【正文】 r d r?粒子 1出現(xiàn)在 中 中 中 的幾率。 因此， 歸一化條件相當(dāng)于波函數(shù)的平方可積條件 ， 這實(shí)質(zhì)上是要求 2|| dr???為有限值，如該條件不能 發(fā)散，則歸一化常數(shù) 為零， ( , )rt? 就不能被歸一化。 例如，在空間點(diǎn) 應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出，對(duì)于幾率分布來說，重要的是相對(duì) 幾率分布。 ?注意 :體積元表示為下列四種形式均可 dr 3dr d? dV在直角坐標(biāo)系中 : d d x d y d z? ?在柱坐標(biāo)系中 : d r d r d d z???在球坐標(biāo)系中 : 2 s i nd r d r d d? ? ? ??與波函數(shù) 描述的相對(duì)幾率完全相同，換言之， 和 所描述的幾率波是完全相同的。故波函數(shù)在其變量變化的全部區(qū)域內(nèi)通常應(yīng)滿足三個(gè)條件： 平方可積性 （ 有限性） 、 連續(xù)性 和 單值性 。 自由粒子的波函數(shù) : 具有確定能量 E和動(dòng)量 (平面單色波 )時(shí) : p?3 / 2 ( ) /( , ) ( 2 ) i p r E tr t e?? ???經(jīng)典平面單色波波動(dòng)式為 ) c o s ( trkA ??? ?? i ( )k r tAe ???由 de Broglie物質(zhì)波假設(shè) , E p k???可假定 （應(yīng)取實(shí)部） 一維情形 : ( ) /1 / 2( , ) ( 2 )xi p x E tx t e?? ???mpE22??非相對(duì)論情形 2 ﹑ 波函數(shù)的幾率詮釋 物質(zhì)波的波強(qiáng)應(yīng)正比于波函數(shù)的模的平方 ),(),(|),(| *2 trtrtr ??? ???? 由物質(zhì)波的幾率詮釋就可知 , 2|),(| tr?? 應(yīng)描寫了粒子出現(xiàn)在空間各點(diǎn)的 幾率分布 （或幾率密度） , 即 2| ( , ) |r t x y z? ? ? ?點(diǎn)處的體積元 ?x?y?z中 r?表示 在 t時(shí)刻在空間中 粒子出現(xiàn)的幾率 。它是粒子位置坐標(biāo)和時(shí)間的復(fù)值函數(shù)，是不可測(cè)量的。即 物質(zhì)波的 Born幾率詮釋 : 物質(zhì)波是幾率波 這就是說 根據(jù)物質(zhì)波的這個(gè)幾率詮釋 , 粒子的波動(dòng)性體現(xiàn)在與粒子出現(xiàn)在空間各點(diǎn)的幾率相聯(lián)系的波的波動(dòng)性上。 三、 電子雙縫實(shí)驗(yàn) 干涉圖樣的 Born幾率詮釋 電子通過雙縫后的 數(shù)密度分布呈現(xiàn)干涉圖樣反映了電子的波粒二象性 , 從而我們可得到物質(zhì)波的 Born幾率詮釋。我們無法用我們的經(jīng)典觀念來解釋電子是怎樣通過雙縫而產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的，我們只好說 當(dāng)實(shí)驗(yàn)確定電子是從哪條縫穿過時(shí)，這個(gè)對(duì)電子位置的測(cè)量過程實(shí)際上已經(jīng)干擾了電子原來的狀態(tài)，使得電子由原來的具有波粒二象性的狀態(tài)突變到僅具有粒子性的狀態(tài)，因而沒有干涉現(xiàn)象發(fā)生。這樣，穿過該縫的電子必定同時(shí)散射光子。為什么檢測(cè)器接受的總是整個(gè)的電子，從未發(fā)現(xiàn)半個(gè) ? 怎樣理解電子在上述雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中的這種行為 ? 如果說電子是“波”，但實(shí)驗(yàn)測(cè)得的是一個(gè)一個(gè)的電子。 ?1??2?2112 ??? ??12? 當(dāng)實(shí)驗(yàn)使電子從 確定的狹縫 通過時(shí) ,電子表現(xiàn)得象粒子。經(jīng)過長時(shí)間的數(shù)據(jù)積累，可得到如圖 c所示的電子數(shù)密度分布曲線 ?12(x) ， 得到的強(qiáng)度分布 I12(x) (見該圖 c)，具有明顯的干涉效應(yīng)特征。 現(xiàn)在先把縫 2遮住，只允許電子從縫 1通過。每次只有單個(gè)電子通過儀器。 如圖 a所示。 主要表現(xiàn)： 波－粒兩象性 （ 粒子 ） （波） （ Planck假設(shè) ） Einstein關(guān)系 Ep?? Eh ????一、 實(shí)物粒子的波動(dòng)性 167。 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 （ de Broglie假設(shè)） de Broglie關(guān)系 具有確定動(dòng)量的 自由粒子 被一 平面波 所描 述 pk? hP? ?2k ??? ?? ?波 數(shù) ， ( ) ( )i k r t i p r E tA e A e?? ? ?? ? ? 將粒子所具有的微粒性和波動(dòng)性統(tǒng)一起來 ， 這在經(jīng)典物理學(xué)中看來是不可能的 ， 因 經(jīng)典粒子 經(jīng)典波 √ 原子性 （ 整體性 ） 實(shí)在物理量的空間分布 軌道 √ 干涉 ， 衍射 這兩者是不相容的 。 在實(shí)驗(yàn)中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，咔噠聲出現(xiàn)的節(jié)奏是不規(guī)則的，但在每處較長時(shí)間內(nèi)的平均次數(shù)是近似不變的，它與電子槍發(fā)出的電子流強(qiáng)成正比。這時(shí)如果我們?cè)诤笳仙细魈幉紳M檢測(cè)器，則會(huì)發(fā)現(xiàn)，每次只有一個(gè)檢測(cè)器發(fā)出咔噠聲。記錄后障上各處檢測(cè)到電子的數(shù)目。 直到 1970年代才有人發(fā)表干涉實(shí)驗(yàn)的結(jié) 果。當(dāng)實(shí)驗(yàn) 不確定使電子從哪一條狹縫通過 時(shí) ,電子表現(xiàn)得象波。 上世紀(jì)九十年代中后期的 “ 哪條路檢測(cè)器 ” 實(shí)驗(yàn)結(jié)果是，每個(gè)電子都只穿過一條縫 ,從未觀察到某個(gè)電子同時(shí)穿過兩縫的情況。探測(cè)有無散射光子原則上就可判定是從哪條縫穿過的。 電子是以它自己的獨(dú)特方式穿過雙縫的。 后障上某點(diǎn) x鄰域內(nèi) 的 干涉花樣強(qiáng)度 正比于 該點(diǎn) x鄰域內(nèi)的 電子 數(shù)密度大小 , 正比于 出現(xiàn)在該點(diǎn) x鄰域內(nèi)的 電子 數(shù)目 ， 正比于 電子 出現(xiàn)在該點(diǎn) x鄰域內(nèi)的 幾率 。這樣 ,粒子的波動(dòng)性只是反映了微觀客體運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 描述物質(zhì)波的量不應(yīng)是一個(gè)可測(cè)的量。 這就是波函數(shù)的 幾率詮釋 ,也就是物質(zhì)波的幾率詮釋，是 M. Born研究散射問題時(shí)提出的。這三個(gè)條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件 。因此， 波函數(shù)有一個(gè)常數(shù)因子的不確定性。不難看出 ()r? 與 ()Cr? （ C為常數(shù)） 1r和 的相對(duì)幾率，波函數(shù) ()Cr?描述的粒子的 相對(duì)幾率 為 22112222| ( ) | | ( ) || ( ) | | ( ) |C r rC r r?????()r?()r?()Cr?2r按上述解釋，我們得出結(jié)論 ( , ) ( , )r t C r t??? 所描述的量子態(tài)與 ( , )rt?所描述的量子態(tài)是相同的，其中 21| ( , ) |Cr t d r????于是， 2| ( , ) | 1r t d r???我們將滿足上式的波函數(shù)稱為 歸一化波函數(shù) ，而該式稱為 歸一化條件 。 滿足，即 2|| dr???1A因此波函數(shù) 例：已知基態(tài)氫原子的電子由波函數(shù) 0( ) e x p ( )rrCa? ??描寫，試計(jì)算歸一化常數(shù) C。 此時(shí) 歸一化條件表為 2 3311| ( , , , ) | 1NNr r t d r d r???以后，為表達(dá)簡便，引進(jìn)符號(hào) *2( , ) | |dd??? ? ? ? ? ? ???這樣歸一化條件就簡單地寫為 ( , ) 1? ? ? 波函數(shù) 、 幾率密度的概念對(duì)于推動(dòng)化學(xué)由純經(jīng)驗(yàn)學(xué)科向理論學(xué)科發(fā)展起著極為重要的作用 . 現(xiàn)代化學(xué)中廣泛使用的原子軌道 、 分子軌道 , 就是描述原子 、 分子中電子運(yùn)動(dòng)的單電子波函數(shù) : 而 “ 電子云 ” 就是相應(yīng)的幾率密度 : 按照哥本哈根學(xué)派的觀點(diǎn) , 幾率在量子力學(xué)中是原則性的 、 基本的概念 . 原因在于微觀世界中不確定原理起著明顯的作用 . 波函數(shù) 已經(jīng)歸一化，則 表示 絕對(duì)幾率密度 ，否則為 相對(duì)幾率密度 ，以后無特殊說明，所求幾率密度和幾率都是絕對(duì)幾率密度和絕對(duì)幾率 量子力學(xué)基本假設(shè)之一： 在量子力學(xué)中，體系狀態(tài)用波函數(shù) （也稱為態(tài)函數(shù)）來描述，一般要求波函數(shù)是 單值的、連續(xù)的、平方可積的 ，波函數(shù)一般是復(fù)數(shù)，波函數(shù)模的平方 給出體系的狀態(tài)的幾率分布（波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋）。那么 ,測(cè)量粒子的其它物理量例如 動(dòng)量 ,能量及角動(dòng)量 等 ,情況將如何 ?先討論動(dòng)量。 可以連續(xù)地變化，因此上式中對(duì) 求和 由于 應(yīng)以對(duì) px, py, pz 積分來代替。由以上討論可以看出： r當(dāng) ( , )rt? 給定后， ( , )pt? 就可由 (3)式完全確定， 反之，當(dāng) ( , )pt? 給定后， ( , )rt? 就可由 (4)式 確定。 利用復(fù)變函數(shù)中的巴塞瓦等式，不難證明 22| ( , ) | | ( , ) | 1p t d p r t d r?? ????2( , ) | ( , ) |p t p t??? 我們稱在時(shí)刻 t，在 點(diǎn)附近單位體積內(nèi)找到粒子的幾率為 動(dòng)量表象的幾率密度 ，并以 ( , )t??( , )rt? 是已經(jīng)歸一化的波函數(shù)，則 ( , )pt?這表明：如果 也是歸一化的波函數(shù)。在同一時(shí)刻，粒子只可能有在一定限度以內(nèi)的比較確定的動(dòng)量和比較確定的位置。 2xa??的光延越小， p?兩邊圍繞著一些相繼減小的極小值 大值分開，極大值高度按 說波 峰值兩邊的 零點(diǎn)之間，亦即廣延于 越大： （在 4 / 2xp ?? ? ? ? ? 迄今為止， 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 是作為 數(shù)量級(jí) 的關(guān)系表示出來的。 賦予粒子以精確位置和動(dòng)量的想法值在作用量子可以忽略的程度內(nèi)，也就是在經(jīng)典理論成立的范圍內(nèi)，才是正確的。 原則上，一切力學(xué)量的平均值都能由 給出，而且這些平均值就是在 所描寫的狀態(tài)下相應(yīng)的力學(xué)量的觀測(cè)結(jié)果 。但 波函數(shù)本身不是直接的可觀測(cè)量 ， 當(dāng)微觀粒子處于某一狀態(tài)時(shí)，粒子的力學(xué)量一般不具有確定的值，而是具有一系列的可能值，每一可能值以一定的幾率出現(xiàn) 。 2( , )rt?()Fr?（ 2）現(xiàn)在討論動(dòng)量算符的平均值。 2( , )pt?p2 *( , ) ( , ) ( , )p p t p d p p t p p t d p? ? ?? ? ? ???( , )rt?給出。39。按照德布羅意關(guān)系，波長越短，動(dòng)量越大。如果該力學(xué)量 在經(jīng)典力學(xué)中有相對(duì)應(yīng)的力學(xué)量，則表示該力學(xué)量的算符 由經(jīng)典表達(dá)式 中將 換成算符 而得出，即 ?o?o( , )O r p ?poo(31) (32) 正如前面已闡述過的，同一量子態(tài)可用坐標(biāo)表象中波函數(shù) 表示，也能用動(dòng)量表象中的波函數(shù) 來表示。dinger）方程 ?Schr246。一旦初始條件給定，方程將唯一地決定以后任何時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。為了做到這一點(diǎn)，我們必須知道決定 隨 t變化規(guī)律的方程式。 （ 4） （ 5） 描述自由粒子的一般狀態(tài)的波函數(shù)是許多頻率為 /?，波矢為 /? 的單色平面波的疊加： 3 / 21( , ) ( ) e x p ( )( 2 )ir t r t d????? ? ? ? ? ? ? ??????式中 22m??? 。 關(guān)于 算符 的概念，將在后面章節(jié)中作系統(tǒng)介紹。 22? [ ( ) ]2H V rm? ? ? ? 在時(shí)變勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)與外界 有 能量交換，粒子的能量一般不守恒，相應(yīng)的問題為 非定態(tài)問題 （在后面的章節(jié)里我們會(huì) 專門 討論 這類問題 ） 。在非相對(duì)論（低能）情形下，實(shí)物粒子（ m≠0）沒有產(chǎn)生或湮滅的現(xiàn)象，所以在隨時(shí)間變化的過程中，粒子數(shù)目將保持不變。為說明這個(gè)方程和矢量 的物理意義，我們回到幾率守恒的積分表達(dá)式 （ 9） 。 eJ eJ?同理可得出量子力學(xué)中 （統(tǒng)計(jì)意義上） 的質(zhì)量 守恒定律： 00mmmmSJtd r J d St????? ? ? ???? ? ? ?? ??（ 微分形式 ） （ 積分形式 ） 補(bǔ)記： 只有大量相同粒子處在相同狀態(tài)，用同樣波函數(shù) 描述 ， 才 可以把 |Ψ|2 解釋成 粒子密度 ，如每個(gè)粒子帶電荷 q，于是 q|Ψ|2 代表 電荷密度 ， 代表電流密度 ，故如有大量的粒子處于完全相同狀態(tài)，則波函數(shù)將具有實(shí)在的物理意義而伸展到宏觀領(lǐng)域。 qJ??例題 1:求球面波波函數(shù) ? ? ? ?1, , A e x p /r i p r E tr? ? ? ?? ????的幾率密度和幾率流密度 解 :幾率密度 ? ? ? ?? ? ? ?222* , , ,