【正文】 符的本征值必須為實(shí)數(shù)。 什么類型的算符，本征值為實(shí)數(shù)？ ?H ?E Ep??p p??F F ?F? ?F ?四、量子力學(xué)中力學(xué)量用算符表示的規(guī)則： 如果量子力學(xué)中的力學(xué)量 在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量的算符 由經(jīng)典表示式 中將 換為算符 而得出： ? ? ?? ?( , ) ( , ) ( 6 )F F r p F r i? ? ? ? 　 　 　 　?FF? ( , )F r p p?p例如，角動(dòng)量算符： L r p???i j kL i x y zx y z???????? ????? ? ???? ? ???量子力學(xué)中的角動(dòng)量算符： ?????? riprL ????? ???也是厄密算符）（）（是厄密算符，則如果 ABBAABBA ????2i1,????21B?,A? ???]?,?[ ?xpx計(jì)算對(duì)易關(guān)系：指出下列算符哪個(gè)是線性的，說明其理由 。 2224dxdx ? ?2 ??nK 1“偉大的數(shù)學(xué)家已經(jīng)針對(duì)人類思想作出了 甚至比文學(xué)家還更加不朽的貢獻(xiàn)， 因?yàn)樗c語言無關(guān)?！? 提奇馬什 “只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題， 它就充滿著生命力，而問題缺乏則預(yù)示著 獨(dú)立發(fā)展的衰亡和終止。” 希爾伯特 （一）動(dòng)量算符 （ 1）動(dòng)量算符的厄密性 （ 2）動(dòng)量本征方程 （ 3）箱歸一化 （二）角動(dòng)量算符 （ 1）角動(dòng)量算符的形式 （ 2）角動(dòng)量本征方程 （ 3）角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系 （ 4）角動(dòng)量升降階算符 167。 2 動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符 一、動(dòng)量算符 （ 1）動(dòng)量算符的厄密性 （ 2）動(dòng)量本征方程 )()( rpripp???? ?? ?? ??????????????????????)()()()()()(rprirprirpripzpzpypypxpx?????????????????????證 ： 求解： ，令： )()()()( zyxrp ???? ???代入，且等式兩邊除以該式，得： ?????????????zdzzdziydyydyixdxxdxippp)()()()()()(?????????rpzpypxpppppiziyixizyxceecececzyxzyxr?????????????321)()()()()()()(????????????????????)()()()()()(321zeczyecyxecxzziyyixxipzppyppxp?????????)()2(||||||)()(32)(22*ppcdecdeecdrrrpprprpppiii?????????????????????????????????????????????????如果取 |c|2 (2π ?)3=1則 ψ p(r) 就可 歸一化為 δ 函數(shù)。 II. 歸一化系數(shù)的確定 （ 3）箱歸一化 據(jù)上所述，具有連續(xù)譜的本征函數(shù)如 :動(dòng)量的本征函數(shù)是不能歸一化為一的，而只能歸一化為 δ 函數(shù)。 但是，如果我們加上適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，則可以用以前的歸一化方法來歸一，這種方法稱為箱歸一化。 x y z A A’ o L 在箱子邊界的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A, A’ 上加上其波函數(shù)相等的條件，此邊界條件稱為周期性邊界條件。 周期性邊界條件 ]2[]2[ zpypLpizpypLpi zyxzyx cece ????? ? ??????,2,1,02211][???????xxxxxLpinLnpnLpex??于是有：由此得：加上周期性邊界條件后， 連續(xù)譜變成了分立譜。 ???,2,1,0,22?????zyzzyynnLnpLnp??同理：????????? zyLrA ,2? ??????? zyLrA ,2?][222)()(zyxnnnprppLznLynLxnizyxicercer????????????????????????1* 322/2/22/2/??? ? ? ?? ? ???LcdcdLLppLL???? ??rpVrpLnnniizyxee ???? ?? ?? ?? 12/31 )(?確定歸一化系數(shù) c ： 所以 c = L3/2 波函數(shù) 討論： （ 1）由 px = 2nx ?? / L, py = 2ny ?? / L, pz = 2nz ?? / L,可以看出，相鄰兩本征值的間隔 ? p = 2 ?? / L 與 L 成反比。當(dāng) L 選的足夠大時(shí)，本征值間隔可任意小，當(dāng) L ? ? 時(shí)，本征值變成為連續(xù)譜。 （ 2）從這里可以看出，只有分立譜才能歸一化為一，連續(xù)譜歸一化為 ? 函數(shù) （ 3） ?p(r) exp[–iEt/?] 就是自由粒子波函數(shù)，在它所描寫的狀態(tài)中，粒子動(dòng)量有確定值，該確定值就是動(dòng)量算符在這個(gè)態(tài)中的本征值。 二 、 角動(dòng)量算符 （ 1）角動(dòng)量算符的形式 prL ??? ?? ?????? riprL ????? ???(I) 直角坐標(biāo)系 ??????????????????????????????????)(???)(???)(???xyxyzzxzxyyzyzxyxipypxLxzipxpzLzyipzpyL???22222222222)()()[()??()??()??(????xyzxyzxyzxyzzyxyxxzzypypxpxpzpzpyLLLL???????????? ?????????????????角動(dòng)量平方算符 經(jīng)典力學(xué)中， ]?,?[]?,?[ zyxz pxpzpzpy ??角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系 ]??,??[]?,?[ zxyzyx pxpzpzpyLL ???證： yxzxzyLiLLLiLL?]?,?[?]?,?[????同理]??,?[]??,?[ zxyzxz pxpzpzpxpzpy ????]?,?[]?,?[]?,?[]?,?[ zyxyzzxz pxpzpzpzpxpypzpy ????zyx LiLL ?]?,?[ ??yzzyzxxz ppxzpxpzppzypzpy ?]?,[]?,?[?]?,[]?,?[ ????yzxz ppxzpzpy ?]?,[]?,?[ ??yzyzxzxz ppxzppzxpzpyppyz ??],[?]?,[?],?[]?,?[ ????yx pixpiy ?)(?)( ?? ???]??[ xy pypxi ?? ?zLi ???zyxLiLL,3211?]?,?[1 2 3或，，其中其意義如下：合記之：???????????????? ? ?? ? ?? ? ??? ? ????作業(yè)： 由于角動(dòng)量平方算符中含有關(guān)于 x， y， z 偏導(dǎo)數(shù)的交叉項(xiàng) ,所以直角坐標(biāo)下角動(dòng)量平方算符的本征方程不能分離變量 ,難于求解 ,為此我們采用球坐標(biāo)較為方便 . ??????????????????)3(/t an)2(/c os)1(c oss i ns i nc oss i n 2222xyrzzyxrrzryrx???????II 球坐標(biāo) 直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換關(guān)系 表明： r = r(x,y,z)； x = x(r,θ,φ) ； 對(duì)于任意函數(shù) f (r, θ, φ) （其中， r, θ, φ都是 x, y, z 的函數(shù)）則有： zyxxxxxfxfxrrfxfiiii, 321 ??????????????????其中????????????????????????????????????????????????????????????????zzzrrzyyyrryxxxrrx????????????或???????????????????????c oss i ns i nc oss i nzrsyrxr???????????????????????????s i n1s i nc os1c osc os1rzryrx???????????????????0s i nc o s1s i ns i n1zryrx???????zyxxxxxfxfxrrfxfiiii, 321 ??????????????????其中????????????????????????????????????????????iLiLiLzyx?]s i nc ot[ c os?]c osc ot[ s i n?????????????????????????????????????????0s i n1c o ss i nc o s1s i nc o s1s i ns i ns i ns i n1c o sc o s1c o ss i n???????????????????rrzrrryrrrx將上面結(jié)果代回原式得： 則角動(dòng)量算符在球坐標(biāo)中的表達(dá)式為： ]s i n 1)( s i ns i n1[? 22222?????? ????????? ?L（ 2）本征方程 ??????????zi lzzcelddiL??????)()()()(?解得：(I) Lz的本征方程 )2()( ????? ?? )2( ??? ??? zizi ll cece ??1]/2s i n []/2c o s [2 ??? ??? zzl lile zi ????? ,2,1,022 ???? mml z ??于是?? ,2,1,0 ????? mml z???????2112|| 2202220????? ??ccdcd)(021 20mndee inim ???? ?????mninim dee ?????? ??? 2021歸一化系數(shù) 正交性 正交歸一性 本征函數(shù)和本征值： ??,2,1,02