【正文】 ?， ? 試對(duì)下列波函數(shù)進(jìn)行歸一化 ? ? ? ?e x p , 0 , 0x i k x a x a k a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?22e x p / , 0x x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ?? 多粒子體系的波函數(shù) 以上關(guān)于單粒子波函數(shù)的討論，很容易推廣到 N個(gè)粒子體系的情況，它的波函數(shù)可表為 1( , , , )Nr r t?3311| ( , , , ) |NNr r t d r d r? 表示 t時(shí)刻 1 1 1( , )r r d r?粒子 2出現(xiàn)在 2 2 2( , )r r d r? … … … … … 粒子 N出現(xiàn)在 ( , )N N Nr r d r?粒子 1出現(xiàn)在 中 中 中 的幾率。 此時(shí) 歸一化條件表為 2 3311| ( , , , ) | 1NNr r t d r d r???以后，為表達(dá)簡(jiǎn)便，引進(jìn)符號(hào) *2( , ) | |dd??? ? ? ? ? ? ???這樣歸一化條件就簡(jiǎn)單地寫(xiě)為 ( , ) 1? ? ? 波函數(shù) 、 幾率密度的概念對(duì)于推動(dòng)化學(xué)由純經(jīng)驗(yàn)學(xué)科向理論學(xué)科發(fā)展起著極為重要的作用 . 現(xiàn)代化學(xué)中廣泛使用的原子軌道 、 分子軌道 , 就是描述原子 、 分子中電子運(yùn)動(dòng)的單電子波函數(shù) : 而 “ 電子云 ” 就是相應(yīng)的幾率密度 : 按照哥本哈根學(xué)派的觀點(diǎn) , 幾率在量子力學(xué)中是原則性的 、 基本的概念 . 原因在于微觀世界中不確定原理起著明顯的作用 . 波函數(shù) 已經(jīng)歸一化，則 表示 絕對(duì)幾率密度 ，否則為 相對(duì)幾率密度 ，以后無(wú)特殊說(shuō)明，所求幾率密度和幾率都是絕對(duì)幾率密度和絕對(duì)幾率 量子力學(xué)基本假設(shè)之一： 在量子力學(xué)中，體系狀態(tài)用波函數(shù) （也稱(chēng)為態(tài)函數(shù)）來(lái)描述，一般要求波函數(shù)是 單值的、連續(xù)的、平方可積的 ，波函數(shù)一般是復(fù)數(shù)，波函數(shù)模的平方 給出體系的狀態(tài)的幾率分布（波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋?zhuān)? ?2?2?注意： ?自由粒子波函數(shù)一般用 平面波函數(shù) 表示即： ? ?? ?? ?1 / 21 e x p /2x ip x???? ?? ?? ?3 / 21 e x p /2r i p r???（一維） （三維） ? ? ? ? ? ?, , , , , ,x y z x y z x y z dx dy dz? ? ?? ? ???其次，在整個(gè)空間找到粒子的幾率之和為 1 例題 1：設(shè)粒子波函數(shù)為 ，求在 范圍內(nèi)找到粒子的幾率（或概率）書(shū) P8 ? ?,x y z? ? ?,x x d x?解：首先波函數(shù)必須歸一化 故在 范圍內(nèi)找到粒子的幾率，應(yīng)該將y， z兩個(gè)變量積分掉，即 ? ?,x x d x?? ?? ? ? ?22, , , ,x y z dy dz dxx y z dy dz dx x y z dx dy dz????? ????? ??????????? ???如果波函數(shù) 是歸一化的，結(jié)果怎樣？ ? ?,x y z?? ?? ?? ?2 / 220 0 0,sin , ,rrd d r r dr??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ? ?其次，在整個(gè)空間找到粒子的幾率之和為 1 解：首先波函數(shù)必須歸一化 例題 2：設(shè)粒子波函數(shù)為 ，求 （ a）粒子在球殼 中被測(cè)到的幾率； （ b）在 方向的立體角元 中找到粒子的幾率。書(shū) P8 ? ?,r? ? ?? ?,r r d r?? ?,?? s ind d d? ? ???故 （ a）粒子在球殼 中被測(cè)到的幾率，應(yīng)該將 θ ， 兩個(gè)變量積分掉，即 ? ?,r r d r??? ?? ?? ?2 / 2 22002 / 2 22002 / 220 0 0, , si n, , si nsi n , ,d r d r drd r d r drd d r r dr??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ???????????????? ? ?（ b）同理在 方向上的立體角元 中找到粒子的幾率，應(yīng)該將 r積分掉。 s i nd d d????? ?,??? ?? ?? ?2202202 / 220 0 0, , sin, , sinsin , ,r r d r d dr r d r d dd d r r dr??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ?????????????? ? ?五、動(dòng)量波函數(shù)和動(dòng)量分布幾率 當(dāng)粒子的波函數(shù)為 ( , )rt? 時(shí) ,若測(cè)量粒子的位置 , 得結(jié)果是不確定的 ,但測(cè)得粒子在某個(gè)具體位置的幾率是確定的。那么 ,測(cè)量粒子的其它物理量例如 動(dòng)量 ,能量及角動(dòng)量 等 ,情況將如何 ?先討論動(dòng)量。 則一般來(lái)說(shuō) ,所 若波函數(shù)為波包的電子垂直入射到單晶晶面上，衍射譜應(yīng)該測(cè)得動(dòng)量的幾率分布，即 2( , )pt?在前述電子在晶體表面衍射的實(shí)驗(yàn)中，粒子在晶體表面反射后，得到了的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)。以一個(gè)確定的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)用波函數(shù) ( , ) e x p [ ( ) ]ir t A t p r? ? ? ? ? ? ?( , ) ( ) ( , )r t p r t? ? ? ??? ?描寫(xiě)。但當(dāng)入射粒子以包含不同動(dòng)量的波包入射到晶體上，粒子的狀態(tài) 可以表示為取各種可能的動(dòng)量值 的平面波的線性疊加 ： p? 粒子經(jīng)過(guò)晶體表面反射后所產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象，就是這許多平面波 p?相互干涉的結(jié)果。 可以連續(xù)地變化，因此上式中對(duì) 求和 由于 應(yīng)以對(duì) px, py, pz 積分來(lái)代替。 pp 都可以看成是各種不同動(dòng)量 的平面波的疊加。 下面來(lái)證明：任何一個(gè)波函數(shù) ( , )rt?( , ) ( , ) ( ) x y zpr t p t r d p d p d p? ? ?? ???(1) 式中 3 / 21( ) e xp [ ]( 2 )pir p r????(2) 這里我們已取平面波的歸一化常數(shù) A等于 3 / 2( 2 )? ?其理由將在后面詳細(xì)討論。而 (1)式中 ( , )pt?3 / 21( , ) ( , ) e xp [ ]( 2 ) x y zip t r t p r dp dp dp???? ? ????3 / 21( , ) ( , ) e xp[ ]( 2 ) x y zir t p t p r dp dp dp????? ???為 這個(gè)結(jié)論的證明是很簡(jiǎn)單的：事實(shí)上，將 (2)代入 (1)式后給出 (3) (4) (3)和 (4)式說(shuō)明 ( , )rt? 和 ( , )pt? 互為傅立葉 (Fourier)變換式 ，因而在一般情況下總是成立的。由以上討論可以看出： r當(dāng) ( , )rt? 給定后， ( , )pt? 就可由 (3)式完全確定， 反之，當(dāng) ( , )pt? 給定后， ( , )rt? 就可由 (4)式 確定。 由此可見(jiàn)， ( , )rt? 和 ( , )pt?是 同一狀態(tài)的兩種不同的描述方式 ， 互相等效 。 完全 是 量子態(tài) 以 為自變量，在 坐標(biāo)空間 的 稱(chēng) ( , )rt? r表示 (波函數(shù) )， ( , )pt? 是 量子態(tài) 在以 p在 動(dòng)量空間 的表示（動(dòng)量幾率分布函數(shù)）。這兩種表示是完全等價(jià)的 . 為自變量， 關(guān)于 表象理論 ，以及關(guān)于上述坐標(biāo)空間和動(dòng)量空間的嚴(yán)格意義，我們?cè)诤竺鎸⒆魃钊胗懻摗? 利用復(fù)變函數(shù)中的巴塞瓦等式，不難證明 22| ( , ) | | ( , ) | 1p t d p r t d r?? ????2( , ) | ( , ) |p t p t??? 我們稱(chēng)在時(shí)刻 t，在 點(diǎn)附近單位體積內(nèi)找到粒子的幾率為 動(dòng)量表象的幾率密度 ，并以 ( , )t??( , )rt? 是已經(jīng)歸一化的波函數(shù)，則 ( , )pt?這表明：如果 也是歸一化的波函數(shù)。 表示： p(6) (5） 在一維情況下， (3)式和 (4)式寫(xiě)為 1 / 21 / 21( , ) ( , ) e x p [ ]( 2 )1( , ) ( , ) e x p [ ]( 2 )ix t p t p x d pip t x t p x d x??????????????????(7) 時(shí)，量子力學(xué)將回到經(jīng)典力學(xué)，或者說(shuō) 量子效應(yīng) 可以忽略。 微觀粒子不可能靜止 ,靜止意味著粒子坐標(biāo)和動(dòng)量可以同時(shí)取確定值 ,違反了測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 . 在經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)不僅有一定的動(dòng)量，并且每個(gè)時(shí)刻都有確定的位置。下面我們將看到，對(duì)于微觀粒子原則上這是不可能的。在同一時(shí)刻，粒子只可能有在一定限度以?xún)?nèi)的比較確定的動(dòng)量和比較確定的位置。 Heisenberg的不確定關(guān)系 (也稱(chēng)為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 )為 / 2 , / 2 / 2x y zp x p y p z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?六、不確定度關(guān)系 上式表明微觀粒子的位置（坐標(biāo)）和動(dòng)量 不可能同時(shí)取確定值 ，這是 波粒二象性 的反映，當(dāng) 0?0?0?可以參看書(shū) P11例題 1－例題 3 我們考慮 “ 方脈沖 ” 作為另一個(gè)例子 0e x p [ / ] ||( ) ||0ip x xax fo rxa???? ???它延伸到在點(diǎn) x = 0 周?chē)囊粋€(gè) 2a 的區(qū)域。在這種情況下，有 00()2/( ) s in p p appp?? ???2| ( ) |x? 以及 2| ( ) |p? 的曲線。 圖表示這兩個(gè)波包的 函數(shù) 2| ( ) |p? 在點(diǎn) p0 出現(xiàn)十分尖銳的峰值， p0 的 0 ( / )p p n a???時(shí)達(dá)到），極小值被一些 極 20[1 /( ) ]pp? 減小，人們可以 ()p? 主要地集中在 主 | ( ) |p? 的第 一對(duì) 2/pa??? 之間。 2xa??的光延越小， p?兩邊圍繞著一些相繼減小的極小值 大值分開(kāi)，極大值高度按 說(shuō)波 峰值兩邊的 零點(diǎn)之間，亦即廣延于 越大： （在 4 / 2xp ?? ? ? ? ? 迄今為止， 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 是作為 數(shù)量級(jí) 的關(guān)系表示出來(lái)的。當(dāng)然，在我們還沒(méi)有對(duì)量度各種不確定度的量 △ x,△ p，等等采用一種精確的定義之前，這是不可避免的。對(duì)這些量采用適當(dāng)?shù)亩x以后，我們將得到一種精確的陳述。但是，人們必須堅(jiān)持這一事實(shí)，即 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的根本意義已經(jīng)包含在數(shù)量級(jí)的結(jié)果之中 ，這并未低估嚴(yán)格陳述可能有的優(yōu)點(diǎn)： 在任何情況下，都不能認(rèn)為量子粒子同時(shí)有嚴(yán)格精確的位置和嚴(yán)格精確的動(dòng)量。 賦予粒子以精確位置和動(dòng)量的想法值在作用量子可以忽略的程度內(nèi)，也就是在經(jīng)典理論成立的范圍內(nèi)，才是正確的。 ? 時(shí)間 — 能量測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 /2tE? ? ? 是處于某個(gè)能級(jí)的寬度， 是粒子呆在對(duì)應(yīng)能級(jí)上的平均時(shí)間（或壽命），原子在激發(fā)態(tài)上是不穩(wěn)定的，即只存在一定時(shí)間，因此根據(jù)時(shí)間－能量測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系可知，激發(fā)態(tài)能級(jí)存在一定寬度，這就是原子光譜存在自然寬度 的原因，也是激光所發(fā)出的光不可能 只包含一種波長(zhǎng) 的原因。 E? t?力學(xué)量出現(xiàn)的各種可能值的相應(yīng)幾率就完全確定。利用統(tǒng)計(jì)平均的方法，可以算出該力學(xué)量的平均值，進(jìn)而和實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值做比較。 原則上，一切力學(xué)量的平均值都能由 給出，而且這些平均值就是在 所描寫(xiě)的狀態(tài)下相應(yīng)的力學(xué)量的觀測(cè)結(jié)果 。在這種意義下，一般認(rèn)為，波函數(shù)