x a k a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?22e x p / , 0x x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ?? 多粒子體系的波函數(shù) 以上關(guān)于單粒子波函數(shù)的討論，很容易推廣到 N個(gè)粒子體系的情況，它的波函數(shù)可表為 1( , , , )Nr r t?3311| ( , , , ) |NNr r t d r d r? 表示 t時(shí)刻 1 1 1( , )r r d r?粒子 2出現(xiàn)在 2 2 2( , )r r d r? … … … … … 粒子 N出現(xiàn)在 ( , )N N Nr