【正文】 ?ninntHitHe ]?[!10??? ?? ????算符函數(shù) 復(fù)共軛算符 算符 219。)1 = 219。1 = I 亦成立 . II: 若 212。ψ 因?yàn)?ψ 是任意函數(shù) ,所以 212。 1φ= 212。1 212。 之逆 212。ψ=φ, 能夠唯一的解出 ψ, 則可定義 算符 212。,[ 212。]] + [219。,202。,219。] 3) [212。] = [212。,212。212。,219。對(duì)易，不能推知 212。 注意：當(dāng) 212。 則稱 212。與對(duì)易，而與對(duì)易，與不對(duì)易；與對(duì)易，但是與對(duì)易，與zpzpppIIxpxpppIxyyxxyyx????)(????)(若算符滿足 212。不對(duì)易。 ≠ 219。212。 其中 ψ 是任意波函數(shù)。)ψ=202。 算符之積 若 212。 = 212。 之和。 + 219。)ψ=212。 算符之和 若兩個(gè)算符 212。 相等記為 212。對(duì)體系的任何波函數(shù) ψ 的運(yùn)算結(jié)果都相 同，即 212。ψ 1+c2212。? ??： zipyipxipipzyx?????????????????????,?,?。 du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用 是對(duì)函數(shù) u 微商， 故稱為微商算符。 1 表示力學(xué)量的算符 代表對(duì)波函數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算或變換的符號(hào) 212。 5 厄密算符的本征值與本征函數(shù) ?167。 1表示力學(xué)量的算符 ?167。 2 動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符 ?167。 6 算符與力學(xué)量的關(guān)系 ?167。 u = v 表示 212。 x u = v， x 也是算符。?： )(2? 22rUH ?? ???? ?)(22rUpH ??? ?經(jīng)典哈密頓函數(shù) 。ψ 2 其中 c1, c2是任意復(fù)常數(shù)， ψ 1, ψ 1是任意兩個(gè)波函數(shù)。ψ= 219。 = 219。、 219。ψ+219。 = 202。和勢(shì)能算符體系動(dòng)能算符等于算符表明VTHH a m i l t o nVTH?????? ??例如：體系 Hamilton 算符 注意，算符運(yùn)算沒有相減，因?yàn)闇p可用加來代替。+（ 219。(219。ψ 則 212。 一般來說算符之積不滿足交換律，即 212。 這是算符與通常數(shù)運(yùn)算 規(guī)則的唯一不同之處。212。 ??? xxx xiixpx ???? ???? ?? )(?)1(證：??ixppxixppxxppxxxxxxx???????????所以是任意波函數(shù)，因?yàn)椋ǘ??????? xxx xiixixp ???? ????? ??? )(?)2(對(duì)易關(guān)系 不對(duì)易。219。和 219。 與 219。與 202。 ]≡212。 坐標(biāo)和動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系 可改寫成如下形式： 不難證明對(duì)易括號(hào)滿足如下對(duì)易關(guān)系： 1) [212。] 2) [212。,219。,219。]202。] 4) [212。,[202。,219。 之逆 212。1 存在 ,則 212。=I , [212。 1(212。1 212。, 219。1 212。的復(fù)共軛算符 219。 0)(* ~ ??? ??? ???? ??xxdxxxxx ???????? ????? ~~ 0)(xx pp ?~? ??由于 ψ 、 φ 是任意波函數(shù) , 所以 ? ??? ??? *?? xdx? ??? ??? ?? ?? ???? xdx *|* ? ??? ???? ?? xdx *同理可證 : 1厄密共軛算符 ?????? ?? ?? *)?(?* OdOd?????? ?? ?? *)?(?* OdOd由此可得： : 轉(zhuǎn)置算符 的定義 *~?? OO ??厄密共軛 算符亦可 寫成： 算符 212。 )+ = 194。 219。 + ?? *)]?(*[ ??? Od?? **? ??? Od????? *~?* Od1厄密算符 1. 定義 : 滿足下列關(guān)系的算符稱為厄密算符 . OOOdOd??*)?(?*?????或??????2. 性質(zhì) 性質(zhì) I:兩個(gè)厄密算符之和仍是厄密算符。+ = 219。 + + 219。 因?yàn)? (212。 + = 219。 僅當(dāng) [212。)+ = 212。 xx ??)1( 坐標(biāo)算符?????? dxdx ?? ? *)()(*?設(shè) 和 是任意的兩個(gè)波函數(shù)，顯然有 ?(x為實(shí)數(shù) x*=x) 所以坐標(biāo)算符是厄米算符 xip ???? ??)2( 動(dòng)量算符dxxidxp )(*)?(* ???????? ?? ??????????設(shè) 和 是任意的兩個(gè)波函數(shù)，有 ?dxxi???? ??????? *?????????????? ????????? dxxi**?????dxxi??? ?????*??? dxp ???????? *)?(.0??? ?? ，時(shí)，利用了 x所以動(dòng)量算符是厄米算符 ????? ?FFFFH E HE??? ? ?? ? ?????　 　 如 果 一 個(gè) 算 符 作 用 于 一 個(gè) 函 數(shù) ， 結(jié) 果 等 于 乘上 一 個(gè) 常 數(shù) ，　 　 　 　 　 （ 2 ）則 稱 為 的 本 征 值 ， 為 屬 于 的 本 征 函 數(shù) 。三、算符的本征值方程 三、力學(xué)量用線性厄米算符表示－量子力學(xué)的基本假設(shè) 并不是任意形式的數(shù)學(xué)算符都可以用來表示力學(xué)量， 能用來表示力學(xué)量的算符受到物理?xiàng)l件的限制： 算符的作用不應(yīng)該鋪貨波函數(shù)的疊加原理。 ２、算符 表示力學(xué)量 ，當(dāng)體系處于 的本征態(tài) 時(shí)，力學(xué)量有確定值，這個(gè)值即 在 態(tài)中的本征值。” 提奇馬什 “只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題， 它就充滿著生命力，而問題缺乏則預(yù)示著 獨(dú)立發(fā)展的衰亡和終止。 但是，如果我們加上適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，則可以用以前的歸一化方法來歸一，這種方法稱為箱歸一化。當(dāng) L 選的足夠大時(shí)，本征值間隔可任意小，當(dāng) L ? ? 時(shí)，本征值變成為連續(xù)譜。）（本征值，對(duì)可知，由???????????0zzlli ?)2()0()0(2(0)0()0()2()2(****???????????????）或 1?)0()2( ??? ?(II) L2的本征值問題 ),(),(]s i n1)( s i ns i n1[),(),(]s i n1)( s i ns i n1[),(),(?2222222222???????????????????????????YYYYYYL???????????????????或：???其中 Y(?,?) 是 L2 屬于本征值 ?2 的本征函數(shù)。 1, 177。因此當(dāng) ? 確定后，尚有 (2 ? +1)個(gè)磁量子狀態(tài)不確定。 3 電子在庫侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) （一）有心力場(chǎng)下的 Schr214。 0)1(||84112 222222??????? ?????????????????? urllErZedrud????||22||82222EZeZeE????????????令 0)1(4 22??????? ?????? urllru???22222??????duddrudddudrdur???0)1(41 222??????? ???? ulld ud ????（ 2）求解 (I) 解的漸近行為 04122 ?? ud ud?ρ→∞ 時(shí)，方 程變?yōu)? 2/2/ ?? eAAeu ??? ?? 2/??? ? Aeu0)()1()()( 2 ??????? ??????? ?????? fllff 2/)( ?? ?? efu所以可 取 解 為 有限性條件要求 A39。 s = ?+1 高階項(xiàng)系數(shù)： [(ν+ s + 1)(ν+ s ) ?(? + 1)]bν+1+(βνs)bν = 0 系數(shù) bν的遞推公式 ?? ???? bllsssb)1())(1()(1 ????????????????????blllblllll)22)((1)1()1)(2(1?????????????????注意到 s = ?+1 上式之和恒等于零，所以 ρ 得各次冪得系數(shù)分別等于零，即 （ 三 ） 使用標(biāo)準(zhǔn)條件定解 （ 3）有限性條件 （ 1）單值； （ 2）連續(xù)。 與諧振子問題類似，為討論 f (ρ) 的收斂性現(xiàn)考察級(jí)數(shù)后項(xiàng)系數(shù)與前項(xiàng)系數(shù)之比： 最高冪次項(xiàng)的 ν max = nr 令 ???????? 001rrnnbb注意 此時(shí)多項(xiàng)式最高項(xiàng) 的冪次為 nr+ ? + 1 0)22)(( 11 ???? ?????rr nrrrn blnlnlnb ?則 nln r ???? 1? 010??????lnbrn r分子所以因?yàn)橛谑沁f推公式改寫為 ???????角量子數(shù)徑量子數(shù)??,2,1,0,2,1,0ln r量 子 數(shù) 取 值 主量子數(shù)?? ?,3,2,1n由 ? 定 義 式 ???3,2,12||||||222422?????nneZEEEZen??? 由此可見，在粒子能量 小于零情況下（束縛態(tài)） 僅當(dāng)粒子能量取 En 給出 的分立值時(shí)，波函數(shù)才滿 足有限性條件的要求。當(dāng) ? 確定后 ， m = 0,177。 共 2? + 1 個(gè)值 。 n = nr+ ? + l ? = 0,1,2,... nr = 0,1,2,... （ 2）能級(jí)簡(jiǎn)并性 （ 3）簡(jiǎn)并度與力場(chǎng)對(duì)稱性 由上面求解過程可以知道，由于庫侖場(chǎng)是球?qū)ΨQ的，所以徑向方程與 m 無關(guān)， 而與 ? 有關(guān)。這是由于庫侖場(chǎng)具有比 一般中心力場(chǎng) 有更高的對(duì)稱性 的表現(xiàn)。當(dāng)價(jià)電子在 r1 和 r2 兩點(diǎn)，有效電荷是不一樣的， Z e2 / r 隨著 r 不同有效電荷 Z 在改變，此時(shí)不再是嚴(yán)格的點(diǎn)庫侖場(chǎng)。 P? m(ζ )的宇稱 由 P? m(ζ ) 封閉形式知 ,其 宇稱決定于 lmlmldd )1( 2 ??? ??又因?yàn)? (ζ 21)? 是 ζ 的偶次冪多項(xiàng)式，所以 當(dāng)微商次數(shù) ( ? + m ) 是奇數(shù)時(shí)，微商后得到一個(gè)奇次冪多項(xiàng)式，造成在 ζ → ζ 變換時(shí)，多項(xiàng)式改變符號(hào) ， 宇 稱 為 奇 ； 當(dāng)微商次數(shù) ( ? + m ) 是偶數(shù)時(shí)，微商后得到一個(gè)偶次冪多項(xiàng)式，造成在 ζ → ζ 變換時(shí)，多項(xiàng)式符號(hào)不變，宇 稱 為 偶 。 令： )1(2)1( ?????? llll ? ? ?0)( 2222 )1(22 ?????? ??? uu rllreE ?? ??112224 ?????????????? rnlnneE??本 征 能 量 224 12 ???????????? lnl neE???(?+1)2λ = ?’(?’+1) = (? Δ ?)(? Δ ? +1) = ?(?+1)(2? +1) Δ